第二节 万有引力定律结合圆周算法-2024-2025学年高一下学期物理专项训练

第二节 万有引力定律结合圆周算法 需要掌握的内容 1.万有引力与周期结合。 此公式中M中心天体质量，m绕行天体质量，r绕行天体飞行半径，T公转周期。可以推导出公式。此推导公式在应用时要注意T与r要保持对应关系，r越大T越大。 当卫星绕行地球近地飞行时r=R（中心天体半径）公式会变成，近地飞行周期大约1.5h。注意不是地球自转周期。r=R+h，h为离地高度。 2.万有引力与加速度结合。 此公式就是牛顿第二定律，其中M中心天体质量，m绕行天体质量，r飞行天体到中心天体的距离。可以推导出。得到结论同一位置加速度相同，天体做圆周运动时a叫向心加速度，不做圆周运动时叫重力加速度。此推导公式在应用时要注意a与r要保持对应关系a与成反比。 当物体在地球表面忽略天体自转时r=R（中心天体半径）公式会变成，此公式叫做黄金代换公式，可以把天体的运动规律与地表宏观的运动规律进行结合。公式中g表示地表重力加速度大约9.8m/s2，R中心天体半径。 3.万有引力与线速度结合 此公式中M中心天体质量，m绕行天体质量，r绕行天体飞行半径，v绕行天体线速度。可以推导出此推导公式在应用时要注意v与r要保持对应关系，r越大v越小。此公式只适用于圆形轨迹，对于椭圆形轨迹线速度要用到开普勒第二定律，以及能量守恒。 当卫星近地飞行时r=R（中心天体半径）公式会变成，近地飞行线速度就是第一宇宙速度7.9km/s。此公式结合黄金代换公式还可以变成。 近地卫星线速度，向心加速度，周期1.5h。 4.深井问题。 求地下距地表d处的重力加速度g与深度的关系。 由公式以及，可以得到。可知。 可以得到结论：在地下a与离地心距离r成正比。 5.圆周追及算法。 已知甲乙圆周的周期T甲与T乙，求经过多久甲比乙多跑一圈？ 用公式变换成可以求得时间t。 经典习题 单选题1．天文上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，周期分别是和，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面上，若某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再经过多长的时间，将再次出现这种现象已知地球离太阳较近，火星较远　　 A． B． C． D． 多选题2．设地球赤道半径为R，卫星a的圆形轨道离地面高度为0.65R，地球同步卫星b离地面高度为5.6R，两卫星共面且旋转方向相同．某时刻卫星a恰好出现在赤道上某建筑物c的正上方，地面重力加速度大小为g，则 A．a、b线速度大小之比为2：1 B．a、c角速度之比为4：1 C．b、c向心加速度大小之比33：5 D．a下一次通过c正上方所需时间为 多选题3．2013年4月出现了“火星合日”的天象。“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知（　　） A．“火星合日”每年都会出现至少一次 B．“火星合日”不是每年都会出现 C．火星的公转半径约为地球公转半径的倍 D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍 多选题4．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．土星相邻两次冲日的时间间隔是450天左右 B．土星相邻两次冲日的时间间隔是378天左右 C．火星相邻两次冲日的时间间隔最长 D．海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 单选题5．A、B两颗人造地球卫星在同一平面同向绕地球做匀速圆周运动，B卫星轨道半径大于A卫星轨道半径。已知A卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为3小时，经观测发现每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次。则B卫星轨道半径与A卫星轨道半径之比为（　　） A．4 B．8 C．9 D．22 多选题6．已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零．设想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面．两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设地球半径为R,则 A．两物体的线速度大小之比为 B．两物体的线速度大小之比为 C．两物体的加速度大小之比为 D．两物体的加速度大小之比为 多选题7．均匀分布在地球赤道平面上的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步卫星所在的轨道处的重力加速度为g＇，地球自转周期为T，下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离s的表达式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 单选题8．2019年12月7日，“长征三号”运载火箭在中国文昌发射场发射升空，将卫星送入预定轨道。图为该卫星绕地球运动示意图，测得卫星在t时间内沿逆时针从P点运动到Q点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，则该卫星运动的（　　） A．线速度为 B．周期为 C．向心加速度为 D．轨道半径为 多选题9．我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星（高度约为36000千米），它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是（　　） A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/s B．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小 C．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方 D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7大 单选题10．天文学家发现，三颗行星A、B、C绕着仙女座厄普西仑星做匀速圆周运动，如图所示，行星A周期为4.6170天，轨道半径为0.059AU（地球与太阳之间的距离为1AU，），引力常量，根据题中数据可求出（　　） A．厄普西仑星的半径 B．厄普西仑星的第一宇宙速度 C．行星B的周期大于4.6170天 D．行星C的加速度大于行星A的加速度 单选题11．为了更好地了解太阳活动对地球的影响，2022年10月，我国成功将“夸父一号”卫星发射升空，该卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，距离地球表面约720千米，运行周期约99分钟，下列说法正确的是（    ） A．“夸父一号”有可能静止在长沙市的正上方 B．若已知万有引力常量，利用题中数据可以估算出太阳的质量 C．“夸父一号”的发射速度大于第二宇宙速度 D．“夸父一号”的角速度大于地球自转的角速度 单选题12．