专题10 解直角三角形（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题10 解直角三角形 目录 【题型一 解直角三角形】 1 【题型二 解非直角三角形】 2 【题型三 网格问题】 3 【题型四 构造直角三角形求不规则图形的面积】 4 【题型五 在四边形中解直角三角形】 5 【题型六 在平面直角坐标系中解直角三角形】 6 【题型七 函数与解直角三角形】 7 【题型八 动态问题与解直角三角形】 8 【题型一 解直角三角形】 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，是的切线，为切点，连接、．若，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 【题型二 解非直角三角形】 例题：（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 2．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【题型三 网格问题】 例题：（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【题型四 构造直角三角形求不规则图形的面积】 例题：（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在扇形中，，，以为直径作半圆，圆心为点，过点作的平行线分别交两弧点、，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，以为直径画半圆O，为半圆上一条弦，过点C作于点D，过点O作于点E．连接，若半径，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，，，点是边上的一点，以为半径的与边相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【题型五 在四边形中解直角三角形】 例题：（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【题型六 在平面直角坐标系中解直角三角形】 例题：（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，点P的坐标为，轴于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标 ． 【题型七 函数与解直角三角形】 例题：（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为 ． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，连接，求的面积． 【题型八 动态问题与解直角三角形】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向点B运动，在运动过程中，作交梯形的其它边于点Q．设点P的运动时间为x秒，的面积为y，则y与x的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在矩形中，，E为边上一点，，点P沿着边按的路线运动．在运动过程中，若中有一个角为，则的长为 ． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是半径为的圆外的一点，，是的切线，是切点，弦，连接，则阴影部分的面积等于(  ) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（   ） A．3 B．4 C． D． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．π B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在中，，则 ． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 8．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示，是的弦，是的直径，且，，，则阴影部分图形的面积为 ． 9．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 10．（2021·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 三、解答题 11．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）在三角形中，， (1)求三角形的面积． (2)求角A的对边a的长． 12．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)当，时，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解直角三角形 目录 【题型一 解直角三角形】 1 【题型二 解非直角三角形】 3 【题型三 网格问题】 7 【题型四 构造直角三角形求不规则图形的面积】 10 【题型五 在四边形中解直角三角形】 13 【题型六 在平面直角坐标系中解直角三角形】 16 【题型七 函数与解直角三角形】 19 【题型八 动态问题与解直角三角形】 25 【题型一 解直角三角形】 例题：（24-25九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设，，由勾股定理得出，解方程可得出答案． 【详解】解：，， ， 设，， ， ， 解得（负值舍去）， ． 故答案为：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，是的切线，为切点，连接、．若，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形；根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴在，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键． 先解求出，再利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【题型二 解非直角三角形】 例题：（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 2．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三 网格问题】 例题：（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 【题型四 构造直角三角形求不规则图形的面积】 例题：（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在扇形中，，，以为直径作半圆，圆心为点，过点作的平行线分别交两弧点、，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，直角三角形的面积，含角的直角三角形，三角函数，解答问题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．连接，根据题意得出，进而得出，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，    ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为：   故选：A ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，以为直径画半圆O，为半圆上一条弦，过点C作于点D，过点O作于点E．连接，若半径，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解阴影部分的面积，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，先证明，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：D． 2．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，在中，，，，点是边上的一点，以为半径的与边相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，先根据题意求出，，得到，再根据解三角形的知识求出，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 在中，， ， ， 是圆的切线， 与边相切于点， 是圆的切线， ， ， 与边相切于点， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，切线的性质，解直角三角形以及扇形的面积公式，掌握以上知识点是解答此题的关键． 【题型五 在四边形中解直角三角形】 例题：（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．   故答案为：． 【题型六 在平面直角坐标系中解直角三角形】 例题：（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，点P的坐标为，轴于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义、勾股定理的应用、平面直角坐标系．首先根据点P的坐标为求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再根据余弦的定义求出结果． 【详解】解：点P的坐标为，轴于点， ，， 在中，， ． 故选： ． 