专题1.4 直角三角形（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4 直角三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2025·山东青岛·一模）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·北京海淀·一模）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（　　）．    A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 13．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，点D、E、F是三边上的点，连接、，．若．则 ． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 15．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为 ． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则 ． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是高，，，在边上取点D，连接，，若，，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．   (1)求证：； (2)求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 21． （本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在C中，，点是平面内一点，且．点是的中点，连接． (1)如图①，若点是下方一点，过点作分别交于点． ①求证：； ②若，求的长； (2) 如图②，若点是右侧一点，试判断之间的数量关系，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（22-23八年级上·河北石家庄·期末）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，则与的数量关系是______． (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B D C A C C D 1．C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质． 【详解】解：∵ ∴，     ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和，直角三角形的定义，掌握这三个知识点是解题的关键．根据勾股定理，直角三角形定义进行判定即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、最大角，故不是直角三角形，符合题意； D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，过点A作，过点C作，先证明，可得，从而得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作，过点C作， 两个完全相同的直尺， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．C 【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴， ∴， ∴被测物体表面的倾斜角为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键． 7．A 【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，利用直角三角形两锐角互余结合平角的定义进一步证明，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故A，B，D正确， C错误， 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 【详解】解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理及全等三角形的性质，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， 则， 又， 则，，故A正确， 是正三角形， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，故B正确， 又是正三角形， ， ，故C正确， ∵， ∴，故D错误． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．连接，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．/64度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，四边形内角和定理，证明得到是解题的关键．利用证明得到，利用，求出，即可求出，再利用四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 15． 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 16． 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，当点与重合时，的边长最长，根据角所对的直角边是斜边的一半可得，，再由勾股定理可得答案．利用勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当点重合且点在上时，等边的边长最长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴在中，， ∴等边的边长的最大值为． 17． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．作，，垂足分别为、，证明可推出，再证明，再证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形， ，， ∵D是中点， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识点，作出正确的辅助线、灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 如图：过点E作，交的延长线于点F，先分别证明、，由此可得，，再结合可得，由此可得，然后将代入计算即可． 【详解】解：如图：过点E作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，解得：． 故答案为：． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． （1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出； （2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 22．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 23．(1)①证明见解析；②； (2)，理由见解析． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案； （2）过点作，交的延长线于点，证明），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）①证明：设和相交于点，如下图 为的中点， ． ， ， ． ， ， ， ； ②解：， ． ， ． ， ， ． ， ． （2）解：． 理由：过点作，交的延长线于点， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1），根据，，，可得，，，可得，结合，即可得到，即可得到答案； （2）根据，，可得，，，可得，结合可得，结合，，即可的得到答案； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D，根据（1）可得，易得，根据，，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）过B作轴，过A作轴，过C作轴，、、分别交于点E、D， ∵轴，轴，轴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴点坐标为 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，全等三角形性质及判定，解题的关键是根据互同角的余角相等等到三角形全等的条件及作辅助线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$