二次根式章末复习十大题型解题技巧-2024-2025学年人教版八年级下册题型技巧培优系列

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 二次根式章末复习十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1.二次根式概念辨析 一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式．其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 （1）实质：一个非负数的算术平方根 （2）作为运算条件必须 （3）作为运算结果≥0 知识点2 二次根式有意义的条件： 被开方数是非负数 知识点3 二次根式的性质 （1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根. （2） （）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 （3） 2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 知识点4 最简二次根式 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。 知识点5 可合并的二次根式 1.将一些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这样的二次根式就称为可合并的二次根式。 2.合并二次根式的方法 将根号外的因数相加，根指数和被开方数不变。 知识点6 二次根式的运算 1.二次根式乘法法则： 2.二次根式的除法法则： 如果，那么； 3.二次根式加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式的概念】 【例1-1】．下列式子中，是二次根式的是(　　) A． B．52 C．5 D． 【答案】A 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：根据题意得， 是二次根式，故A项符合题意； 52不是二次根式，故B项不符合题意； 5不是二次根式，故C项不符合题意； 不是二次根式，故D项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得. 【例1-2】．下列各式中， 不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：A、45＞0，故 是二次根式，不符合题意； B、-3＜0，故 不是二次根式，符合题意； C、，故 是二次根式，不符合题意； D、，故 是二次根式，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】形如（a ≥ 0） 的式子叫做二次根式，根据此定义判断各选项即可. 【变式1-1】．若是二次根式，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：∵是二次根式， ∴a≥0， ∴a的值可以是0. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式的定义得被开方数a≥0，然后逐项判断即可. 【变式1-2】． 下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解. 【变式1-3】．在下列式子中，一定是二次根式的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：A、是三次根式，故此选项不符合题意； B、当a＜0时，根号里的数就是负数，故此选项不符合题意； C、a2为非负数，整体符合二次根式的要求，故此选项符合题意； D、无法保证a3+3是非负数，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】形如“(a≥0)”得式子就是二次根式，据此逐一判断得出答案. 【变式1-4】．已知是整数，则正整数n的最小值是　 　. 【答案】2 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵是整数，n是正整数， ∴最小的值是4， ∴最小的正整数n的值是2． 故答案为：2． 【分析】根据2n是完全平方数进行求解即可. 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2-1】．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使二次根式有意义， 只需使：， 解得：， 故答案为：B． 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可得关于x的不等式，解不等式可求解． 【例2-2】．．函数的自变量的取值范围是　 　． 【答案】且 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：∵函数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式有意义的条件：分母不为0，得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围. 【变式2-1】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　. 【答案】x＞-3 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须 2x+6＞0， 解得：x＞-3． 故答案为：x＞-3. 【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可． 【变式2-2】．已知、为实数，且，则　 　． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：， ， ， . 故答案为：-1. 【分析】根据二次根式和平方数的非负性，可得，进而解得x、y的值，即可计算出x-y的值. 【变式2-3】．已知，则的值为（　　） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：∵ ∴ x-3≥0，3-x≥0 ∴ x=3， ∴ y=-2 ∴ x+y=3+（-2）=1 故答案为：A. 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，则可得x，y，代入求解即可。 【变式2-4】．（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值． 【答案】（1）解：∵和均有意义， ∴4﹣2a≥0且a﹣2≥0， 即a≤2且a≥2， ∴a＝2， 当a＝2时， ∴， ∴a＝2，； （2）解：∵有意义， ∴m≥2024， ∴|2023﹣m|＝m﹣2023， 因此|2023﹣m|+＝m，可变为m﹣2023+＝m， 即＝2023， ∴m﹣2024＝20232， 即m﹣20232＝2024， ∴m﹣20232的值是2024. 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入所给式子求出b即可； （2）根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，然后根据绝对值的意义进行化简，再把式子两边平方可得答案． 【题型3 二次根式的性质的应用】 【例3-1】．若 ＝ ，则 的取值范围是（　　）. A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1 【答案】B 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】∵ ＝ ， ∴a-1≥0 ∴a≥1. 故答案为：B. 【分析】等式左边为（1-a）2的算术平方根，右边的结果a-1应为非负数. 【例3-2】．化简：＝　 　． 【答案】0 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：由题意得3-a≥0，则a≤3， 3-a-3+a=0. 