精品解析：辽宁省大连市甘井子区第八十中学2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷

九年级（上）期末检测（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C D. 9. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： 以下结论正确的是（　　） x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … A. B. 抛物线的开口向下 C. 当时，y随x增大而增大 D. 当时，x的取值范围是 10. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_____________． 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是______． 15. 如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 （1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 17. 如图三角形中，平分，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 18. 密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知关于体积V与密度的部分数据如下表： 体积 1 2 3 4 5 6 … 密度 10 5 2.5 2 … （1）利用表中的数据，在如图的坐标系内画出相应的函数图象，并求出函数解析式； （2）求当时，的取值范围． 19. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元盒的口罩，销售单价为元盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价元，则每天可多售出盒，设每盒降价元，为整数）． （1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元？ （2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 20. 某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方． （1）求的距离（结果精确到m）； （2）小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 21. 如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接交于点E，若，求的长度． 22. 【问题初探】（1）如图1，中，平分，点E是边的中点，，求的长． （2）如图2，在中，，平分，E是的中点，于F，延长交边于点G，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，D是内一点，于E，延长交边于点F，点G在边上，，若，，求的长． 23. 已知是自变量x函数，当时，称函数为函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． （1）点A在函数图象上，点A“关于的纵和点”B在点A上方，当时，求点A的坐标； （2）求函数的图象，的“纵和函数”的图象，与轴所围成的三角形的面积； （3）函数的“纵和函数”为，点A在函数图象上，点A“关于的纵和点”为点B． ①若，点，求的函数表达式； ②设函数的图象与y轴交于点C，过C作轴的平行线，与的图象交于点E，与的图象交于点F，点E，F都不与点C重合，若，求的值； ③若，函数的图象顶点坐标为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）期末检测（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即可． 【详解】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项不符合题意； C．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故选项不符合题意； D．球的三视图都是圆，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A.该图形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，不符合题意； B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D.该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；根据勾股定理求出邻边，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故选：． 5. 已知关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 6. 在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；根据简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1个球共有5种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2种，则从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 故选：C． 7. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，反比例函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系：年销售量×（1＋增长率）年销量，根据等量关系列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x， 由题意，得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 9 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： 以下结论正确的是（　　） x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … A. B. 抛物线的开口向下 C. 当时，y随x增大而增大 D. 当时，x的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应函数值相等， ∴，故选项A错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， 抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 当时，x取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积；连接交于E，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于E， ∵沿对折和重合，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，，即，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴， 故答案为：1 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，先根据正切值求出，再根据勾股定理求出，然后根据旋转的性质可得，，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出、的长，于是得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴，则， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求角的正切值，根据特殊角三角函数值求角的度数，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，求出并进而求出是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示： 在上， 令， ∵， ∴或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程；根据作图可得，进而得出，得出；根据等角对等边可得，，设，，证明，进而根据相似三角形的性质得出关系式，解得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， 又∵ ∴ ∴ ∵在中， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和配方法求一元二次方程；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）用配方法解答即可； （2）把两个点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可； 【详解】解：（1）， ， ， 或， 故； （2）把 代入中， 得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为． 17. 如图三角形中，平分，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握两角对应相等的两个三角形相似． （1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，又因为，即可得； （2）根据相似三角形的判定得，根据题意，，得，代入比例式即可解题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即 ∵，，， ∴， ∴或（舍去）． 