7.2 幂的乘方与积的乘方 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

7.2 幂的乘方与积的乘方 1、 幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 巩固课内例1:幂的乘方运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ； 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 巩固课内例2:幂的乘方与合并同类项、同底数幂乘法运算结合 1．计算的结果为（      ） A．0 B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例3:两个积的乘方运算 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 3．计算：． 巩固课内例4:多个积的乘方运算 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．结果用科学记数法表示为 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型一、幂的乘方简单运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ； ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、积的乘方简单运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： 类型三、两个乘方运算与合并同类项结合 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简：（1）      （2） 3．． 类型四、两个乘方运算与同底数幂乘法结合 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算（1） ；（2） ． 3．计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 类型一、幂的乘方逆用 1．已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 2．，，则 ． 3．已知，求的值． 类型二、积的乘方逆用 1．计算：的结果是（   ） A． B． C． D．2 2．已知，则 ． 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 类型三、幂的乘方运算与有理数乘方运算结合 1．若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②若，则________； ③若，则________． (2)若，，．请探索a，b，c之间的数量关系并说明理由． 类型四、比较大小(简单) 1．已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 2．比较大小： ． 3．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 类型五、两个乘方运算与一元一次方程结合 1．如果，那么，的值等于（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知：，则的值为 ． 3．解方程：． 类型一、积的乘方运算凑整 1．的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 2．计算： ． 3．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 类型二、新定义运算 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．我们知道，同底数幂的乘法则为：（其中，、为正整数）类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么 ． 3．规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______；______． (2)若，则______． (3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：． 类型三、规律问题 1．观察算式，探究规律： 当时，； 当时， ； 当时，； 当时，；… 那么与n的关系为（       ） A． B． C． D． 2．请认真分析下面一组等式的特征： ； ； ； ； 请你根据这一组等式的规律，写出第个式子： 3．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：       ______； 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：． 类型四、比较大小(复杂) 1．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （填“”或“”或“=”）． 3．阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 3．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．若，，则的值为 ． 6．我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 7．计算 （1）； （2）； （3）； （4） 8．计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 9．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 10．阅读下列材料,并解决下面的问题: 我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质: 其中且 根据上面的规定,请解决下面问题: (1)计算: _______(请直接写出结果)； (2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 幂的乘方与积的乘方 1、 幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 巩固课内例1:幂的乘方运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方，计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘，据此可解． 【详解】解：， 故选D． 2．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可，也是解题关键． 【详解】解：；． 故答案为：；． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则即可求解； （2）根据幂的乘方运算法则即可求解； （3）根据幂的乘方运算法则即可求解； （4）根据幂的乘方运算法则即可求解； （5）根据幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是掌握：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘． 巩固课内例2:幂的乘方与合并同类项、同底数幂乘法运算结合 1．计算的结果为（      ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．先利用幂的乘方和同底数幂的乘法分别计算，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，幂的乘方．根据题意从左到右先把每项单独计算，再计算乘法，最后计算加减即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 巩固课内例3:两个积的乘方运算 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算的结果是 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可得到答案. 【详解】解： 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项． 【详解】解：         ． 【点睛】此题考查了幂的运算的运算以及合并同类项，解题的关键是知道同底数幂相乘底数不变，指数相加；还有负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂还是负数． 巩固课内例4:多个积的乘方运算 1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了积的乘方运算．利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、科学记数法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方的计算公式，以及科学记数法的概念是解题的关键．根据幂的乘方公式：化简得，再根据积的乘方公式：化简得，再进行计算并将计算结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘‌，据此即可求解； （1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （3）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （4）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （5）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可； （6）根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 类型一、幂的乘方简单运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项进行计算即可得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解答的关键是掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算法则． 根据同底数幂的乘法和积的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：；． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法和积的乘方法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可。 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 类型二、积的乘方简单运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方，直接利用积的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则．根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，理解幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答关键． 先计算幂的乘方和积的乘方，再计算乘法即可求解． 【详解】解： 类型三、两个乘方运算与合并同类项结合 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，利用运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：A． 2．化简：（1）      （2） 【答案】 b 【分析】本题考查的是整式的减法运算，幂的乘方． （1）根据整式的减法运算即可求解； （2）根据幂的乘方即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：b； （2）； 故答案为：． 3．． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项运算法则计算即可． 【详解】解： ． 类型四、两个乘方运算与同底数幂乘法结合 1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、 ，故选项不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、 ，故选项符合题意； 故选：． 2．计算（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查整式乘法．根据同底数幂的法则、积的乘方法则进行计算． 【详解】解：（1）；（2）． 故答案为：；． 3．计算 (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ②先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ③先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可； ④先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算； ⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：①原式 ； （2）②原式 ； （3）③原式 ； （4）④原式 ； （5）⑤原式 ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方，同类项的合并等知识，正确计算是解题的关键．注意第（4）小题整体思想的运用． 类型一、幂的乘方逆用 1．已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 2．，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方逆用．原式先依据积的乘方计算得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 3．已知，求的值． 【答案】128 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，然后利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 类型二、积的乘方逆用 1．计算：的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方和积的乘方的计算及应用能力，运用幂的乘方和积的乘方知识进行变形、求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 类型三、幂的乘方运算与有理数乘方运算结合 1．若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出，然后利用幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键熟练掌握各种运算的特点． 将原式化为，继而得到即可求解． 【详解】解： ． 3．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①________； ②若，则________； ③若，则________． (2)若，，．请探索a，b，c之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①2；②2；③81 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键． （1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可； （2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：2； ②∵， ∴． 故答案为：2； ③∵， ∴．　　 故答案为：81． （2），，， ，，， ， ， ， ， ． 类型四、比较大小(简单) 1．已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；把两个幂转化为同指数的两个幂，根据指数相同，两个正底数中，底数大的幂也大即可比较大小． 【详解】解：∵， 而， ∴， 即； 故答案为：． 3．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 类型五、两个乘方运算与一元一次方程结合 1．如果，那么，的值等于（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是积的乘方运算及同底数幂的乘法，根据积的乘方运算可得，再建立简单方程求解即可，熟记幂的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：C． 2．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据积的乘方化简得到，进而求解即可． 此题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，幂的乘方，一元一次方程的应用．将成，再根据等式的性质列式，计算即可求解． 【详解】解：由原方程得， ∴， ∴， 解得． 类型一、积的乘方运算凑整 1．的计算结果是（   ）． A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，有理数的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键，将原式化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算： (1) (2)若，请求出n的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，以及幂的乘方的逆用； （1）根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果； （2）根据已知可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得 类型二、新定义运算 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，将变形成，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，解题的关键是仔细阅读已知材料，找到关于运算的规律． 2．我们知道，同底数幂的乘法则为：（其中，、为正整数）类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么 ． 【答案】． 【分析】根据，利用新定义规则求出，，……发现规律，按规律计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… ， =． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义问题，分数的乘方运算，仔细阅读题目，找出运算规律是解题关键． 3．规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______；______． (2)若，则______． (3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：． 【答案】(1)3， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的两数之间的运算法则解答； （3）根据积的乘方法则，结合定义计算； 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ， 故答案为：； （3）解：设，，， 则，，， ∴， ，即． 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 类型三、规律问题 1．观察算式，探究规律： 当时，； 当时， ； 当时，； 当时，；… 那么与n的关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察不难发现，底数是两个连续整数的乘积的一半，根据此规律写出即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，难度较大，对同学们的数字敏感程度要求较高，观察出底数的变化特点是解题的关键． 2．请认真分析下面一组等式的特征： ； ； ； ； 请你根据这一组等式的规律，写出第个式子： 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，探究等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．等式的左边是连续的两个奇数相乘，右边是两个数的平均数的平方减去，据这一规律用字母表示即可． 【详解】解：根据题意可得： 第一项中，，， 第二项中，，， 第三项中，，， 故第项中：等号左边乘数为和，等号右边为， 第个式子为：， 故答案为：． 3．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：       ______； 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：． 【答案】【规律探究】；【解决问题】；【拓展应用】 【分析】本题考查实践探索问题、整式的混合运算等知识点，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积是解题的关键． （1）计算大正方形面积，然后将36开方即可解答； （2）可转化为大正方形面积，其边长为，再求面积化简即可； 提公因式8转化为，然后运用规律计算即可． 【详解】解：规律探究：大正方形的面积． 故答案为：． 解决问题：由上面表示几何图形的面积探究可得：， 又， ∴． 故答案为：． 拓展应用：． 故答案为：． 类型四、比较大小(复杂) 1．已知，，，比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 2．比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形． 先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，合并同类项，去括号，根据同类项判断A；根据去括号法则计算判断B；再根据同底数幂相乘法则计算判断C，最后根据幂的乘方计算判断D． 【详解】因为3和不是同类项，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． 2．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 3．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意，则，再根据，把，，代入，进行计算，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 7．计算 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）（2）（3）-4（4）． 【分析】（1）根据幂的运算法则即可求解； （2）根据幂的运算法则即可求解； （3）根据积的乘方逆运算则即可求解； （4）根据幂的运算法则即可求解． 【详解】（1） = （2） = = （3） = = =-4 （4） = =． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则． 8．计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可； （2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可； （3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 9．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 10．阅读下列材料,并解决下面的问题: 我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子可以变形为也可以变形为.在式子中,3叫做以2为底8的对数,记为一般地,若则叫做以为底的对数,记为且具有性质: 其中且 根据上面的规定,请解决下面问题: (1)计算: _______(请直接写出结果)； (2)已知请你用含的代数式来表示其中(请写出必要的过程). 【答案】（1）0;2（2） 【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形再带入即可 【详解】解：（1） （2）已知 所以 【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方的应用以及学生分析理解的能力，正确理解题意是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$