专题09 一次函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题09 一次函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k >0 和k <0 时图象的变化情况;理解正比例函数． 3．体会一次函数与二元一次方程的关系． 4．能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数 考向一 一次函数图象的应用 考向二 求一次函数解析式 考向三 一次函数的实际应用 考向四 一次函数性质的应用 考点 一次函数 ►考向一 一次函数图象的应用 易错易混 不要忽略不同自变量的取值范围，对应的函数关系也可能不同。 1.（2024•济南）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】12 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． ►考向二 求一次函数解析式 解题技巧 待定系数法求解析式过程： （1） 设 （2） 代入两个点的坐标，得到关于k,b的一个二元一次方程组 （3） 求出k,b的值，即求出一次函数的解析式. 1.（2024•济宁）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； 4．（2024•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ 【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案． 【解析】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023， ∴OB＝2023， ∵点B在O点左侧， ∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023， 故选：B． 【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． ►考向三 一次函数的实际应用 易错易混 求最值是一次函数的实际应用中考查频率最高的，函数的最值必须是在明确自变量取值范围后才能确定，因此，本题最大的易错点在于忘记或者错求了自变量的取值范围. 1.（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 2.（2024•东营）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 3.（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 4.（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 (2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 5.（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 6.（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． ►考向四 一次函数性质的应用 解题技巧 对于 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 1.（2024•日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 2.（2024•潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 1.（2024•潍坊）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（   ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题的考点是直线在坐标轴上的截距的定义，即求出直线与坐标轴的交点坐标，由题意，令代入直线方程求出x的值，即是在x轴上截距1再求出m． 【详解】解：由题意知，令，得在x轴上截距为， 即， 解得，或． 经检验均为方程的根，且符合题意， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）一次函数图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．解析式为 B．是图象上的点 C．该图象随的增大而减小 D．时， 【答案】B 【分析】用待定系数法求函数解析式可判断A，利用一次函数图象上点的坐标特征可判断B，利用图象可判断C和D． 【详解】解：A．设函数解析式为，把和代入，得，解得，∴，故A正确； B．当时，，故B不正确； C．由图象可知，随的增大而减小，故C正确； D． 由图象可知，时，，故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，利用一次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． 3．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（    ） A． B．直线l过坐标为的点 C．若点，在直线l上，则 D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D． 【详解】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 将点代入，得：， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，， ∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意； 由图象可知该函数y的值随x的增大而减小， 又∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，， ∴当时，，即，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键． 二、填空题 4．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了 小时． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数自变量，根据函数图像设的解析式为：，用待定系数法求出函数解析式，再求出当时，x的值即可． 【详解】解：根据函数图像可知，为一次函数，且过点，， 设的解析式为：， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 当时， 则， 解得：， ∴小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时． 故答案为：3． 5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）点在一次函数图象上，则该直线经过 象限． 【答案】一，二，四． 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， 故答案为：一，二，四． 6．（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值： （1）当 时，一次函数的值随x值的增大而减小； （2）当 时，一次函数的图象与的图象平行； （3）当 时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴． 【答案】 （答案不唯一，即可） （答案不唯一，即可） 【分析】（1）根据一次函数性质时，y的值随x值的增大而减小即可，写出符合的m的值即可； （2）根据两直线平行k值相等即可得到答案； （3）根据一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，判断，写出符合的m的值即可． 【详解】（1）由一次函数的值随x值的增大而减小，得， ∴m可取， 故答案为：（答案不唯一，即可）； （2）由两直线平行k值相等，得， 故答案为：； （3）由一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，一次函数经过， 得y的值随x值的增大而增大， ∴， ∴m可取， 故答案为：（答案不唯一，即可）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 三、解答题 7．（23-24七年级下·山东威海·期末）已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为， (2)存在，最大值 【分析】（1）根据一次函数的性质可知，利用待定系数法即可解答； （2）根据一次函数的性质可知，再利用一次函数的性质可知随的增大而减小即可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将代入，得：， ∴， ∴设直线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在最大值，理由如下： ∵点在直线上，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴存在最大值． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 (1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． (2)求拉力与高度之间的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】(1)一次函数，费力 (2)与的函数解析式为 (3)装置高度h的取值范围为 【分析】（）根据表格数据即可判断求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据题意可得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了， 当斜面高度由增加到时，拉力增加了， ∴拉力是高度的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； （2）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； （3）解：∵弹簧测力计的最大量程是， ∴， ∴， 解得， 又∵斜面的初始高度为， ∴装置高度的取值范围． 9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或或 【分析】（1）先求出的坐标，中点坐标公式求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据，列出方程进行求解即可； （3）分过点或或，三种情况进行讨论求解即可； （4）分为对角线，为对角线和为对角线三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点O为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， 则：交于一点或或， 当交于一点时，过点， ∴， ∴； 当时，则：， 当时，则：； 综上：或或； （4）当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，掌握中点坐标公式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 10．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）为促进生产，某年画加工坊提供了两种员工月报酬的方案，设员工每月加工年画的数量为（幅），获得的月报酬为（元），两种方案对应的部分数据如下表： 月加工数量（幅） 0 10 20 30 40 … 方案一月报酬（元） 600 800 1000 1200 1400 … 方案二月报酬（元） 0 400 800 1200 1600 … (1)在平面直角坐标系中分别描出表中方案一和方案二对应的点，画出函数和的图象； (2)求关于的函数表达式； (3)已知员工可以任选一种方案与公司签订合同，如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的月加工数量选择合适的方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，应选择方案一；当时，选择方案一或方案二均可；当时，应选择方案二 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及比较函数值的大小是解题的关键． （1）描点并将它们用平滑曲线连接起来即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分别讨论、、对应的取值范围，选择函数值较大的对应的方案即可． 【详解】（1）解：描点及函数图象如图所示： （2）解：设关于的函数表达式为为常数，且． 将坐标代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （3）解：由图象可知，当时，； 当时，； 当时，． 当时，应选择方案一；当时，选择方案一或方案二均可；当时，应选择方案二． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）根据一次函数的图象与系数的关系求解； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：函数可化为：， 函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ； （2）∵函数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， 当时，， 解得：，则 当时，，则 ∴， 解得： ， ∴直线l的函数解析式为：． 12．（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)3， (3)交点坐标为， (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【详解】（1）将，代入 得，， 画图如下： （2）当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； （3）当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； （4）如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． (1)求与之间的函数表达式； (2)当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【答案】(1) (2)行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的与之间的函数表达式，求出满电量，得到报警电量，代入表达式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 根据题意得，解得， 与之间的函数表达式为：； （2）解：当时，，则， 当时，，解得， 行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报． 14．（23-24七年级上·山东济宁·期末）甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离为　　； (2)求乙的速度； (3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出两车相距时的行驶时间． 【答案】(1) (2) (3) (4)两车相距时行驶时间为小时或小时 【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的应用． （1）直接根据图象和题意即可得到答案； （2）根据路程及行驶时间列方程并解方程即可求出答案； （3）利用待定系数法求出函数解析式即可； （4）分两车相向而行和两车各自返回两种情况，分别列方程并解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，根据函数图象可知，A、B两地的距离为， 故答案为： （2）解：设乙的速度为，则 ， 解得， 答：乙的速度为； （3）解：设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，把点，代入得， 解得，， ∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为； （4）两车相距分两种情况： ①设两车相向而行时，两车相距时行驶时间为t小时， 则， 解得， ②设两车各自返回时，两车相距时行驶时间为n小时， 则 解得， 答：两车相距时行驶时间为小时或小时． 15．（2024·山东聊城·模拟预测）某中学组织学生研学，计划租用，两种客车共辆，种客车每辆可坐乘客人，种客车每辆可坐乘客人． (1)若至少有名学生参加研学，种客车最多能租多少辆？ (2)在（1）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金为每辆元，应该怎样租车最省钱？ 【答案】(1)种客车最多能租辆 (2)租用辆种客车，辆种客车 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设租用辆种客车，则租用（）辆种客车，根据参加研学的学生不少于人，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （2）设租用辆客车所需租金为元，利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的数量每辆种客车的租金租用种客车的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设租用辆种客车，则租用辆种客车， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为． 答：种客车最多能租辆； （2）解：设租用辆客车所需租金为元，则， 即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值．此时，（辆） 答：当租用辆种客车，辆种客车时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数 课标要求 考点 考向 1．结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．能画一次函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k >0 和k <0 时图象的变化情况;理解正比例函数． 3．体会一次函数与二元一次方程的关系． 4．能用一次函数解决简单实际问题. 一次函数 考向一 一次函数图象的应用 考向二 求一次函数解析式 考向三 一次函数的实际应用 考向四 一次函数性质的应用 考点 一次函数 ►考向一 一次函数图象的应用 易错易混 不要忽略不同自变量的取值范围，对应的函数关系也可能不同。 1.（2024•济南）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． ►考向二 求一次函数解析式 解题技巧 待定系数法求解析式过程： （1） 设 （2） 代入两个点的坐标，得到关于k,b的一个二元一次方程组 （3） 求出k,b的值，即求出一次函数的解析式. 1.（2024•济宁）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； 4．（2024•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣ ►考向三 一次函数的实际应用 易错易混 求最值是一次函数的实际应用中考查频率最高的，函数的最值必须是在明确自变量取值范围后才能确定，因此，本题最大的易错点在于忘记或者错求了自变量的取值范围. 1.（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 2.（2024•东营）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 3.（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 4.（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 5.（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 6.（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． ►考向四 一次函数性质的应用 解题技巧 对于 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 1.（2024•日照）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 2.（2024•潍坊）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 1.（2024•潍坊）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（   ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）一次函数图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．解析式为 B．是图象上的点 C．该图象随的增大而减小 D．时， 3．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（    ） A． B．直线l过坐标为的点 C．若点，在直线l上，则 D． 二、填空题 4．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了 小时． 5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）点在一次函数图象上，则该直线经过 象限． 6．（22-23八年级下·山东青岛·开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值： （1）当 时，一次函数的值随x值的增大而减小； （2）当 时，一次函数的图象与的图象平行； （3）当 时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴． 三、解答题 7．（23-24七年级下·山东威海·期末）已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 (1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． (2)求拉力与高度之间的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 9．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 10．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）为促进生产，某年画加工坊提供了两种员工月报酬的方案，设员工每月加工年画的数量为（幅），获得的月报酬为（元），两种方案对应的部分数据如下表： 月加工数量（幅） 0 10 20 30 40 … 方案一月报酬（元） 600 800 1000 1200 1400 … 方案二月报酬（元） 0 400 800 1200 1600 … (1)在平面直角坐标系中分别描出表中方案一和方案二对应的点，画出函数和的图象； (2)求关于的函数表达式； (3)已知员工可以任选一种方案与公司签订合同，如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的月加工数量选择合适的方案． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）已知关于的函数： 为常数交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． (1)求的取值范围； (2)为坐标原点，设的面积为，求直线的函数解析式． 12．（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． (1)求与之间的函数表达式； (2)当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 14．（23-24七年级上·山东济宁·期末）甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离为　　； (2)求乙的速度； (3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出两车相距时的行驶时间． 15．（2024·山东聊城·模拟预测）某中学组织学生研学，计划租用，两种客车共辆，种客车每辆可坐乘客人，种客车每辆可坐乘客人． (1)若至少有名学生参加研学，种客车最多能租多少辆？ (2)在（1）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金为每辆元，应该怎样租车最省钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$