第三节 万有引力与密度以及向心加速度-2024-2025学年高一下学期物理专项训练

第三节 万有引力与密度以及向心加速度 需要掌握的内容 1.求解中心天体密度公式。 可以通过，以及结合中心天体质量二级结论，，来求解，主要用前两个。 此公式中的周期要注意与实际飞行半径r对应，R为中心天体半径。 此公式中的周期一定是近地飞行周期这样R才能化简掉。 此公式中g为地表重力加速度。 2.地球赤道与两极重力加速度变化 考虑天体自转，分两个角度进行分析。 （1）分别对赤道与两极的物体进行向心力分析 两极的物体：随地球自转两极物体半径为零，所以向心力为零。 赤道的物体：此公式中T为地球自转周期。 随着纬度增加物体半径会减少，向心加速度就会变小，支持力会变大。支持力与重力相等。 （2）以万有引力的作用分析 两极的物体：万有引力完全充当重力所以。 赤道的物体：万有引力充当重力以及向心力所以，T为地球自转周期。 3.向心加速度比较 近地卫星、同步卫星以及赤道上的物体都在做圆周运动，比较他们之间的向心加速度。 （1）近地卫星与同步卫星：公式相同，近地半径R小于同步半径r，所以。 （2）近地卫星与赤道物体：R相同，公式不同，，所以。 （3）赤道物体与同步卫星：角速度相同，赤道物体半径R小于同步半径，根据可得。 4.超级电梯以及拉格朗日点 超级电梯就是把地球与同步卫星用坚固材料连接成的电梯，研究电梯内物体的受力以及运动。拉格朗日点是指当一个小天体在这个点上时，小天体在两个大天体共同的引力作用下，与两个大天体相对静止，一起做圆周运动。 此类问题分析物体都要分析两个作用力的合力提供向心力，以及角速度相等。 经典习题 单选题1．“吴健雄星”是一颗小行星，它的密度与地球相同，表面重力加速度是地球的1/400．已知地球的半径是6400kｍ，那么“吴健雄星”的半径应该是 A．256km B．16km C．4km D．2km 单选题2．假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（　　） A． B． C． D． 多选题3．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（　　） A．M的密度是N的3倍 B．Q的质量是P的6倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍 单选题4．2019年1月3日，“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面，踏出了全人类在月球背面着陆的第一步，中国人登上月球即将成为现实．若月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，而月球的平均密度相当于地球平均密度的66%．则月球的半径与地球的半径之比约为 A．1︰16 B．1︰8 C．1︰4 D．1︰2 多选题5．目前驻有三名航天员的中国空间站组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体质量为M，半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．航天员漂浮在空间站中，处于平衡状态 B．地球的平均密度可表示为 C．组合体轨道处的重力加速度为 D．组合体的运行速度为 多选题6．若已知地球近地卫星的周期与火星近火卫星的周期之比为，地球半径与火星半径之比为，下列说法正确的是（　　） A．地球质量与火星质量之比为 B．地球密度与火星密度之比为 C．地球第一宇宙速度与火星第一宇宙速度之比为 D．若地球卫星a与火星卫星b的轨道半径相同，则a、b两卫星的周期之比为 单选题7．石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发展使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空．设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星．如图所示，假设某物体乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星相比较 A．的线速度大于的线速度 B．的线速度小于的线速度 C．若突然脱离电梯，将做离心运动 D．若突然脱离电梯，将做近心运动 单选题8．2018年2月12日，我国以“一箭双星”方式成功发射“北斗三号工程”的两颗组网卫星．若某北斗导航卫星在离地高度为2.15万公里的圆形轨道上运行，已知地球同步卫星离地的高度约为3.58万公里，线速度的大小约为3.08km/s．下列说法正确的是 A．此北斗导航卫星绕地球运动的周期大于24小时 B．此北斗导航卫星的线速度大于3.08km/s C．此北斗导航卫星的角速度小于地球自转的角速度 D．此北斗导航卫星的加速度大于地球表面处的重力加速度 多选题9．