18. 密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知关于体积V与密度的部分数据如下表： 体积 1 2 3 4 5 6 … 密度 10 5 2.5 2 … （1）利用表中的数据，在如图的坐标系内画出相应的函数图象，并求出函数解析式； （2）求当时，的取值范围． 【答案】（1）图象见解析，函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义和相关性质． （1）根据表格描点，画出图象即可，由待定系数法可得函数解析式； （2）由得，代入，可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：描点，连线得， 由函数图象可知该函数近似反比例函数模型，即， 将点代入得：， ∴， 将其余各点分别代入计算，例如，可得，故符合反比例函数模型， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵函数解析式为， ∴， ∵， ∴ 解得，． 19. 某药店在口罩销售中发现：一款进价为元盒的口罩，销售单价为元盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价元，则每天可多售出盒，设每盒降价元，为整数）． （1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元？ （2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润． 【答案】（1）为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利元 （2）每盒降价元时，可取得最大利润，此时最大利润为元 【解析】 【分析】设每盒降价元，为整数），则利润也将元，根据利润等于每盒的利润乘以数量，列出一元二次方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：设每盒降价元，为整数），根据题意得， ， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴， 答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利元； 【小问2详解】 解：设每盒降价元，为整数），利润为元，根据题意得， ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每盒降价时，可取得最大利润，此时最大利润为元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程，函数关系式是解题的关键． 20. 某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方． （1）求的距离（结果精确到m）； （2）小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 【答案】（1）的距离约为米 （2）小亮先到达点 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． （1）设的延长线交于点，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可； （2）在直角中，求解米，在直角中，求解米，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：设的延长线交于点， 由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，， 在直角中， ，米， （米）， 米， 在直角中， ，米， （米）， （米）， 答：的距离约为米； 【小问2详解】 在直角中， ，米， （米）， 在直角中， ，米， （米）， 米， 小华到达点所花时间为， 小亮到达点所花时间， ， 小亮先到达E点． 21. 如图，为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作与的延长线交于点G，与的延长线交于点F． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接交于点E，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理和平行线的性质即可证明； （2）连接，由D为劣弧的中点，得出，则，．又根据，得出，推出，设，则，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， D为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的直径， ， ， ， 解得：（舍）， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，解题的关键是正确作出辅助线． 22. 【问题初探】（1）如图1，中，平分，点E是边的中点，，求的长． （2）如图2，在中，，平分，E是的中点，于F，延长交边于点G，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，D是内一点，于E，延长交边于点F，点G在边上，，若，，求的长． 【答案】（1）4（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）延长交于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． （2）作于M，交于H，先证得，再用勾股定理即可． （3）连接，延长交于点，分别证明，，得出为的垂直平分线，在中，求出，再由三角形重心性质得，，设则在中，由勾股定理求出 【详解】解：（1）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵是中的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故的长为4． （2）证明：作于M，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 由（1）， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∴， ∴． （3）如图，连接，延长交于点， ∵， ∴ ∵，， 又∵， ∴即 ∴ 又， ∴ 在和 ， ∴ ∴， 又，点在的延长线上， ∴ 在中， ∵ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴为的中点，即为的垂直平分线， ∴， ∴点为外接圆圆心， ∴为的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴由三角形重心性质得，， 设则 在中， 即， 解得，或（舍去） ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义以及勾股定理等，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 23. 已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“纵和函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点A“关于的纵和点”．点B在函数的“纵和函数”的图象上． （1）点A在函数的图象上，点A“关于的纵和点”B在点A上方，当时，求点A的坐标； （2）求函数的图象，的“纵和函数”的图象，与轴所围成的三角形的面积； （3）函数的“纵和函数”为，点A在函数图象上，点A“关于的纵和点”为点B． ①若，点，求的函数表达式； ②设函数的图象与y轴交于点C，过C作轴的平行线，与的图象交于点E，与的图象交于点F，点E，F都不与点C重合，若，求的值； ③若，函数的图象顶点坐标为，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①②③ 【解析】 【分析】本题考查新定义函数、涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程、二次函数图象与性质、图象法解一元二次不等式等知识，读懂题意，理解新定义函数及其相关概念是解决问题的关键． （１）根据新定义函数，求解得到，即可以求出点坐标； （２）将和在平面直角坐标系中表示出来，通过图像即可求解三角形面积； （３）①将点，坐标代入，可得，进而得到； ②先将点和点坐标求出来，再根据，即可求出值； ③先需要求得，再把，用表示出来，进而根据的范围求解得到的范围； 【小问1详解】 解：∵点A在函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∵点是点 “关于的纵和点”，且点在点上方，， ∴点的坐标为， ∵， ∴函数的“纵和函数”， ∵点在上， ∴把点代入， ∴解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的“纵和函数”， ∴将和在平面直角坐标系中表示出来，如图：， ∴通过分析和在轴上有公共点，与轴的交点为，与轴的交点为， ∴三角形面积； 【小问3详解】 解：①∵点在函数的图像上，且， ∴把点坐标代入，可得， ∴， ∴点的坐标为，故； ②∵， ∴函数的“纵和函数”， ∵函数与轴交于点，且点和点分别为、图像与过点平行于轴的直线的交点， ∴点和点的纵坐标与点的纵坐标相等，都为， ∵点和点分别在函数、中， ∴把分别代入函数与中， ∴点和点坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴，即； ③∵点在函数的图像上， ∴把点代入函数中， ∴， ∴函数的“纵和函数”， ∵函数图像顶点坐标为， ∴，， 即当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$