故答案为：0. 【分析】利用二次根式有意义可得3-a≥0，则a≤3，再利用二次根式的性质化简并整理即可. 【变式3-1】．已知为实数，且满足，试求的值． 【答案】解：∵， ∴ ∴原式=. 【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】根据非负数之和为0则每个非负数均为0，则可得到进而将其代入计算即可求解. 【变式3-2】．已知、满足，则（　　） A．4 B．8 C．2024 D．4048 【答案】A 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性 【解析】【解答】由题意知c-2025≥0且2025-c≥0，即有c≥2025且c≤2025，故c=2025；于是有，而|2023-a|≥0，2024-b≥0，故a=2023，b=2024， 故 答案：A. 【分析】由二次根式的非负性、绝对值的非负性可得a，b，c的值，即可得结果. 【变式3-3】．已知，则的算术平方根是　 　． 【答案】 【知识点】算术平方根；算术平方根的性质（双重非负性） 【解析】【解答】解：依题意，则x=3，y=1， ∴的算术平方根 即4 的算术平方根为2 故答案为：2. 【分析】根据算术平方的非负数求得x=3，y=1，代入代数式求得其算术平方根，即可求解． 【变式3-4】． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 【答案】解：由隐含条件得 ∴原式= 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数不为负值可以求出x的范围，由此推导出另一个根式中代数式的取值范围，然后再化简根式，得出结果。 【题型4 最简二次根式的应用】 【例4-1】．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、，选项不是最简二次根式， B、C、D选项均为最简二次根式， 故答案为：A． 【分析】根据最简二次根式的含义求出答案即可。 【例4-2】．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：∵与的和等于， ∴与是同类二次根式. . A、a=0，，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、a=1，，与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、a=2，，与是同类二次根式，，故C符合题意； D、a=3，，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据与的和等于，可知与是同类二次根式，根据，对4个选项逐项判断，即可得到a的值. 【变式4-1】．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可. 【变式4-2】．将化为最简二次根式的结果为　 　； 【答案】 【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式 【解析】【解答】解：∵ 故答案为：． 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质进行化简即可. 【变式4-3】． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【答案】2 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2； 正确答案：2. 【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。 【变式4-4】．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是　 　． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】当n=1时，， 是最简二次根式， 故答案为：1 （答案不唯一） . 【分析】利用最简二次根式的定义及性质分析求解即可. 【题型5 可合并的二次根式的应用】 【例5-1】．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：. A、，不能与合并，故此选项不符合题意； B、，不能与合并，故此选项不符合题意； C、，可与合并，故此选项符合题意； D、，不能与合并，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】将目标数化成最简根式，对4个选项作同样处理，然后找到同类根式即可. 【例5-2】．．最简二次根式与可以合并，则　 　． 【答案】2 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴ ∴ 故答案为：2. 【分析】根据题意得到：与为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可求出m的值. 【变式5-1】．若最简二次根式与可以合并，则的值　 　． 【答案】2 【知识点】同类二次根式 【解析】【解答】解：由题意得：，解得：． ∴， ∴． 故答案为：2． 【分析】根据同类二次根式的定义求出a，再进行计算即可. 【变式5-2】．．若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【答案】4 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：， 依题意，， 解得：a=4， 故答案为：4． 【分析】根据同类次根式的定义可得，即可求解． 【例5-3】． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（　　） A．1 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解： ∵ 最简二次根式 与 可以合并， ∴ 与 是同类根式， ∴2a-5=11-2a 解得，a=4 故答案为：D. 【分析】两根式可以合并，说明它们是同类根式，即被开方数相同，由此列方程进行求解即可。 【题型6 二次根式的运算】 【例6-1】．计算：． 【答案】解：原式 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解. 【例6-2】．计算： （1） （2） 【答案】（1）解： = = = （2）解： = = = 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】本题考查实数的混合运算（1）先把二次根式化成最简二次根式，去括号，去绝对值，再进行同类二次根式合并运算. （2）运用平方差公式与完全平方公式进行运算，再去括号运算. 【变式6-1】．．数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下： 解：原式 请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程． 【答案】解：小红的解答是错误的，正确解答如下： . 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可. 【变式6-2】．计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）原式= （2）原式= （3）原式= =1 （4）原式= 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再进行二次根式的混合运算. 【变式6-3】．（1）计算：； （2）下面是小瑞同学进行二次根式运算的过程． 计算：． 解：原式……① ……② ……③ ．……④ 根据上述解题过程，回答下列问题： A．第 ▲ 步开始出现错误（填序号），请写出错误的原因 ▲ ； B．请写出正确的运算过程． 【答案】（1）解： ； （2）解：A．第③步开始出现错误，错误的原因为：进行二次根式乘法时公式应用错误； B． ． 