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径错误的是（　　） A． B． C． D． 多选题10．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号周期为、在远地点的加速度为，东方红二号的加速度为，周期为；固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为，周期为。则（　　） A． B． C． D． 单选题11．如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（    ） A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc>Tb D．在b、c中，b的线速度大 单选题12．如图所示，A为静止在赤道上物体，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。A、B、C三物体质量相同，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，向心力大小分别为FA、FB、FC，线速度大小分别为vA、vB、vC，周期分别为TA、TB、TC，则（　　） A．aB>aC> aA B．FA=FB>FC C．vA>vB>vC D．TB> TA =TC 多选题13．春节档热映电影《流浪地球2》为中国的科幻电影又树立了一座里程碑，其中最令人震撼的是太空电梯。太空电梯的主体是一个永久性连接空间站和地球表面的缆绳，缆绳的起始端连接地面基座，主要起到固定作用，另一端连接空间站，空间站位于距离地表36000km的地球同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤。空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载仓可沿缆绳上下运动，将人和货物从地面运送到空间站。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，下列说法正确的是（　　） A．地面基站可以建设在北京 B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度 C．运载仓在上升过程中受到地球的引力越来越小 D．若空间站和平衡锤间的缆绳断开，平衡锤将做离心运动 单选题14．若将地球近似看作质量分布均匀的球体，半径为R，极地表面的重力加速度为g，自转周期为T0，某卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为r，则下列说法中正确的是（　　） A．地球同步卫星的环绕半径为 B．地球同步卫星的环绕半径为 C．该卫星的环绕线速度为 D．该卫星的环绕线速度为 15．2049年中国航天员驾驶“祝融5号”飞船进入靠近火星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在火星上，航天员在绕行过程中及着陆后各做一次测量，万有引力常量为G。航天员在飞船上用到的实验仪器有：一只秒表、一个弹簧秤、一个质量为m的钩码： （1）航天员两次测量的物理量分别是 和 。（用规定字母表示物理量并写清楚物理量含义） （2）用测得的数据求得火星的密度 = ，火星星球半径R= 。 16．2020年7月23日我国天问一号火星探测器发射，标志我国对火星研究进入实际阶段，不久后若一宇航员到达半径为R、密度均匀的火星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示。，设R、m、引力常量G以及为已知量，忽略各种阻力。求： （1）火星球表面的重力加速度。 （2）火星球的密度。 17．科学家发现某星球可能有生命迹象，但无大气层，为了进一步探索该星球，向该星球发射了一颗监测卫星，卫星先绕星球表面进行环境探索。之后当宇航员登陆该星球后，做了一次竖直上抛实验，将一个物体以竖直向上抛出，经时间t返回出发点，已知引力常量为G，星球半径为R。求： （1）该星球的第一宇宙速度； （2）该星球的密度。 18．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为，探测器运行轨道在其表面上空高为处，运行周期为，引力常量为。求： (1)该行星的质量； (2)该行星的平均密度； (3)设想在该行星表面发射一颗绕其环绕的卫星，则最小的发射速度为多大？ 19．已知月球半径为R，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为3R，到达轨道的A点时点火变轨进入周期为T的椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，已知引力常量G，求： （1）飞船在轨道Ⅲ上的运行周期； （2）月球的质量； （3）月球的平均密度。 20．2021年5月22日10点40分，中国火星探测“天问一号”的火星车“祝融号”着陆火星表面，这标志着此领域美国不再独大，中国正式入局。设想未来某天人类乘坐宇宙飞船到达火星开展实验，在火星“北极”附近距“地面”h处无初速释放一个小球，经时间t落至“地面”。已知火星的半径为R，引力常量为G，不计阻力。问： （1）火星的平均密度； （2）火星的第一宇宙速度。 21．天文工作者观测到某行星的半径为R1，自转周期为T1，它有一颗卫星，轨道半径为R2，绕行星公转周期为T2。若万有引力常量为G，求： （1）该行星的平均密度； （2）假设要在此行星的赤道上发射一颗质量为m的近地卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，则火箭至少要对卫星做多少功？（不计行星上气体的阻力） 答案 第三节 1．B 【详解】星球表面的物体受到的重力等于万有引力 所以 又 解得 可得 则 故选B. 2．D 【详解】该星球表面“赤道”上的物体相对地心静止，有 行星自转角速度为ω时，有 行星的平均密度 解得 故选D。 3．BCD 【详解】A．在星球表面，根据万有引力等于重力可得 则 星球的体积 星球的密度 根据图像可知，在M星球表面的重力加速度为 在N表面的重力加速度为 星球M的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，A错误； B．加速度为零时受力平衡，根据平衡条件可得 解得 B正确； C．根据动能定理可得 根据图像的面积可得 整理得 C正确； D．根据简谐运动的特点可知，P下落过程中弹簧最大压缩量为 ，Q下落过程中弹簧最大压缩量为 ，Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍， D正确。 故选BCD。 4．C 【详解】已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，在星球表面，重力等于万有引力，有：mg，M，则有，所以，故C正确． 5．BC 【详解】A．航天员漂浮在组合体中，航天员绕地球做匀速圆周运动，航天员受到地球的万有引力提供所需的向心力，航天员不是处于平衡状态，A错误； B．物体在地球表面受到的万有引力等于重力，则有 解得地球质量为 又 联立解得地球的平均密度为 B正确； C．设组合体轨道处的重力加速度为，则有 解得 C正确； D．卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 解得 D错误。 故选BC。 6．CD 【详解】AB．近地卫星环绕中心天体做圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得中心天体质量为 又 联立可得中心天体的密度为 则地球质量与火星质量之比为 地球密度与火星密度之比为 故AB错误； C．在星球表面轨道有 可得星球的第一宇宙速度为 则地球第一宇宙速度与火星第一宇宙速度之比为 故C正确； D．若地球卫星a与火星卫星b的轨道半径相同，卫星绕中心天体转动时，有 可得 则a、b两卫星的周期之比为 故D正确。 故选CD。 7．BD 【详解】因C的周期小于同步卫星的周期即小于B的周期，则C的角速度大于B的角速度，由v=rω知C的线速度大，故A错误，B正确；若B突然脱离电梯，因其线速度小于同轨道的卫星的线速度，则所需向心力小于万有引力，做近心运动，故C错误，D正确．所以BD正确，AC错误． 8．B 【详解】A．根据万有引力提供向心力，有：得：，，，北斗卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以此北斗卫星周期小于同步卫星的24小时，故选项A错误； B．北斗卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以此北斗卫星的线速度大于同步卫星的线速度，即大于，故选项B正确； C．由于北斗卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以此北斗导航卫星的角速度大于同步卫星的角速度，由于同步卫星角速度与地球角速度相同，故其大于地球自转的角速度，故选项C错误； D．根据牛顿第二定律：，则此北斗导航卫星的加速度为： 在地球表面处，忽略地球自转，则： 由于此北斗导航卫星的的轨道半径大于地球半径，故此北斗导航卫星的加速度小于地球表面处的重力加速度，故选项D错误． 【点睛】本题要掌握万有引力提供向心力这个关系，要能根据题意选择恰当的向心力的表达式． 9．BCD 【详解】在两极，重力等于万有引力 在赤道，万有引力等于重力和随地球自转的向心力之和 联立可得地球半径为 A正确，不符合题意，BCD错误，符合题意。 故选BCD。 10．BD 【详解】AB．设地球的质量为M，东方红1号在远地点轨道半径为r1，东方红2号轨道半径为r2，地球半径为r3，地球自转周期为T。