专题11 解直角三角形的应用（7大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题11 解直角三角形的应用 目录 【题型一 仰角俯角问题】 1 【题型二 方位角问题】 3 【题型三 坡度坡比问题】 6 【题型四 物理模型问题】 8 【题型五 实物抽象模型问题】 11 【题型六 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 13 【题型七 方案设计问题】 17 【题型一 仰角俯角问题】 例题：（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高为（   ）米． A．60 B．65 C．75 D．90 【答案】A 【分析】本题考查了仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 根据题意可得，在中，运用，可得米，在中，运用，可得米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（    ）千米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，画出图形，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意，为飞机离水平地面的高度，为飞机与目标A的距离，画图如下： 则：，，， 在中，； 故选A． 2．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 【题型二 方位角问题】 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【题型三 坡度坡比问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F， 根据题意可知，， ∴，． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． ∴， 则． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是 ． 【答案】/米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型四 物理模型问题】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示） 【答案】 【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键． 【详解】解：延长交于． ， ， ， ， ． 故答案为： 2．（2023·江西吉安·三模）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 【题型五 实物抽象模型问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点升高的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：栏杆端升高的高度（米）， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）如图是某超市里电梯的截面图，已知米，，则高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据的正弦定义即可得到结论． 【详解】解：在中，， 米， 米， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过作于，解直角三角形即可得到；过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 【详解】解：过作于． ． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 过作交的延长线于， ， ∴拉杆端点到水平滑杆的距离为． 故答案为：． 【题型六 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 例题：（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形，解直求出的长，进而求出的长，再解求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题以及坡度坡角问题．过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 斜面坡度为， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ， ， ， ， ， 解得：， 故米， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 【题型七 方案设计问题】 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 米，米， 在中，，米， 则米， 在中，，米， ， （米）， 米， 维修此大坝需要土石：（立方米）， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中， （米） （米） 故答案为：米． 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由题意，米， ∴， ∴米； 故选B． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，一架钟的钟摆的长为，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角，，垂足为D，则的长为（参考数据：，，）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，根据题意，结合等腰三角形的性质求得得到，再利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 在，， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知窗户高米，窗户外面上方米的点C处安装水平遮阳板，遮阳板D处到窗户底部B处的距离米．当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m，n满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，利用三角函数解直角三角形即可 【详解】由题意知，米， ∵光线与水平线成α角， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（  ） A．60米 B．米 C．米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为， ， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，首先证明四边形是矩形，利用的正弦值可求出的长，即可得的长，利用的正切值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中,， ∴， ∴， 在中,， ， ， 故选: B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，测量河宽（河的两岸平行），在点测得，在点测得，又，则河宽的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 在中， ． 故答案是：． 7．（24-25九年级上·福建南平·期中）鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        【答案】或23 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：把实际问题归结为直角三角形中边角关系问题加以解决是解题的关键． 在和中，根据三角函数解答即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在中，米， 在中，，即， 解得：米，或米， ∴米或23米， 故答案为：或23． 8．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】38.5 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，则， ，， ， ， 在中，， ． 点A到的距离约为38.5． 故答案为：38.5 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，要将一段坡角为的路面削为坡角为的斜坡，已知原来的坡长为，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】7.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由直角三角形的特征及余弦函数得，，由正切函数得，由即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， 设， ， ， 则 ， ， 自坡顶挖下的铅直高度x约为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据等腰三角形的性质构造直角三角形是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，过点作得到，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， 米， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    【答案】渔船航行的速度为每小时40海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．理解题意，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 过点作于点，设海里，用表示，，，根据列出关于的方程，解出，再求出，进而求出，由此即可求出该渔船的航行速度． 【详解】解：过点作于点，    由题意可得：，，， 设海里， 在中， 海里， 在中， ， ， ， 解得：， 即海里，海里， ， ， 又， 海里， 海里， 该渔船航行的速度为（海里/小时） 答：渔船航行的速度为每小时40海里． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度． (参考数据：，，) 【答案】连接杆的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点作于点．解直角三角形求出，，再求出，可以利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，，， ，， ，， ， ∴ 答：连接杆的长度为． 13．（24-25九年级上·山西晋中·期末）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图．如图2，表示底座，表示支架杆，表示面板．眼睛望向面板形成一个的俯角（望向面板中心的视线与水平线的夹角），且视线与面板成直角．此时测得，，底座的厚度为，． (1)填空：_________． (2)求支架上方边界距离桌面的高度．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1) (2)支架上方边界距离桌面的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线． （1）过点作，延长交于点，利用直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出，，即可解答； （2）过点作于点G，过点作于点H，在与中，解直角三角形分别求出，，再加上的厚度即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，延长交于点， 根据题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作于点G，过点作于点H， 由（1）知， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：支架上方边界距离桌面的高度约为． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期末）综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，明确题意、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由中点的定义可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答； （2）利用锐角三角函数求出长，然后再运用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． （2）解：∵在中，， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． (1)求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） (2)求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键． （1）根据坡比的定义和勾股定理即可求解； （2）过点作于点，解即可求解． 【详解】（1）解：走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米， （米， （米； 答：莹莹和走走两人之间的距离为米； （2）解：设米，如图所示，过点作于点， ，米，则米， ， 米， 米， 在中，， ， 解得：， 米． 答：此时无人机的高度约为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 解直角三角形的应用 目录 【题型一 仰角俯角问题】 1 【题型二 方位角问题】 2 【题型三 坡度坡比问题】 3 【题型四 物理模型问题】 3 【题型五 实物抽象模型问题】 5 【题型六 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 6 【题型七 方案设计问题】 7 【题型一 仰角俯角问题】 例题：（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高为（   ）米． A．60 B．65 C．75 D．90 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为，那么这时飞机与目标A的距离为（    ）千米． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 【题型二 方位角问题】 例题：（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【变式训练】 1．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【题型三 坡度坡比问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（    ）米． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是 ． 【题型四 物理模型问题】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【变式训练】 1．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示） 2．（2023·江西吉安·三模）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【题型五 实物抽象模型问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆端点升高的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练】 1．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）如图是某超市里电梯的截面图，已知米，，则高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 【题型六 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 例题：（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【题型七 方案设计问题】 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，一架钟的钟摆的长为，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角，，垂足为D，则的长为（参考数据：，，）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知窗户高米，窗户外面上方米的点C处安装水平遮阳板，遮阳板D处到窗户底部B处的距离米．当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m，n满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为20米，则滑雪道的长为（  ） A．60米 B．米 C．米 D．80米 5．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，测量河宽（河的两岸平行），在点测得，在点测得，又，则河宽的长为 （结果保留根号）． 7．（24-25九年级上·福建南平·期中）鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        8．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 9．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，要将一段坡角为的路面削为坡角为的斜坡，已知原来的坡长为，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据：，，结果精确到） 10．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为 米． 三、解答题 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度． (参考数据：，，) 13．（24-25九年级上·山西晋中·期末）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图．如图2，表示底座，表示支架杆，表示面板．眼睛望向面板形成一个的俯角（望向面板中心的视线与水平线的夹角），且视线与面板成直角．此时测得，，底座的厚度为，． (1)填空：_________． (2)求支架上方边界距离桌面的高度．（结果精确到．参考数据：，） 14．（24-25九年级上·河北邢台·期末）综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料．如图，在航拍时，莹莹在处测得无人机的仰角为，同时走走登上斜坡的处测得无人机的仰角为．若走走所在斜坡的坡比为，铅垂高度米（点，，，在同一水平线上）． (1)求莹莹和走走两人之间的距离；（结果保留根号） (2)求此时无人机的高度．（，，，结果精确到1米） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$