【变式训练】 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴在中， ， ∴在中， ， ∴在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为: 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、旋转的性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作轴于点，先根据正切可得，根据勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型七 函数与解直角三角形】 例题：（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点，先得出，，再结合连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，得出，，运用三角形内角和性质得，再结合勾股定理列式计算，得出，得出，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作的延长线于点，记与轴的交点为点， ∵反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到， ∴， 则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵过点Q作轴，过点Q作的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 设（为正数）， 在中， 即， ∴， 解得， ∴， 则， ∵点在第二象限， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质，反比例函数的图象性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 先求出，再根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴点B的坐标为． ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，证四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数和一次函数的交点， 联立， 解得：或， ， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 【题型八 动态问题与解直角三角形】 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，弧长公式，解直角三角形，动点P的运动轨迹等知识，如图，过点A作于A，作于B，连接，交于D，证明，得，再证明，可得，确定点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，利用弧长公式计算即可，确定点P的运动轨迹是解本题的关键． 【详解】解：过点A作于A，作于B，两线交于点O，连接，交于D， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线，， 在中，， ∴， ∴， ∵点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧， ∴点P的运动路径长为：， 故选：D． 【变式训练】 1．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向点B运动，在运动过程中，作交梯形的其它边于点Q．设点P的运动时间为x秒，的面积为y，则y与x的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，求出各段的函数关系式是解题的关键． 分点Q在线段上，点Q在线段上，点Q在线段上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E，过点C作于F， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ，， 当点Q在线段上时，则，， 当点Q在线段上时，如图， 则，， 当点Q在线段上，则，如图， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C． 2．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在矩形中，，E为边上一点，，点P沿着边按的路线运动．在运动过程中，若中有一个角为，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．分两种情况：当点P落在边上时，当点P落在边上时，即可求解． 【详解】解：当点P落在边上，且时，记为，过点作于点F． ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴． ∴． 当点P落在边上时， ①若，记为，过点作于点G．则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若，记为，过点作于点H． ∵， ∴． 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，熟悉是切线的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，得出，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到，根据正切的定义计算即可 【详解】解：， ， ， ， ， 在中， ， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，平移的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握扇形面积的计算公式是解答本题的关键．连接，由点是的中点得到，，由勾股定理得到，求出，，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图所示： 点是的中点， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 阴影的面积， 故选：D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是半径为的圆外的一点，，是的切线，是切点，弦，连接，则阴影部分的面积等于(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形；连接，，根据切线的性质可得，解得出，，根据，得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，， 是圆的切线， ， 在中，，， ，， ， ，且， 是等边三角形，边长是， 设边上的高为，则 ． 故选：A． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，利用数形结合的思想是解题关键． 由题意可求出，进而求得，进而即可求解的值； 【详解】解：于， ． 在中， ，， ． ． 在中， ， ． 故选：B 二、填空题 6．（2021·湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 7．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 8．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）在中，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查解直角三角形．根据和的值可以求出斜边的值，再由勾股定理即可求得的值，知道了直角三角形的三边即可求得的值． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示，是的弦，是的直径，且，，，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，设线段、交于点，证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，然后根据特殊角的三角函数求出，然后根据阴影部分图形的面积，利用扇形面积公式代数求解即可． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵ ∴ ∵是的弦，是的直径，且， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴阴影部分图形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积计算，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题关键是利用割补法求阴影部分面积． 10．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 由题意得：， ∴， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先解得出，根据是的中点，得出，进而根据，设，，可得，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， 在中， 设，， ∴，即 解得， ∴ 12．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）在三角形中，， (1)求三角形的面积． (2)求角A的对边a的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形，熟练应用特殊角的三角函数值是解题关键， （1）作于点H，先求出，即可求出结论； （2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）解：作于点H， 在中，， ， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ， ， 在中， ． 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得点的坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得函数关系式； （2）求得点的坐标，进而求得点的坐标，然后根据即可求得结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）在中，，， ， ， 将代入，得， ， ． 14．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【分析】（）由，则，通过，则，求出即可； （）由，则，通过，则，求出，然后由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 由（）得：， ∴， ∴的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$