7.1 同底数幂的乘法 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

7.1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 巩固课内例1、同底数幂相乘的计算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：． 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例2、用科学记数法表示运算结果 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 2．已知卫星速度是，则卫星运行走过的路程是 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法．根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 3．光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约是，地球与太阳的距离约是多少千米？ 【答案】 【分析】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则. 根据距离=速度×时间即可求解. 【详解】解：. 故地球与太阳的距离约是 类型一、不含符号的直接运算 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加, 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．若，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据同底数幂的乘法求解即可；本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】，， 故答案为：4． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据，代入求值即可． 【详解】解：，， ． 类型二、含符号的直接运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，按照同底数幂相乘法则计算结果，即可解答，熟知同底数幂相乘底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键，直接根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3)－b4m+1 (4)x8 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解； （3）先确定符号，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了同底数的幂的乘法，解题的关键是掌握“根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 类型三、同底数幂与乘方运算结合 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据“1兆1万1万1亿”列式计算，即可解题． 【详解】解：1兆1万1万1亿， 则， 故选：D． 2．若（为大于1的整数），则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查合并同类项及同底数幂的乘法．根据合并同类项与同底数幂的乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：9． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和科学记数法，先运用积的乘方运算法则运算，然后运用科学记数法记数是解题的关键． 【详解】解： ． 类型一、同底数幂与代数式加减结合 1．已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．先求得，进而根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求得答案． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 3．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把与代入中，根据整式的加减运算法则进行化简，再根据求出值即可； （2）已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，再利用幂相等的条件得到与的关系式，根据与为整数，表示出值，即可作出判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 把代入得， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴的值是偶数． 【点睛】此题考查了整式的加减—化简求值，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型二、同底数幂与一元一次方程结合 1．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，一元一次方程的应用，根据同底数幂的乘法可得出，然后解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：． 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法得到，然后得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 3．已知常数，满足，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 类型三、多个同底数幂相乘(单项式) 1．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．先利用同底数幂的乘法法则，再利用求相同加数的和的简便算法得结论． 【详解】解： ． 故选：C 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法运算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．把原式化为同底数幂的乘法，再把底数不变，指数相加即可． 【详解】解：原式 ． 类型四、多个同底数幂相乘(多项式) 1．计算（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 根据同底数幂的乘法计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，先将原式变形为：，然后根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 类型五、字母之间的等量关系 1．若，其中为大于2的整数，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算．熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 2．已知，，，则a，b，c之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的运算，熟练掌握同底数幂相乘的运算法则是解题关键． 3．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，同底数幂乘法计算： （1）根据所给新定义结合乘方计算法则求解即可； （2）根据新定义得到，则有，进而得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型六、幻方问题 1．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ， 即， 解得， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键． 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、负指数幂计算及代数式求值，由题意可得到关于的两个方程，解方程即可求出的值，再把的值代入计算即可求解，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，，， 解得，， ∴， 故选：． 3．阅读与思考： 幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示．    (1)①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把，，，，0，1，2，3，4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； (2)请把，，，，，，，，填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，求每行的和（用含x的式子表示）； (3)根据上述填数经验，请把，，，，，，，，；填入如图5的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是理解题意，发现数字的变化规律． （1）根据题意可以解答本题； （2）根据题目中的信息可以解答本题，并写出每行的和； （3）根据题意可以补充完整． 【详解】（1）解：如下图2①和图2②所示：    （2）解：如下图3所示：    ∴每行的和为：， 故答案为：； （3）解：如下图4所示：    类型一、杨辉三角 1．杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了2，3，4，的展开式的系数规律按a的次数由大到小的顺序： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】,由此可以判断含项的是展开式中的第二项，然后根据“杨辉三角”展开计算即可； 【详解】由“杨辉三角”展开式的系数规律可得： 第二项的展开系数为： 故答案式：. 【点睛】本题主要结合规律探究考查整式的计算，对题目规律的准确判断和熟练掌握整式的计算方法是解决本题的关键. 3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【详解】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 类型二、新定义运算 1．对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 2．如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 3．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 类型三、数列规律问题 1．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和 ． 【答案】 【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题． 【详解】观察、发现 ∴ = = =（把代入） = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之． 3．阅读下面的文字,回答后面的问题： 求的值. 解：令 将等式两边同时乘以5得到: ②-①得: ∴即 问题:(1)求的值； (2)求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答. 【详解】解：（1）令 将等式两边同时乘以2得到: ②-①得: ∴即 （2） 令 将等式两边同时乘以3得到: ②-①得: 【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键. 类型四、延伸拓展——复数问题 1．我们知道一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若规定一个新数“i”，使其满与，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则的值是（    ） A．