专题10 反比例函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题10 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． 2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k>0 和k<0时图象的变化情况． 3．能用反比例函数解决简单实际问题． 反比例函数 考向一 反比例函数的图象与性质 考向二 k的几何意义 考向三 反比例函数中的规律 反比例函数与一次函数的综合 考向一 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 考向二 反比例函数与一次函数的综合——求面积 考向三 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 考点一 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象与性质 易错易混 由于反比例函数的图象不连续，在由反比例函数的性质判断大小关系时，若两点在同一象限，则可直接套用k>0时，y随x的增大而减小，k<0时，y随x的增大而增大来判断；若两点不在同一象限，则可直接根据象限点的特征判断y的大小关系. 1.（2024山东济宁中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 2.（2024山东德州中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 3.（2024山东日照中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． ►考向二 k的几何意义 解题技巧 由反比例函数图象上一点P向两坐标轴作的垂线段与坐标轴围成矩形面积为， 过原点的直线与反比例函数图象交于P,P’，分别过P,P’作与坐标轴平行的直线，构成一个矩形，如图所示，则，. 1.（2024山东烟台中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 4．（2024•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ 【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案． 【解析】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023， ∴OB＝2023， ∵点B在O点左侧， ∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023， 故选：B． 【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向三 反比例函数中的规律 1.（2024山东青岛中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 考点二 反比例函数与一次函数的综合 ►考向一 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 易错易混 由于反比例函数图象不连续，因此写最后解集的时候需要注意限制. 1.（2024山东威海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． ►考向二 反比例函数与一次函数的综合——求面积 1.（2024山东泰安中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得： ， 一次函数表达式为． （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可知，当时，或． （3）解：把时代入中，得， 点坐标为，即， ． 2.（2024山东潍坊中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 3.（2024山东烟台中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 4.（2024山东淄博中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． ►考向三 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 1.（2024山东东营中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 2.（2024山东济南中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，中，，，双曲线．经过两点（在的左侧），轴于，轴于，连接交于．下列结论正确的个数是（    ） ；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定与性质、反比例函数的运用、矩形的判定与性质、黄金分割、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】延长、交于点，如图所示，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, ∴，即正确； 设，， 则，， ∴，， ∵双曲线经过、两点， ∴， ∴，，即 ∴， ∴，即， ∴，故正确； ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴是的黄金分割点，是较长线段， ∴， ∵， ∴，故正确； 如图，作于，如图所示， 则，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ， ∴，故正确； 综上可知正确的个数有个， 故选:． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数的运用、矩形的判定与性质、黄金分割、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及灵活运用圆周角定理和三角形相似． 3．（24-25九年级上·山东·期末）化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的酒精的浓度y与酒精的质量x，酒精的浓度，则乙醇质量为，结合体函数图象，即可求解． 【详解】依题意，乙醇质量为， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种乙醇质量相同， ∵甲在反比例函数的图象上方，丙在反比例函数的图象下方 ∴乙醇质量最多的是甲，最少的是丙， 故选：A． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数在第一象限内的图象于两点．下列对函数的图象描述错误的是（    ） A．的图象与y轴的交点在点O的上方 B．的图象过点 C．的图象的顶点坐标为 D．的图象的对称轴在的右侧 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象；由题意可求得直线与双曲线的两个交点坐标，进而得，求得抛物线与y轴交点的坐标，则可判定A；由点在直线上，可得，或，求出当时二次函数的函数值，则可判定B；把代入二次函数并配方后，可判定C；由，得，则可判定D． 【详解】解：由图象； 当时，由得，；当时，， 即双曲线与直线的一个交点为，另一个交点为， 故由图象知：， 对于抛物线，当时，， 即抛物线与y轴交点为，它在y轴正半轴上，故A正确； 点在直线上，则有，或； 当时，， 故的图象不过点，故B错误； ， ∴抛物线的顶点坐标为，故C正确； ， ， ， 由线的对称轴为直线，得对称轴在直线的右侧，故D正确； 故选B． 5．（2024·山东菏泽·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且经过点，抛物线与直线的上方部分和反比例函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不含边界）记为，则中整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数、反比例函数的综合，先求出抛物线解析式，在同一坐标系作出三个图象，根据图象解决问题． 【详解】解：抛物线与轴交于，且经过点， 将两点坐标代入，得： ， 解得：， 抛物线解析式为：； 在坐标系中作出此抛物线及直线和反比例函数的图象，如下图： 则中整点（横、纵坐标都是整数的点）为，个数为2个， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东济南·期中）在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为 分钟． 