精品解析：山西现代双语学校南校2024-2025学年高三上学期第三次月考（12月）数学试题

山西现代双语学校南校高三年级第三次月考 数学试卷 （2024.10.考试时间：120分钟） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. 的最大内角是最小内角的2倍 C. 若为中点，则 D. 若，则 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. 13. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 14. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，的对边分别为，的面积为，． （1）求角． （2）若的面积为，，为边的中点，求的长． 16. 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． （1）求和的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校南校高三年级第三次月考 数学试卷 （2024.10.考试时间：120分钟） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出复数，利用复数的乘方运算求出复数，再求出共轭复数，再计算除法即可. 【详解】设，则 又，得到， 所以，所以或，得到， 所以. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程求出，根据交集可直接得到答案. 【详解】，解得，或，所以. 故选：B. 3. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项． 【详解】∵，所以，故排除C，D， 当时，恒成立，排除A， 故选：B． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性及定义域，及条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由在上递增，而，则，此时，充分性成立， 若，则，假设时，无意义，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可. 【详解】解：令， 在上单调递减， 在内递增，且恒大于且 . 故选：C. 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出即的图象数形结合求解即可. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，所以， 当时，即单调递增，又，则， 又时，单调递增，又，则， 作出的图象如图，由，则， 解得或，所以实数的取值范围为． 故选：C. 7. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 8. 已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数，再利用导数求出最小值. 【详解】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数，在上有相同的零点是求解的关键. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. 的最大内角是最小内角的2倍 C. 若为中点，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D. 【详解】由题知内角所对的边分别为， 由正弦定理可知，不妨设，则， 对于A，由上知边为最大边，故为最大角， 由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误； 对于，由上知A为最小角，且， 又，知，即， 又均为锐角，则，故B正确； 对于，因为为中点，所以， 平方得， ，又，故，故C正确； 对于D，由，得，又， 所以，由，即， 故，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 若是的极大值点，则且 C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为 D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D. 【详解】,若是的极小值点,则， 故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值， 故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧， 在上不单调，A错误. ，若是的极大值点，则， 所以. 若没有极值点.的解为. 因为是的极大值点，所以，即B正确. 若，则. 因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0， 所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0， 所以解得，C正确. 若，则. 令，若，即单调递增，符合题意. 由，解得或， 此时的2个解为. 当时，，所以在上单调递减， 即当，时，，不符合题意. 当时，， 所以在上的最大值为，且，不符合题意. 综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确， 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为,，求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为,， 由两曲线有公切线得，解得， 则切点为，切线方程为， 根据两切线重合，解得． 故答案为：1． 13. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将问题转化为.，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 14. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数并根据奇偶性定义可得是上的奇函数，求导可得在上单调递增，结合奇函数性质可将不等式化为，即可得出解集. 【详解】令，所以， 因为，所以， 化简得，所以是上的奇函数； 易知， 因为当时，， 所以当时，，从而在上单调递增， 又是上的奇函数，所以在上单调递增； 考虑到，由，得， 即， 又在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件特征构造函数，再由导函数求出函数单调性，结合奇函数性质解不等式即可. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，的对边分别为，的面积为，． （1）求角． （2）若的面积为，，为边的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角即可. （2）利用余弦定理得到，再结合向量中线定理转化求解即可. 【小问1详解】 由题意得 ， 由正弦定理，得，即， 所以．又，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，所以． 因为，所以， 即，所以． 因为是边的中点，所以， 所以， 所以，所以的长为． 16. 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数． （1）求和的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数定义以及奇函数性质计算可得解析式； （2）由解析式可得函数单调递减，再由奇函数性质解不等式即可得出结果. 【小问1详解】 设且， 可得 即是定义在上的奇函数， 因此， 即对恒成立， 解得， 所以； 【小问2详解】 易知， 因此可得为定义在上的单调递减函数； 恒成立， 所以恒成立， 即恒成立，因此恒成立， 可得，解得. 17. 设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得； （2）将函数求导，从导函数对应方程根的判别式入手，就参数的范围进行分类讨论，即得原函数的单调性； （3）将题设不等式转化成在上恒成立，记，求导后得，通过构造函数，求导判断其在为减函数，得，推出恒成立，从而即可判断的单调性得到，即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． 【小问3详解】 因为时，，即， 当时，上式成立， 而当时，即恒成立，记， 则． 记，则， 则在为减函数，则，即恒成立， 则当时，则在上递减， 当时，，则在上递增， ，则，所以的取值范围为． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 （i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）略 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 函数是上的“双中值函数”．理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①； ②不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②略 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $