专题13 二次函数的综合应用（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题13 二次函数的综合应用 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 综合应用 考向一 最值问题 考向二 交点问题 考向三 线段问题 考向四 角度问题 考向五 三角形问题 考向六 四边形问题 考向七 面积问题 考点 综合应用 ►考向一 最值问题 1.（2024•德州）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， 2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． 3.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； 【详解】（1）证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． 4.（2024•威海）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当在取得最大值，在取得最小值时， 有 ，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． ►考向二 交点问题 1.（2024•德州）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 2.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； 【详解】（1）证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． ►考向三 线段问题 解题技巧 已知线段端点 （1） 若AB∥x轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标即可； （2） 若AB∥y轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标即可； （3） 若AB既不是水平的线段，也不是竖直的线段，则需要利用勾股定理求长， 1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； 2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 3.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； ►考向四 角度问题 1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)①； 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ►考向五 三角形问题 易错易混 （1） 满足已知三角形条件的动点位置可能不止一个，应该考虑到所有情况； （2） 不要忽略三角形存在的条件，比如是否满足两边之和大于第三边. 1.（2024•泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． ►考向六 四边形问题 1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． ►考向七 面积问题 解题技巧 （1）求三角形的面积时，如果有一条边平行于x轴或者y轴，则一般以它为底进行求解； （2）若所求多边形各顶点坐标已知，则可以利用间接法，过各顶点作水平或者竖直的线，通过“大-小”或者“小+小”即可求解. 1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 3.（2024•青岛）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； 【答案】 (2) 【难度】0.4 【分析】（2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； 【详解】 （2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； 4.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】 (3)①证明见解析；②或 【分析】 （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】 （3）①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·二模）如图1是一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形，称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，抛物线部分的最大值为． (1)求“蛋圆”中的抛物线的表达式及线段的长． (2)如图2，连接，点P为线段BD上方“蛋圆”上一点，过点P作交于点E，交于点F，求的最大值． (3)点Q为“蛋圆”上任意一点，过点Q作交于H，是否存在点Q使得和相似．若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或，， 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由，得到，即可求解； （3）当点在半圆上时，在中，则，即可求解；当点在抛物线上时，则或，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 当时，， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点； 连接， 则， 则； （2）解：∵半圆直径，圆心， ∴ 设的解析式为 把，代入 得 ∴ 直线的表达式为：， 设点，则点， 则点， ∴， ∴， ∴， 故的最大值为：； （3）解：存在，理由： 由点、、的坐标得，， 当和相似时，则或， 当点在半圆上时，如图： 连接， 当时，设，则， 在中，则， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵点在第三象限， 则点； 连接， 当时，设，则， 在中，则， 即 解得： ∴ ∴ ∵点在第四象限， 则点； 当点在抛物线上时， 则 设点，则， 则 解得：（正值已舍去） 把代入，解出 即点； 则 设点，则， 则 解得：（负值已舍去） 把代入，解出 即点； 综上，或，， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理，相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向终点B运动．当点P运动到线段上时，过点P作轴，交线段于Q，交抛物线于点D，设运动的时间t秒．    (1)求a，b的值． (2)连接，当t为何值时的值最大，此时的面积为多少？ (3)作线段的垂直平分线交直线于点M，连接，随着点P的运动，当点M在直线的上方且时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)，2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的函数关系式是．再求出，得到，，即可得到，则当时，QD最大值为2，再根据三角形面积计算公式求解即可． （3）过点M作轴于E，延长与过B点垂直于x轴的直线交于点F，连接．证明．得到，，进而得到，推出，，则，解得：， 此时，可知P点的横坐标是1，D点的横坐标也是1，据此求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中，得， 解得： ∴二次函数的关系式为． ∴，． （2）解：∵C点的坐标是， ∴可设直线的函数关系式是． 根据题意，得， 解得：， ∴直线的函数关系式是． ， ， ， ， ∴当时，QD最大值为2， ， ， 即当时，QD值最大，此时的面积为2．    （3）解：过点M作轴于E，延长与过B点垂直于x轴的直线交于点F，连接．     ， ， ， ， 又，， ． ，， ∴ ， ， ， ， 解得：， 此时，可知P点的横坐标是1，D点的横坐标也是1． 把代入中，得 ∴点D的坐标是． 3．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为； （3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得 ∴ 把点和C为代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得， ∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P， 此时，的值最小． ∵直线，当时，， ∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，， ∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 5．（2024·山东青岛·模拟预测）矩形中，E为中点．点从A点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒1个单位的速度沿向点运动．过作垂直于于，过作垂直于于，连接、．两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)是否存在某一时刻，使、、三点共线？是否存在某一时刻，？（选作一题） (2)设的面积为，求与的关系式，并求是否存在某一时刻，面积最大？如果存在，求出面积最大值，如果不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得位于的垂直平分线上？如果存在，求值；如果不存在，说明理由． (4)连接，是否存在某一时刻，使平分？是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由．（选作一题） 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) (4)平分时，；平分时， 【分析】（1）①连接，过点E作于点H，当B、P、F三点共线时，，根据矩形性质、中点定义和勾股定理得到， ，根据得到，得到，由余弦定义得到，解得； ②当时，，得到，求得，根据余弦定义得到，求得 ； （2）根据余弦定义得到，求出，根据，得到，求出，得到根据三角形面积公式得到，得到时，y取得最大值12 （3）过点Q作于点K，根据矩形性质和线段垂直平分线性质得到，，求得； （4）①当平分时，设与交于点L，判定，∴，过点Q作于点N，判定，得到，求得，得到，根据，∴得到，根据 ，，得到，得到，解得；②当平分时，根据，求出，过点L作于点M,则，得到，根据正切定义求出，，根据相似三角形性质得到，得到，即得． 【详解】（1）解：①连接，过点E作于点H， ∵， ∴当时，B、P、F三点共线， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ； （2）解：存在．理由： ∵,，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为12； （3）解：存在．理由： 过点Q作于点K，则四边形是矩形， 当垂直平分时，， ∴， ∴ （4）解：存在．理由：①当平分时，设与交于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点Q作于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当平分时， ∵， ∴， ∴， 过点L作于点M， 则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查了矩形和相似三角形综合．熟练掌握矩形性质，相似三角形的判断和性质，二次函数性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解决问题的关键． 6．（2024·山东烟台·一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．    (1)求b的值； (2)请求出四边形的面积； (3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点． ①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由； ②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3)①不变化，；② 【分析】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据题意可得到对称轴为直线，即可求出b的值； （2）连接，求出，根据即可求出答案； （3）①证明，同理得到，得到，求出，即可得到； ②由①知，为等腰直角三角形，则，当时，最短，此时取得最小值，求出，根据得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当， ∴此抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， （2）连接， 由（1）得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为， 令，则， 解之得：， ∴ 令，则 ∴点B的坐标为， 则 ∴ ∴四边形的面积为15. （3）①不变化，理由： ∵于点E，点M为线段的中点， ∴ ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即在旋转的过程中，的大小不变，其度数为； ②∵由①知，为等腰直角三角形， ∴ 当时，最短，此时取得最小值， ∵， ， ∴， 解得 ∴ 即线段的最小值为． 7．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知． (1)求m的值； (2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】 （1）由题意可知，将点A的坐标代入抛物线L即可得出m的值； （2）设点D的坐标，表达的面积，并根据二次根式的性质可得出结论； （3）由题可知，则点F是的中点，可求出的长，取的中点H，则是的中位线，则轴，由平移可得出抛物线M的解析式，联立可得点E的坐标，求出点E的坐标，即可得出轴，进而可得结论． 【详解】（1）解：， ， 在抛物线L：， ，解得：， 故答案为：； （2）令， 解得：或， ， 令，则， ， ； 过点D作y轴的平行线于点G， 设，则， ， ， 当时，的面积最大， ， ； （3）证明：如图，连接， ， ， ， 是的中点，， :， 在中，， ， 过点F作于点H， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 轴， 将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M， 则：， 令，解得：， ， ， 轴， ，即是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，含角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键． 8．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．    (1)求A、B两点坐标； (2)求的最大值； (3)当时， ①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标； ②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，则，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，由图形的对称性可知N为所求的点，即可求解； ②当时，列出等式即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到， ∴， 即抛物线的表达式为：， 令，则或， 即点A、B的坐标分别为：； （2）解：设点，则，， ∴， 即的最大值为：； （3）解：当时，点； ①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，    设过点A、的直线解析式为：， 则有：， 解得：， 将直线和抛物线的解析式联立得： ， 解得：（不合题意的值已舍去）， ∴； ②存在, ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴设点， 由点A、M、N的坐标得，，， 当时，即， 解得：， 即点M的坐标为：； 当时，则， 解得：， 即点M的坐标为：， 综上，点M的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于x轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等；第三问注意有两种情况，不要出现遗漏． 9．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为，， (4)存在，定点，的值为 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案； （3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）∵抛物线的表达式为：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 设其中，则， ∴ ∵，， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的周长 ， ∴当时，的周长有最大值，． （3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，， 解得：， ∴， ②当为对角线时，， 解得：， ∴， ③当为对角线时，， 解得：， 解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，． （4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴， 解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 10．（22-23九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标； (3)已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求出落在抛物线上的点的坐标． 参考：若点、，则线段的中点坐标为． 【答案】(1) (2)，， (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设点的坐标为，根据已知条件得出的值，代入解析式即可求解； （3）根据题意，则线段与线段构成平行四边形，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1） 抛物线与轴交于、， 解得 抛物线解析式为． （2）设点的坐标为， 由题意： ， ， ．                                                                                                    当时， 解得，                              当时， 解得 满足条件的点有个， 即，，． （3）由抛物线解析式得对称轴为直线 当点落在对称轴左侧的抛物线上，点落在对称轴上时，点与点对称， 此时中点的横坐标为， 设点的坐标为，根据公式可得，解得 将代入得 此时落在抛物线上的点的坐标为                           当点落在对称轴右侧的抛物线上，点落在对称轴上时，点与点对称， 此时中点的横坐标为，                                  设点的坐标为，根据公式可得，解得 将代入得 此时落在抛物线上的点的坐标为．                              综上所述当线段与线段关于平面内某点成中心对称时，落在抛物线上的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，中心对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求当M是中点时的P点坐标； (3)作，垂足为N，连接，． 请从下列两个问题中任选一个问题完成． 问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值． (4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)选①当时，的最大值为，理由见解析；②的面积最大值为6． (4)时，四边形是平行四边形；不可能为菱形，理由见解析． 【分析】（1）可求出点坐标为，将、点坐标代入解析式求出、的值，即可求出函数解析式； （2）根据题意可得：  ；（），有，可证∽，可得，即，这里的，可求出关于的一元二次方程的解，从而求出、的值，进而求出点坐标； （3）①设，有∽，则，从而求出， ，，再证∽，有，即，得到关于的函数关系式，再求最大值即可； ②为定值，故求面积最大值，相当于求最大值，在①的基础上再计算面积即可求解； （4）根据平行四边形的性质，当时，四边形是平行四边形，此时有，求解出即可；此时，，，那么，所以，所以不可能为菱形． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得，．   ∴ （2）解：由题意知：点 当M时中点时，  ；（） ∵轴 ∴ ∴∽ ∴，即．    ∴ 解得，（舍去）． ∴  ，即点． （3）解：由勾股定理得，， ∵∽ ∴，即， ∴，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴∽， ∴，即 ∴ =， ∴当时，的最大值为 ； ②，当取最大值时，面积最大， 最大面积为：； 故的面积最大值为6． （4）解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，， 解得， ∴时，四边形是平行四边形， 此时，，，那么 所以，所以不可能为菱形． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质、坐标与图形、平行四边形的性质等知识点，构建相似三角形，找到相应线段的等量关系是求解的关键． 12．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图） 【答案】(1) (2)或 (3)，图见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先证明，可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）过作交于点，过点作，交的延长线于点，则，设与轴交于，证明，可得，从而得到平分，再求出的解析式，可得，再由，可求出点N的坐标，即可． 【详解】（1）解：将三点坐标代入中， 得，，解得，， 所以抛物线表达式为：． （2）解：根据题意，得： ， ∴， ， 又， ， ， ， 当时，    ， ， ， ， 点的纵坐标为4， 当时，有， 解得或（舍）， 点的坐标为； 当时，， 作轴于点，过点作轴交于点，如图，    ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ，   综上，点的坐标为：或． （3）解：过作交于点，过点作，交的延长线于点，则，      ， 设与轴交于， 由旋转得：， ， ， ， ， ， 平分， ， ，   ， 的解析式为：， ， 解得：， ， 设， ， ， 解得：， 所以，点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 13．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，点恰好与点重合 (3)当时，请直接写出线段的值． 【答案】(1) (2)当时，点恰好与点重合 (3)或 【分析】（1）直接把点P坐标代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）先求出点A的坐标为，根据点恰好与点重合，得到点D即为直线与x轴的交点，求出直线的解析式为，即可得到点D的坐标为，则当时，点恰好与点重合； （3）由平行线分线段成比例定理得到，进而推出点的纵坐标为，当时，解得，则点E的坐标为或；过点E作轴于G，过点P作轴于H，过点E作证明，得到，由此代值计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴点A的坐标为， ∵点恰好与点重合， ∴点D即为直线与x轴的交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴点D的坐标为， ∴， ∴当时，点恰好与点重合； （3）解：∵， ∴，即， ∴点P为的中点， ∵点P的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时， 解得， ∴点E的坐标为或； 过点E作轴于G，过点P作轴于H，过点E作于M， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．（2024·山东济宁·二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意先求得一次函数，根据题意得出在上，联立两直线解析式，得出，进而待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）取，则，证明得出，根据题意则为直线与抛物线的交点，联立解析式，解方程，即可求解； （3）根据的内心在抛物线的对称轴上，则的角平分线所在的直线为，先求得关于的对称点为，连接交于点，进而求得直线的解析式为，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为在直线上， ∴ 解得： ∴ ∵点在第一象限内且到轴、轴的距离相等 ∴在上， 联立 解得： ∴， ∵抛物线经过原点， ∴ 将，代入得， 解得： ∴ （2）∵与轴、轴分别相交于点，， 当时，，当时，， ∴ ∴， 由，令 ∴， 解得： ∴， ∴ 如图所示，取，则 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴以为半径的圆与直线相切于点， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴ （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∴关于的对称点为 ∵的内心在抛物线的对称轴上 ∴的角平分线所在的直线为， 如图所示，连接交于点， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 将代入，得， ∴． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，全等三角形的性质与判定，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024·山东日照·二模）如图（1），二次函数的图象经过点．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P．    (1)①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段有交点，点B，C到直线l的距离分别为，求的最大值，并说明理由； (2)如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作于M，与相似，求点Q的坐标． (3)直线l与的夹角为（为锐角），若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)Q (3)点P坐标为或 【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题； ②如图1中，作直线l于M，直线l于N．则，可得，推出，即可解决问题； （2）如图2中，延长交x轴于N．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出m的值，再求出直线的解析式，构建方程组确定点P坐标即可； （3）如图3中，设直线交y轴与D，作于E．设．首先求出直线的解析式，利用方程组确定解得P坐标，再根据对称性，求出直线关于直线的对称的直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可； 【详解】（1）①∵二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：，解得：， ∴． ②如图1中， 作直线l于M，直线l于N．    则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． （2）如图2中，延长交x轴于N． ∵， ∴．    ∵与相似， 观察图象可知，只有， ∴，设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得或， ∴Q． （3）如图3中，设直线交y轴与D，作于E．设．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（2）法可得直线的解析式为， 由，解得或， ∴． 作点D关于直线的对称点，过点作轴， ∵， ∴，， ∴， ∴E， ∵， ∴， 同法可得：直线的解析式为， 由解得或， ∴， 综上所述，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、垂线段最短、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数的综合应用 课标要求 考点 考向 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 综合应用 考向一 最值问题 考向二 交点问题 考向三 线段问题 考向四 角度问题 考向五 三角形问题 考向六 四边形问题 考向七 面积问题 考点 综合应用 ►考向一 最值问题 1.（2024•德州）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； 3.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； 4.（2024•威海）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． ►考向二 交点问题 1.（2024•德州）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 2.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； ►考向三 线段问题 解题技巧 已知线段端点 （1） 若AB∥x轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标即可； （2） 若AB∥y轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标即可； （3） 若AB既不是水平的线段，也不是竖直的线段，则需要利用勾股定理求长， 1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； 2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 3.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ►考向四 角度问题 1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ►考向五 三角形问题 易错易混 （1） 满足已知三角形条件的动点位置可能不止一个，应该考虑到所有情况； （2） 不要忽略三角形存在的条件，比如是否满足两边之和大于第三边. 1.（2024•泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ►考向六 四边形问题 1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； ►考向七 面积问题 解题技巧 （1）求三角形的面积时，如果有一条边平行于x轴或者y轴，则一般以它为底进行求解； （2）若所求多边形各顶点坐标已知，则可以利用间接法，过各顶点作水平或者竖直的线，通过“大-小”或者“小+小”即可求解. 1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2024•青岛）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； 4.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）． (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·二模）如图1是一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形，称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，抛物线部分的最大值为． (1)求“蛋圆”中的抛物线的表达式及线段的长． (2)如图2，连接，点P为线段BD上方“蛋圆”上一点，过点P作交于点E，交于点F，求的最大值． (3)点Q为“蛋圆”上任意一点，过点Q作交于H，是否存在点Q使得和相似．若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向终点B运动．当点P运动到线段上时，过点P作轴，交线段于Q，交抛物线于点D，设运动的时间t秒．    (1)求a，b的值． (2)连接，当t为何值时的值最大，此时的面积为多少？ (3)作线段的垂直平分线交直线于点M，连接，随着点P的运动，当点M在直线的上方且时，求点D的坐标． 3．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 5．（2024·山东青岛·模拟预测）矩形中，E为中点．点从A点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒1个单位的速度沿向点运动．过作垂直于于，过作垂直于于，连接、．两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)是否存在某一时刻，使、、三点共线？是否存在某一时刻，？（选作一题） (2)设的面积为，求与的关系式，并求是否存在某一时刻，面积最大？如果存在，求出面积最大值，如果不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得位于的垂直平分线上？如果存在，求值；如果不存在，说明理由． (4)连接，是否存在某一时刻，使平分？是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由．（选作一题） 6．（2024·山东烟台·一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．    (1)求b的值； (2)请求出四边形的面积； (3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点． ①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由； ②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值． 7．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知． (1)求m的值； (2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形． 8．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．    (1)求A、B两点坐标； (2)求的最大值； (3)当时， ①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标； ②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 10．（22-23九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标； (3)已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求出落在抛物线上的点的坐标． 参考：若点、，则线段的中点坐标为． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求当M是中点时的P点坐标； (3)作，垂足为N，连接，． 请从下列两个问题中任选一个问题完成． 问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值． (4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由． 12．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标； (3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图） 13．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点 (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，点恰好与点重合 (3)当时，请直接写出线段的值． 14．（2024·山东济宁·二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2024·山东日照·二模）如图（1），二次函数的图象经过点．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P．    (1)①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段有交点，点B，C到直线l的距离分别为，求的最大值，并说明理由； (2)如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作于M，与相似，求点Q的坐标． (3)直线l与的夹角为（为锐角），若，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$