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）①根据二次根式的混合运算法则对其进行判断即可；②根据二次根式的混合运算法则正确计算即可. 【变式6-4】． 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 【答案】（1）解：由题意得： 他计算出的结果为4； （2）解：设“”处的数字是，则 ， ∴， 解得：， ∴“”处的数字是． 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）把10代入，（10-2）÷（-），再计算即可； （2）设“■”处的数字是a，再建立方程求解即可。 【题型7 二次根式的化简求值】 【例7-1】．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值． 【答案】解：由题意可知：x＝，y＝3 原式＝（2x+2）﹣（x+5） ＝x﹣3 ＝﹣3 ＝﹣ 【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值 【解析】【分析】由二次根式性质可知，，解得，则y=3，对原式进行化简，得 原式 ＝x﹣3 ，然后把x、y值代入，即可求解。 【例7-2】． 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 解：原式 解：原式 （1）　 　的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2）解：原式， ， ， ∴原式 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴。 ∴小亮的解答过程错误. 【分析】（1）先将式子进行化简，利用完全平方公式去根号，去根号时考虑根号里数的正负性是解题的关键即易错点，即可判断谁对谁错. （2）利用第一问的方法先对式子进行化简，将m值代入即可求出答案. 【变式7-1】． 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1）【解答】解：原式=故答案为：. （2）解：原式＝ ； （3）解：， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值 【解析】【分析】（1）分子分母同乘以，将分母进行有理化即可求解； （2）先将分母进行有理化，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可； （3）根据题意即可得到：然后将待求式进行化简得到，进而代入计算即可. 【变式7-2】．．在下列两道小题中选做一题（多做不加分）. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）解：∵ ∴， ∴ ∴； （2）解：∵ a+b=-4＜0，ab=3＞0， ∴ a＜0，b＜0， ∴​​​​​ 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值 【解析】【分析】（1）先求出，进而求得，再求出，即可求得； （2）先根据题意判断出a＜0，b＜0，根据二次根式的性质化简，再将ab的值代入求值，即可求得. 【变式7-3】．．已知实数x，y满足关系式，求的值． 【答案】解：∵，， ∴且， ∴， ∴， ∴ .​​​​​​ 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】根据，，求得x=3，于是可得y=-2.先计算分式除法，再把x，y代入运算. 【变式7-4】．．（1）当a=时，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中x=，y=． 【答案】（1）解： ， 把代入得：原式=. （2）解：原式= 当x=+1，y=时， 原式= 【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值 【解析】【分析】（1）由a的范围化简得：原式，把代入求解即可. （2）利用分式的混合运算法则化简得：原式，再代数求值即可. 【变式7-5】．．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值. 【答案】解：∵ ， ∴， 解得： ∴原式=. 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】根据非负数的性质，先列出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b的值，然后再把原式进行化简，再代入数值计算即可解答． 【题型8二次根式大小比较】 【例8-1】．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算： ； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴，即a2-4a+4=5， ∴a2-4a=1 ∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2； （2） （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：（2） ． 故答案为：； 【分析】（1）先求a的值，再根据完全平方公式求得a2-4a=1，然后整体代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）先比较与的大小，再进行分母有理化，即可作出结论． 【例8-2】．．比较和的大小． 【答案】解：， ∵ ∴ ∴ 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】利用作差法比较数值大小，，对式子平方，结合完全平方公式即可得解. 【变式8-1】．．比较大小： 　 　 ． 【答案】＜ 【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：由题意得， ， ∴， ∴， 故答案为：＜. 【分析】先求出和的大约值，然后根据实数大小的比较方法即可判断出、的大小关系. 【变式8-2】． 阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将 分母有理化． 解 ：原式 ． 运用以上方法解决问题： （1） 将 分母有理化． （2） 比较大小 (在横线上填“ “ ”或 “=”) 　 　， 　 　， 且 为整数 （3）计算： 【答案】（1） （2）； （3）原式 【知识点】无理数的大小比较；分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：（2）①∵∴故答案为： ②∵∴，故答案为： 【分析】 （1）结合平方差公式，先找出的有理化因式，再把式子的分子分母同时乘以这个因式，化简即可； （2）先把两个式子分母有理化，再进行比较即可； （3）先把括号内的各项分母有理化，再消项化简，最后运用平方差公式可计算出结果。 【变式8-3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． 【题型9 求二次根式中的参数值】 【例9-1】．已知是整数，求自然数n的值. 【答案】解：由题意得0≤10-n， 又n为自然数， ∴0≤n≤10， ∵是整数 ， ∴10-n=02，10-n=12，10-n=22，10-n=32， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1. 【知识点】二次根式的定义 【解析】【分析】根据二次根式的定义得，据此列出不等式，再结合是整数及n为自然数，直接列出所有可能的值. 【例9-2】．已知=a，求a-992的值． 【答案】解：∵有意义． ∴a≥100． ∴=a-99， ∴+=a-99+=a， ∴99， ∴a-10=992 ∴a-992=100 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，确定a的取值范围后，对 =a 进行化简整理，即可求值。 【变式9-1】． 已知实数 满足 ，求 的值。 