因为东方红2号是地球同步卫星，因此其运行周期与地球在赤道上的物体相等，所以 再比较远地点的东方红1号和东方红2号的周期，根据万有引力提供向心力可知 因为 所以 所以 故A错误，B正确； CD．首先，比较远地点的东方红1号和东方红2号的加速度大小，根据万有引力提供向心力可知 可得加速度大小与轨道半径的平方成反比，因为 所以 其次，比较东方红2号和赤道上的物体加速度大小，根据向心力公式可知 东方红2号与地球赤道上的物体运动周期相同，又因为 所以 所以 故C错误，D正确。 故选BD。 11．CD 【详解】A．b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有 解得 又 可得 与第一宇宙速度大小相同，即 故A错误； B．地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以 根据 c的向心加速度大于a的向心加速度，根据 a= 得b的向心加速度大于c的向心加速度，即 故B错误； C．卫星c为地球同步卫星，所以 根据 得c的周期大于b的周期，即 故C正确； D．在b、c中，根据 v= 可知b的线速度比c的线速度大，故D正确。 故选CD。 12．A 【详解】AB．根据牛顿第二定律得 半径r越小，向心加速度a越大，所以 又因为 轨道半径越大，向心加速度越大，所以 aC> aA 所以 aB>aC> aA 根据牛顿第二定律 所以 FB>FC >FA A正确，B错误； C．根据 角速度相同时，半径越大线速度越大 根据牛顿第二定律得 解得 轨道半径越小，线速度越大 所以 C错误； D．根据牛顿第二定律得 解得 半径越大，周期越大 又因为C是同步卫星 所以 D错误。 故选A. 13．CD 【详解】A．由题意可知，缆绳、空间站、平衡锤都相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道平面内，所以基站不可能建设在北京，故A错误； B．根据“太空电梯”结构可知 平衡锤和空间站的角速度相同，而空间站的环绕半径小于平衡锤的环绕半径，所以平衡锤的线速度大于同步卫星的线速度，故B错误； C．运载仓在上升过程中受到地球的引力 可知，万有引力随着运载仓与地球距离的增加而减小，故C正确； D．根据题意可知，空间站做匀速圆周运动，若缆绳断开，平衡锤与地球之间的万有引力将小于平衡锤做圆周运动的向心力，因此平衡锤将做离心运动，故D正确。 故选CD。 14．A 【详解】AB．对极地表面的物体 对地球同步卫星万有引力提供向心力 解得地球同步卫星的环绕半径为 故A正确，B错误； CD．对某卫星，万有引力提供向心力 解得该卫星的环绕线速度为 故CD错误。 故选A。 15． 飞船环绕星球的周期T 着陆后弹簧秤悬挂质量为m的钩码时弹簧秤的示数F 【详解】（1）[1][2]宇航员两次测量的物理量分别是：飞船环绕星球的周期T和着陆后弹簧秤悬挂质量为m的钩码时弹簧秤的示数F。 （2）[3]由万有引力提供向心力刻度 又 联立可得 [4]由 可得 由星球表面物体受到的万有引力等于重力刻度 联立可得 16．（1）；（2） 【详解】（1）设在最高点时的速度为v2，最低点时速度为v1，则在最高点时 在最低点时 从最低点到最高点 其中 联立解得 （2）根据 解得 17．（1）；（2） 【详解】（1）设该星球的重力加速度为，在该星球上做竖直上抛运动，抛出物体又回到出发点所用的时间为，则根据竖直上抛和自由落体在时间上的对称性可知物体到达最高点后做自由落体回到出发点的时间为，根据运动学公式有 解得 设该星球的第一宇宙速度为，有一质量为的物体在该星球表面做圆周运动，则有 解得 （2设该星球的质量为，密度为，则在该星球表面质量为的物体的重力等于万有引力，即 解得 而该星球的体积为 可得该星球的密度为 18．(1)；(2)；(3) 【详解】(1)行星对探测器的万有引力提供向心力 解得： (2)行星的体积为 则该行星的平均密度为 (3)最小的发射速度为该行星的第一宇宙速度。 解得 19．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设飞船在轨道III上的运行周期为，根据开普勒第三定律有 解得 （2）设月球的质量为M，当飞船在轨道Ⅲ上运行时，根据牛顿第二定律有 解得 （3）月球的平均密度为 20．(1) ；(2) 【详解】(1)小球在火星表面自由落体运动 解得火星表面的重力加速度 火星表面的物体所受重力近似看作万有引力 解得火星的质量 则火星的平均密度为 (2)卫星在火星表面运行时，由万有引力提供向心力，则 解得火星的第一宇宙速度 21．（1）；（2） 【详解】（1）卫星与行星之间的万有引力提供卫星绕行星作圆周运动的向心力，可得 又 解得 （2）发射质量为m的人造卫星在该行星的近地轨道，可以认为其轨道半径为R1，万有引力提供向心力 该人造卫星在此行星表面随行星一起自转的线速度 沿着行星自转方向发射时所用能量最少，火箭做的功等于卫星动能的增量。由动能定理得 学科网（北京）股份有限公司 $$