－i B．i C．－1 D．1 【答案】B 【分析】根据题设条件，计算出，，，，的值，随后探究出与相等，的整数指数幂出现循环，循环节为4，故，据此计算即可． 【详解】解：∵，，，， ，… ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确理解题设材料情景，找到循环节，是解题的关键． 2．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． 根据以上信息，下列各式： ①； ②； ③ ④． 其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】理解的含义以及运算，再对选项逐个判断即可． 【详解】解：，①正确； ，②正确； ，③正确； ∵， ∴， ∴，④正确； 故答案为：①②③④ 【点睛】此题考查了数字的变化规律，乘方运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用其中的定义与公式是解题的关键． 3．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：；． 根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算， （1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算，再将代入求解即可； （2）先根据新定义进行计算，可以发现规律为四个一循环，进而求解即可； 准确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）∵， ∴，每4个一循环； ∴， ∵， ∴原式 ． 类型五、延伸拓展——对数问题 1．定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（   ） A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04 【答案】D 【分析】根据新定义的运算和幂的相关运算，求出关于m，n的式子再进行求解. 【详解】∵，， ∴5m=0.4,5n=4 ∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04 故选D. 【点睛】此题主要考查实数新定义的运算，解题的关键是根据题意求出相关式子，再根据幂的运算法则进行求解. 2．阅读后填空 在式子中，已知求叫乘方运算，已知求叫开方运算，已知求叫做对数运算，记作． 如求，得，记作 求，得，记作 求，得，记作 请计算 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了乘方，负整数指数幂．根据新定义代入计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：7 3．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原说法正确，不符合题意； B、与不是同底数幂，计算错误，符合题意； C、，故原说法正确，不符合题意； D、，故原说法正确，不符合题意； 故选:B． 2．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法可得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握乘方的符号法则，同底数幂乘法，提取公因式，是计算本题是关键． 原式化为，逆用同底数幂乘法法则得，提取公因式得，计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂相乘的逆运算，正确将多项式变形为是解题的关键．利用同底数幂相乘得到，将数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 6．若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 7．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （3）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （4）利用同底数幂的乘法法则计算即可； （5）利用同底数幂的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 8．已知，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则进行整理，即可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得： 9． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和整式的减法运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 10．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2；0 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∵， ∴． （2）解：设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法运算性质： 1.同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 2.运用同底数幂的乘法的运算性质的条件 在同底数幂的运算中，经常用到两个变形 巩固课内例1、同底数幂相乘的计算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例2、用科学记数法表示运算结果 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知卫星速度是，则卫星运行走过的路程是 m． 3．光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约是，地球与太阳的距离约是多少千米？ 类型一、不含符号的直接运算 1．计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为 ． 3．已知，，求的值． 类型二、含符号的直接运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、同底数幂与乘方运算结合 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．若（为大于1的整数），则的值是 ． 3．计算： 类型一、同底数幂与代数式加减结合 1．已知，则（         ） A．24 B．27 C．54 D．81 2．已知，则的值为 ． 3．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且是整数，试说明的值是偶数． 类型二、同底数幂与一元一次方程结合 1．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，则 ． 3．已知常数，满足，且，求的值． 类型三、多个同底数幂相乘(单项式) 1．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．（结果用幂的形式表示） 类型四、多个同底数幂相乘(多项式) 1．计算（　　　） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算：． 类型五、字母之间的等量关系 1．若，其中为大于2的整数，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c之间的数量关系是 ． 3．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 类型六、幻方问题 1．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．    3．阅读与思考： 幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示．    (1)①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把，，，，0，1，2，3，4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； (2)请把，，，，，，，，填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，求每行的和（用含x的式子表示）； (3)根据上述填数经验，请把，，，，，，，，；填入如图5的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 类型一、杨辉三角 1．杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了2，3，4，的展开式的系数规律按a的次数由大到小的顺序： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 类型二、新定义运算 1．对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 2．如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 3．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 类型三、数列规律问题 1．观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 2．观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和 ． 3．阅读下面的文字,回答后面的问题： 求的值. 解：令 将等式两边同时乘以5得到: ②-①得: ∴即 问题:(1)求的值； (2)求的值. 类型四、延伸拓展——复数问题 1．我们知道一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若规定一个新数“i”，使其满与，且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，同时原有的运算法则和运算律仍然成立，则的值是（    ） A．－i B．i C．－1 D．1 2．定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． 根据以上信息，下列各式： ①； ②； ③ ④． 其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）． 3．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：；． 根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 类型五、延伸拓展——对数问题 1．定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（   ） A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04 2．阅读后填空 在式子中，已知求叫乘方运算，已知求叫开方运算，已知求叫做对数运算，记作． 如求，得，记作 求，得，记作 求，得，记作 请计算 ． 3．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 4． ． 5．已知，则的值为 ． 6．若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 7．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 8．已知，求x的值． 9． (1)； (2)． 10．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$