精品解析：河南省濮阳外国语学校2024-2025学年高二上学期第四次质量检测数学试题

濮阳外国语学校2023级高二第四次质量检测 数学试题 命题人：濮阳外国语学校数学命题中心 注意事项： 1．本试卷包含选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 3. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 12 C. 11 D. 13 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线的方程为 B. C. 均与圆相切 D. 四边形的面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1； B. 直线在y轴上的截距为2； C. 直线必过定点； D. 经过定点的直线都可以用方程表示； 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C. 若空间向量、、为非零向量，且，，则 D. 若，则可知 11. 直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（ ） A. B. C. 以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D. 重心横坐标的最小值为 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是________． 13. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是________． 14. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 16. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 17. 已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且. （1）求焦点的坐标； （2）若过点的直线与只有一个交点，求的方程. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为， （1）求椭圆C的方程； （2）不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳外国语学校2023级高二第四次质量检测 数学试题 命题人：濮阳外国语学校数学命题中心 注意事项： 1．本试卷包含选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列的性质知， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求向量夹角，即可确定异面直线与直线所成的角. 【详解】， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 又，所以， 因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 4. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 12 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式累加求解即可. 【详解】由题设，则， 即，则． 故选：C 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 且，， 故向量在向量上的投影向量为． 故选：A 6. 已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 7. 已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由且，得到，E，A，C四点共面，即点E在平面上，从而的最小值为点D到平面的距离求解. 【详解】由题意得，， ∴，即， 由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上， 则的最小值为点D到平面的距离． 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， D到平面的距离， 即的最小值为． 故选：B 8. 已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（ ） A. 直线的方程为 B. C. 均与圆相切 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对于B，利用弦长公式即可判断；对于C，根据切线的定义进行判断；对于D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】由圆，得， 则圆心，半径， 线段的中点坐标为，且， 则圆，即. 对于选项A：联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对于选项B：圆心到直线的距离为， 则，故B正确； 对于选项C：因为在以为直径的圆上，则， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 所以四边形的面积为，故D错误． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1； B. 直线在y轴上的截距为2； C. 直线必过定点； D. 经过定点的直线都可以用方程表示； 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算判断A；求出纵截距判断B；求出直线过的定点判断C；举出特例判断D. 【详解】对于A，由直线与平行，得，两直线间距离，A正确； 对于B，直线在轴上的截距为，B错误； 对于C，直线，由，解得，即直线恒过定点，C正确； 对于D，方程不能表示过点垂直于轴的直线，即轴，D错误. 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C. 若空间向量、、为非零向量，且，，则 D. 若，则可知 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 11. 直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（ ） A. B. C. 以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D. 重心横坐标的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：求得直线与轴的交点即可；B：由直线与抛物线方程联立，利用数量积运算结合韦达定理求解即可；C：设的中点为，表示以为直径的圆的方程为求解；D：由重心的坐标公式求解. 【详解】A：易知直线与轴交于点，即，所以，解得，故A错误； B：由选项A知抛物线，设，， 由，得，所以， 得，所以，故B正确； C：设的中点为，则，，所以以为直径的圆的方程为， 即，设该圆与y轴交，，令，得，所以，， 所以， 所以以为直径的圆被y轴所截的弦长为，不是定值，故C错误． D：由选项B知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由已知双曲线，可知，，， 设双曲线的两焦点分别为，，不妨设， 则，解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离，所以． 故答案为：13 13. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 14. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，. 因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知圆C关于y轴对称且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解； （2）利用直线与圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心； ∴设圆的标准方程为， 则解得： 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ∵ ∴圆心C到直线l的距离为； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即 则圆心C到直线l的距离， 解得 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或． 16. 已知是等差数列的前项和. （1）证明是等差数列； （2）设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的定义证明； （2）设的公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 证明：设等差数列的公差为d， 则， ∴， ∴， 又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则， 又∵， ∴. 17. 已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且. （1）求焦点的坐标； （2）若过点的直线与只有一个交点，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出，再得出抛物线方程进而得出焦点即可； （2）先设直线方程，再联立方程组，再分和两种情况应用直线与只有一个交点求参即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为抛物线，， 所以，所以，可得 所以焦点的坐标. 【小问2详解】 因为点在抛物线上，所以， 又位于第一象限，所以，所以， 过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意； 设直线与有且只有一个交点， 由，得， 当时，，即，即， 当时，，只有一个根符合题意； 所以的方程为或，即或. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 由题意知在三棱柱中，平面，平面， 则，，又，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 得，所以． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据，，，建立空间直角坐标系，由证明； （2）求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为θ，由求解； （3）假设存在满足题意的点，设，求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，，． ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设直线与平面所成的角为θ， 则， ∴与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）（2）知：，，，， 假设存在满足题意的点，设， 则， 得，解得， 即，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令解得： 所以 又∵平面的一个法向量为 ∴． 整理得，由，得． 即当点H为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 此时，即． 19. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为， （1）求椭圆C的方程； （2）不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时直线方程为 【解析】 【分析】（1）根据焦点，得到，再由求解； （2）设，，由直线与椭圆方程联立，求得弦长和点O到直线的距离d，由求解. 【小问1详解】 解：∵焦点，∴． 又∵即，∴． 又∵即， ∴椭圆方程为：． 【小问2详解】 如图所示： 设，， 由得到 ， ∴，解得：， 又∵不过原点，故 ∴或， ∵ ， ∴， 又∵点O到直线的距离为． ∴ ， ， 当即时，的面积最大． ∴面积的最大值为，此时直线方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $