4.1.2分步乘法计数原理 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 4.1.2 分步乘法计数原理 教学目标 1.通过实例，能归纳出分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣。 2.掌握分步乘法计数原理，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程。 3.经历由实际问题推导出分步乘法计数原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 4.能够根据实际问题的特征，正确选择合适的计数原理来解决问题。 教学内容 教学重点： 1.通过实例，归纳出分步乘法计数原理，能运用它解决简单的实际问题。 2.结合具体问题，初步感受“分步”的特征。 教学难点： 1.正确理解“完成一件事”的含义，正确区分“分类”和“分步”的特征。 2.根据实际问题的特征，正确选择合适的计数原理来解决问题。 教学过程 一、知识回顾 分类加法计数原理： 如果完成一件事情有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有种不同的方法． 二、探索新知 问题3 从甲地到乙地 ,需从甲地乘汽车到丙地 ,再于次日从丙地乘火车到乙地 ,如果一天内有4趟汽车从甲地开往丙地 ,有3列火车从丙地开往乙地 ,那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择? 问题4 某书架有三层 ,第一层放有3本不同的数学书 ,第二层放有2本不同的语文书 ,第三层放有2本不同的英语书.从书架的第一 、二 、三层各取 1本书 ,共有多少种不同的取法? （一）探究两个问题 分析问题1： 问题剖析 问题解答 要完成什么事情 从甲地到丙地再到乙地 完成这个事情有几个步骤 两个步骤 每个步骤能否独立完成这件事情 不能独立完成这件事 每个步骤中分别有几种不同的方法 乘汽车有4种方法，乘火车有3种方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 4×3=12种 分析问题2： 问题剖析 问题解答 要完成什么事情 从书架的第一、二、三层各取1本书 完成这个事情有几个步骤 三个步骤 每个步骤能否独立完成这件事情 不能独立完成这件事 每个步骤中分别有几种不同的方法 第一步取数学书有3种方法， 第二步取语文书有2种方法， 第三步取英语书也有2种方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 3×2×2=12种 以上两个问题的共性： 1.每个步骤不能独立完成这件事情； 2.依次完成所有步骤，恰好完成任务。 （二）归纳原理 1.分类加法计数原理： 如果完成一件事情需要分成个步骤，在第1步有种不同的方法，在第2步中有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有种不同的方法． 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理． （三）例题解析 例1 通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码（共11位数字）的前七位是统一的，后四位都是0～9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码? 解：给教室里的座位编号，有两种办法，一是用一个大写的英文字母编号，二是用一个阿拉伯数字编号， 用大写的英文字母编号，有26种不同的方法， 用一个阿拉伯数字编号，有10种不同的方法， 所以一共能编出26+10=36种不同的号码． 例2：某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）． （1）如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？ （2）如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 解：（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类： 第一类，选一名教师主持，有3种选法； 第二类，选一名男同学主持，有4种选法； 第三类，选一名女同学主持，有5种选法． 根据分类加法计数原理，共有3＋4＋5=12 种不同的选法． （2）解：（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步： 第一步，选出一名教师，有3种选法； 第二步，选出一名男同学，有4种选法； 第三步，选出一名女同学，有5种选法． 根据分步乘法计数原理，共有3×4×5=60种不同的选法． 变式：若条件不变，问题改为：如果需要一名教师和一名学生来共同主持晚会，共有多少种不同的选法？ 分析：本题与例2的区别在于这里说的是“一名学生”，那么需要先分步：第一步选一名教师，第二步选一名学生，而学生又可以分为男生和女生两类。因此，这是既要分步也要分类的“混合问题”。 解：第一步，选出一名教师，有3种选法； 第二步，选出一名学生，可以有两类办法， 第一类，选出一名男同学，有4种选法， 第二类，选出一名女同学，有5种选法． 根据分类加法计数原理得到，选出一名学生有4+5=9种选法， 再根据分步乘法计数原理，要一名教师和一名学生来共同主持晚会， 共有3×9=27种不同的选法。 【方法点睛】 在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题时，一定要分清完成这件事是有n类办法还是有n个步骤． 分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 分步要做到“步骤完整”——依次完成所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理求积，得到总数． 三、巩固练习 练习1 某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植 A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案? 解：依题意，知可要在4种不同类型的土地上试验种植小麦分四步来完成， 第一步，种植第一块地，有4种选法； 第二步，种植第二块地，有3种选法； 第三步，种植第三块地，有2种选法； 第四步，种植第四块地，有1种选法． 根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2×1= 24种不同的选法． 练习2 某校确定的优秀毕业生候选人中，一班有3人，二班有5人，三班有2人． （1）从三个班中评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法? （2）从三个班中各评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法? 解：（1）依题意，根据分类加法计数原理，评选出1名优秀毕业生， 共有3＋5＋2 = 10 种不同的选法． （2）依题意，从三个班中各评选出一名优秀毕业生需分三步来完成， 第一步，从一班选出一名优秀毕业生，有3种选法； 第二步，从二班选出一名优秀毕业生，有5种选法； 第三步，从三班选出一名优秀毕业生，有2种选法． 根据分步乘法计数原理，共有 3×5×2 = 30 种不同的选法． 四、归纳小结 1.分步乘法计数原理. 2.方法总结： ①如果完成一件事有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理． ②如果完成一件事需要分成多个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤有若干种不同的方法,求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理． ③按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步． 5、 课后作业 必做：教材第182页习题4.1第2题及第183页第7题 选做：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． （1）这样的四位数共有多少个？ （2）这些四位数中大于2000的有多少个？ （3）这些四位数中有多少个是偶数？ 学科网（北京）股份有限公司 $$