【答案】​​​​​​​ 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；实数的绝对值 【解析】【解答】解：∵ x-2024≥0， ∴ x≥2024， ∴=x-2023， ∵ ， ∴x-2023+=x， ∴=2023， 两边平方得，x-2024=20232， ∴ x-20232=2024. 故答案为：2024. 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性得x≥2024，进而得 x-2023+=x，两边平方，即可求得. 【变式9-2】．若二次根式 ， 求 的值. 【答案】解：∵5， ∴4m2＝25， ∴m2， ∴m＝±． 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【分析】先两边同时平方可去掉根号，然后可求出m的值即可解答. 【变式9-3】．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值. 【答案】解：由题意可知，必为整数， 设y，则x＝2024﹣y2， 则． ∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除， ∴y＝1，2，5，10， ∴m＝8，1，﹣5，﹣19． ∵m为正整数， ∴m＝1，8， ∴正整数m的所有可取的值为1和8． 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【分析】由方程﹣2x+m4038＝0存在整数解，得到必为整数；设y，则m＝，进而确定y能被10整除，由此可确定m的所有可能取值． 【变式9-4】．已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值. 【答案】解：∵b＝＝3，a+b﹣4＜0， ∴a＜1， ①当a＜0时，（2a+1）﹣（4a+1）＝6， 解得：a＝﹣3； ②当0＜a＜1时，（4a+1）﹣（2a+1）＝6， 解得：a＝3（舍去）， 综上，a＝﹣3. 【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数的性质 【解析】【分析】利用已知条件可求出b的值，解不等式求出a的取值范围，再分情况讨论：当a＜0时；当0＜a＜1时，根据一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，建立关于a的方程，解方程求出a的值. 【变式9-5】．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21. 设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值 【答案】解：∵， 当的值越大时，即的值越大； 此时n取值越小； ∵是整数，n为正整数， ∴时，n的值最小； ∴n的最小值为3； 当的值越小时，即的值越小； 此时，n取值越大； 又∵是大于1的整数， ∴时，n的值最大； 此时， 解得：n=75； 故n的最小值是3，最大值是75. 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解. 【题型10 化简估算二次根式的值】 【例10-1】．阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道， 例题：求的值． 解：设，两边平方得： ， 即，， ， ， ， 请利用上述方法，求的值． 【答案】解：设， 则， ， ， ． 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【分析】设，进而得到，再根据题意得到x＜0即可求解。 【例10-2】．求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】解：设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4-+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算 【解析】【分析】利用题目所给的计算方法将等式两边进行平方，然后利用平方差公式，以及二次根式的平分运算进行化简，最后求出结果即可. 【变式10-1】．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【答案】（1）解：； ； （2）解：原式 . 【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）仿照已知把m，n化简即可； （2）根据完全平方公式将原式整理，再将m+n，mn代入计算即可. 【变式10-2】．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：，，；以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）若a是的小数部分，求的值； （3）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】（1）解：原式 （2）解：， ， ​​​​​​​ （3）解：矩形另一边长为 周长 答：矩形周长为 【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）在式子的分子、分母中同时乘以分母的有理化因式“”，进行分母有理化即可解答； （2）先估算出的大小，从而可得，代入分母有理化即可得解； （3）根据矩形面积公式求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【变式10-3】．阅读理解材料：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：　 　. 【答案】 【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：原式 ， ， 故答案为：. 【分析】将每个分式都单独运算使分母有理化，即可计算出答案. 【变式10-4】估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. 【详解】 =， =， 而， 4<<5， 所以2<<3， 所以估计的值应在2和3之间， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 二次根式章末复习十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1.二次根式概念辨析 一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式．其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 （1）实质：一个非负数的算术平方根 （2）作为运算条件必须 （3）作为运算结果≥0 知识点2 二次根式有意义的条件： 被开方数是非负数 知识点3 二次根式的性质 （1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根. （2） （）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 （3） 2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 知识点4 最简二次根式 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。 知识点5 可合并的二次根式 1.将一些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则这样的二次根式就称为可合并的二次根式。 2.合并二次根式的方法 将根号外的因数相加，根指数和被开方数不变。 知识点6 二次根式的运算 1.二次根式乘法法则： 2.二次根式的除法法则： 如果，那么； 3.二次根式加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式的概念】 【例1-1】．下列式子中，是二次根式的是(　　) A． B．52 C．5 D． 【例1-2】．