【答案】52 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出反比例函数的解析式，求出温度上升至和下降到时的时间，进行求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图象，把点代入，得：， ∴， 当时，， ∵刚燃烧时，落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高， ∴当温度上升到时，所需时间为：， ∴糖化过程时长为； 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 【答案】(1) (2)不在函数图像上，在函数图像上 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用． （1）将点的横坐标代入可得出纵坐标，然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式． （2）把点，代入即可判断； 【详解】（1）解：当时，由知，故， 将代入中，可知， （2）由（1）可得 当时故点不在反比例函数的图像上， 当时故点在反比例函数的图像上. 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①增大，② (3)①向右平移1个单位;②向右平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：增大，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象经平移可以得到函数的图象向右平移个单位得到的 10．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 11．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，补全表格见解析 (2)的取值范围为或； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，， ∵当时，，即， ∴反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， ∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或； 12．（2024·山东菏泽·一模）探究任务：函数的图像与性质． 任务1：描点连线画出图像 … … … … 根据图像，回答问题 （1）该函数自变量的取值范围是 ． （2）写出该函数图像的两条性质 ． 任务2：由特殊走向一般 （3）根据函数的最值，可以发现，当时，与之间有什么关系？（直接写出结果）进一步地，对于任意正实数、，都有 ． 任务三：解决实际问题 （4）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比：若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 【答案】任务一：（1）图见详解；；（2）函数关于原点对称、当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大 任务二：（3）； 任务三：（4）这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小 【分析】本题考查了反比函数—拓展，解题关键是熟练掌握反比函数的图像及性质． （1）根据分母不能为0即可求解； （2）列表、描点、连线，根据函数图像写性质即可； （3）由任务一可得当时，的最小值为1，由此即可求解； （4）设，，当时，，，分别求出，可得由任务三即可求解． 【详解】解：任务一：列表 … 1 2 … … … （1） （2）由函数图像可得：函数关于原点对称；当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大； 任务二：（3）当时，函数有最小值为：2， ， ， 故对任意正实数、，都有； 任务三：（4）设，， 当时，，， ， ，， 两项费用之和为， ， ， 这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小． 13．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2)或． (3) 【分析】（1）将，代入，即可求出m和k的值，得出反比例函数的表达式和A，B两点坐标，再将A点坐标代入，即可求出b的值，即一次函数得出表达式； （2）求出一次函数位于反比例函数下方时x的取值范围即可． （3）根据平移可知平移后直线的表达式为，再结合平行四边形的性质即可将看作是由平移得到，根据A，B两点坐标，得出平移规律向右平移4各单位，向上平移4个单位，则设，则，最后根据函数图象上点的坐标特征求出t的值，和a的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知点，位于双曲线上， ∴， 解得：， ∴双曲线解析式为，，． 将代入，得：， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可知当或时，一次函数位于反比例函数下方， ∴的解集为或； （3）解：根据平移可知平移后直线的表达式为， ∵四边形是平行四边形， ∴可将看作是由平移得到． ∵，， ∴得出平移方式：向右平移4各单位，向上平移4个单位， ∴点D向右平移4各单位，向上平移4个单位，得到点E． 设，则， ∵点D在上，点E在上， ∴，， ∴， ∴，，则， ∴， 解得：． ∵点E在第一象限， ∴， ∴． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，平行四边形的性质，一次函数图象的平移，函数图象上点的坐标特征．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 14．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，再根据对称的性质即可求解． （2）分别谈论，当时和时的情况，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据对称和反比例函数性质求得点和点坐标，再根据，即可分别求出的值． （3）联立直线与反比例函数，即可求得点和点为的坐标，根据点和点是“图象”上的两个动点，结合图象分析可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，可设直线为，与反比例函数，得，令，求得，即可得点横坐标，代入中，可得点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，由，设的函数解析式为，待定系数法求得的函数解析式，与直线联立，可得点坐标，再根据求中点坐标公式，可得点坐标，故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵， ∴直线为， ∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等， ∴点的纵坐标为， 将代入中，可得， 解得： ∴点坐标为， ∵，轴 ∴点和点的横坐标相等， ∴点坐标为， （2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵轴， ∴点，的横坐标均为， 将代入中，可得， 即点的坐标为， ∴， ∵， ∴直线为， 设点的横坐标均为 又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等， ∴，即 ∴点的横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∵，点和点的纵坐标相等， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． 当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    同理可得：点的坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． ∴的值为或． （3）解：联立直线与反比例函数，即， 解得：， ∴点为，点为， ∵点和点是“图象”上的两个动点， ∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大， 当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：    ∵，直线： ∴可设直线为， 联立直线与反比例函数，即， 即： ∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点， ∴， 代入数值可得：， 解得：，（舍） 将代入，即， 解得： ∴点横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∴当点坐标为时，取最大值时 同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大， 连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，    ∵，直线：， 故可设的函数解析式为， 将点代入中，可得， 解得： ∴的函数解析式为， 联立与直线，即， 解得：， ∴点坐标为， 设点坐标为， ∵点为的中点，点 ∴， 解得：，， ∴点坐标为， ∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，坐标与图形，解二元一次方程，轴对称的性质，数形结合是解题的关键． 