下列各式中， 不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】．若是二次根式，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【变式1-2】． 下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】．在下列式子中，一定是二次根式的是（　　）． A． B． C． D． 【变式1-4】．已知是整数，则正整数n的最小值是　 　. 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2-1】．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】．．函数的自变量的取值范围是　 　． 【变式2-1】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　. 【变式2-2】．已知、为实数，且，则　 　． 【变式2-3】．已知，则的值为（　　） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【变式2-4】．（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值． 【题型3 二次根式的性质的应用】 【例3-1】．若 ＝ ，则 的取值范围是（　　）. A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1 【例3-2】．化简：＝　 　． 【变式3-1】．已知为实数，且满足，试求的值． 【变式3-2】．已知、满足，则（　　） A．4 B．8 C．2024 D．4048 【变式3-3】．已知，则的算术平方根是　 　． 【变式3-4】． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 【题型4 最简二次根式的应用】 【例4-1】．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【例4-2】．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．将化为最简二次根式的结果为　 　； 【变式4-3】． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【变式4-4】．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是　 　． 【题型5 可合并的二次根式的应用】 【例5-1】．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】．．最简二次根式与可以合并，则　 　． 【变式5-1】．若最简二次根式与可以合并，则的值　 　． 【变式5-2】．．若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【例5-3】． 若最简二次根式 与 可以合并， 则 的值是（　　） A．1 B．2.5 C．3 D．4 【题型6 二次根式的运算】 【例6-1】．计算：． 【例6-2】．计算： （1） （2） 【变式6-1】．．数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下： 解：原式 请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程． 【变式6-2】．计算： （1） （2） （3） （4） 【变式6-3】．（1）计算：； （2）下面是小瑞同学进行二次根式运算的过程． 计算：． 解：原式……① ……② ……③ ．……④ 根据上述解题过程，回答下列问题： A．第 ▲ 步开始出现错误（填序号），请写出错误的原因 ▲ ； B．请写出正确的运算过程． 【变式6-4】． 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 【题型7 二次根式的化简求值】 【例7-1】．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值． 【例7-2】． 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 解：原式 解：原式 （1）　 　的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】． 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简； （3）若，求的值． 【变式7-2】．．在下列两道小题中选做一题（多做不加分）. （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【变式7-3】．．已知实数x，y满足关系式，求的值． 【变式7-4】．．（1）当a=时，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中x=，y=． 【变式7-5】．．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值. 【题型8二次根式大小比较】 【例8-1】．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算： ； （3）比较与的大小，并说明理由． 【例8-2】．．比较和的大小． 【变式8-1】．．比较大小： 　 　 ． 【变式8-2】． 阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将 分母有理化． 解 ：原式 ． 运用以上方法解决问题： （1） 将 分母有理化． （2） 比较大小 (在横线上填“ “ ”或 “=”) 　 　， 　 　， 且 为整数 （3）计算： 【变式8-3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【题型9 求二次根式中的参数值】 【例9-1】．已知是整数，求自然数n的值. 【例9-2】．已知=a，求a-992的值． 【变式9-1】． 已知实数 满足 ，求 的值。 【变式9-2】．若二次根式 ， 求 的值. 【变式9-3】．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值. 【变式9-4】．已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值. 【变式9-5】．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21. 设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值 【题型10 化简估算二次根式的值】 【例10-1】．阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道， 例题：求的值． 解：设，两边平方得： ， 即，， ， ， ， 请利用上述方法，求的值． 【例10-2】．求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【变式10-1】．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【变式10-2】．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：，，；以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）若a是的小数部分，求的值； （3）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【变式10-3】．阅读理解材料：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：　 　. 【变式10-4】估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 学科网（北京）股份有限公司 $$