15．（2024·山东济南·二模）【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 【答案】（1）；，[类比探究]；（2）画图见解析，或，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）观察图象解答即可； （2）画出函数的图象，观察图象解答即可； （3）观察图象解答即可． 【详解】解：[问题探究] （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为． 故答案为：，0＜x＜1； [类比探究] 受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解． 故答案为：； （2）如图所示， 该不等式组的解集是或； 从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线， 在直线 上方的点的横坐标的取值范围． 由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或； （3）在图3中画出的图象， 由图象可知，该不等式组的解集是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． 2．能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k>0 和k<0时图象的变化情况． 3．能用反比例函数解决简单实际问题． 反比例函数 考向一 反比例函数的图象与性质 考向二 k的几何意义 考向三 反比例函数中的规律 反比例函数与一次函数的综合 考向一 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 考向二 反比例函数与一次函数的综合——求面积 考向三 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 考点一 反比例函数 ►考向一 反比例函数的图象与性质 易错易混 由于反比例函数的图象不连续，在由反比例函数的性质判断大小关系时，若两点在同一象限，则可直接套用k>0时，y随x的增大而减小，k<0时，y随x的增大而增大来判断；若两点不在同一象限，则可直接根据象限点的特征判断y的大小关系. 1.（2024山东济宁中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.（2024山东德州中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 3.（2024山东日照中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 ►考向二 k的几何意义 解题技巧 由反比例函数图象上一点P向两坐标轴作的垂线段与坐标轴围成矩形面积为， 过原点的直线与反比例函数图象交于P,P’，分别过P,P’作与坐标轴平行的直线，构成一个矩形，如图所示，则，. 1.（2024山东烟台中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 4．（2024•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ ►考向三 反比例函数中的规律 1.（2024山东青岛中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 考点二 反比例函数与一次函数的综合 ►考向一 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 易错易混 由于反比例函数图象不连续，因此写最后解集的时候需要注意限制. 1.（2024山东威海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． ►考向二 反比例函数与一次函数的综合——求面积 1.（2024山东泰安中考真题）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围； (3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 2.（2024山东潍坊中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 3.（2024山东烟台中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 4.（2024山东淄博中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． ►考向三 反比例函数与一次函数的综合——求点的坐标 1.（2024山东东营中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 2.（2024山东济南中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，中，，，双曲线．经过两点（在的左侧），轴于，轴于，连接交于．下列结论正确的个数是（    ） ；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25九年级上·山东·期末）化学实验中常使用的酒精是由纯度为的乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，已知酒精的浓度则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2024·山东聊城·三模）如图，已知一次函数的图象交反比例函数在第一象限内的图象于两点．下列对函数的图象描述错误的是（    ） A．的图象与y轴的交点在点O的上方 B．的图象过点 C．的图象的顶点坐标为 D．的图象的对称轴在的右侧 5．（2024·山东菏泽·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且经过点，抛物线与直线的上方部分和反比例函数的图象在第一象限围成的封闭图形（不含边界）记为，则中整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 7．（24-25九年级上·山东济南·期中）在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为 分钟． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 10．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 11．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 ________ ________ ________ 7 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围． 12．（2024·山东菏泽·一模）探究任务：函数的图像与性质． 任务1：描点连线画出图像 … … … … 根据图像，回答问题 （1）该函数自变量的取值范围是 ． （2）写出该函数图像的两条性质 ． 任务2：由特殊走向一般 （3）根据函数的最值，可以发现，当时，与之间有什么关系？（直接写出结果）进一步地，对于任意正实数、，都有 ． 任务三：解决实际问题 （4）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比：若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 13．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值． 14．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 15．（2024·山东济南·二模）【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式 【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题： 如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围． （1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______． 【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解． （2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由． 【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示． （3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$