如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，则不正确的是（　　） A．b所需向心力最小 B．b、c周期相等，且大于a的周期 C．b、c向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 13．一宇航员在半径为R的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为l的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在O点，当小球绕O点在竖直面内做圆周运动通过最高点速度为v0，绳的弹力为零。不计小球的尺寸，已知引力常量为G，求： （1）该行星表面的重力加速度； （2）该行星的第一宇宙速度。 14．一宇航员在半径为R的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为l的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在O点，当小球绕O点在竖直面内做圆周运动通过最高点速度为v0，绳的弹力为零。不计小球的尺寸，已知引力常量为G，求： （1）该行星表面的重力加速度； （2）该行星的第一宇宙速度。 15．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星，在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T。已知火星的半径为R，火星表面的重力加速度的大小为g，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： （1）火星的质量M； （2）火星的第一宇宙速度v； （3）求“天问一号”绕火星飞行时轨道半径r。 16．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上。宇宙飞船上备有以下实验仪器： A．弹簧测力计一个 B．精确秒表一只 C．天平一台（附砝码一套） D．物体一个 为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行了一次测量，依据测量数据可求出M和R（已知引力常量为G）。 （1）绕行时测量所用的仪器为 （用仪器的字母序号表示），所测物理量为 。 （2）着陆后测量所用的仪器为A、C、D，所测物理量为物体质量m、重力F。用测量数据求该行星的质量M＝ 。 17．2021年10月16日，我国成功发射了神舟十三号载人飞船，与空间站组合体完成自主快速交会对接，3名航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱，他们将在轨驻留6个月，任务主要目标为验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。已知神舟十三号与空间站组合体完成对接后在轨道上运行，可视为匀速圆周运动，它们飞行n圈所用时间为t。已知它们的总质量为m，它们距地面的高度为h，地球半径为R，引力常量为G。求： （1）地球的质量； （2）地球表面的重力加速度。 18．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 平均半径 质量 平均密度 自转周期 1天 赤道附近26天，两极附近大于30天 (1)以上是地球和太阳的有关数据 (2)已知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v＝7.9 km/s，万有引力常量G＝6.67×10－11m3·kg－1·s－2，光速c＝3×108m·s－1； (3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞． 在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学记数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量； ②试估算太阳表面的重力加速度； 19．一宇航员在半径为R的某星球表面，做如下实验：如图所示，在不可伸长的长度为l的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在O点，当小球绕O点在竖直面内做圆周运动通过最高点速度为v0，绳的弹力为零。不计小球的尺寸，已知引力常量为G，求： （1）该行星表面的重力加速度； （2）该行星的第一宇宙速度。 答案 第二节 1．D 【详解】设需要的时间为t，在此时间内地球比火星多转一周，就会再次出现这种现象，即有：，解得：，故D正确，ABC错误． 2．ACD 【分析】人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿运动定律求解卫星的角速度．卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空． 【详解】绕地球运行的卫星，地球对卫星的万有引力提供向心力，设卫星的线速度为v，则：，所以，可知a、b线速度大小之比为，故A正确；设卫星的角速度为，，得，所以：，又由于同步卫星b的角速度与c的角速度相同，所以，故B错误；同步卫星b的角速度与c的角速度相同，根据可得：，故C正确；设经过时间t卫星a再次通过建筑物c上方，根据几何关系有：，又，即，联立解得：，故D正确。 【点睛】本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．第（2）问对于建筑物与卫星的角速度大小关系不能直接得出，可将卫星与同步卫星相比较得到． 3．BC 【详解】AB．根据题意有 解得 故“火星合日”约每2年出现一次，选项B正确，A错误； CD．根据 得 火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，则火星的公转半径约为地球公转半径的倍，选项C正确，D错误。 故选BC。 4．BC 【详解】AB．根据开普勒第三定律有 解得 如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有 解得土星相邻两次冲日的时间间隔为 故B正确，A错误； CD．设太阳的质量为，地球的半径为，地外行星的半径为，根据万有引力提供向心力 可知，地球和地外行星的角速度分别为 外行星相邻两次冲日的时间间隔为，则满足 由此可知，当地外行星的轨道半径越小时，越大，即火星相邻两次冲日的时间间隔最长，故C正确，D错误。 故选BC。 5．A 【详解】根据题意每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次，则有 根据开普勒第三定律 解得 故选A。 6．AC 【详解】试题分析：设地球密度为ρ，则有：在赤道上方： ， 在赤道下方： 解得： ， ， 故AC正确；BD错误。 故选AC。 【点睛】本题主要掌握万有引力提供向心力的基本应用，要会用数学方法表示球体质量． 7．BC 【详解】根据万有引力提供向心力得：，r为轨道半径，有：，根据地球表面处万有引力等于重力得：，得：GM=gR2 根据题意画出俯视三颗同步通信卫星的几何位置图象：根据几何关系得：L=r．所以；根据同步卫星处万有引力等于重力得：， ；由于GM=gR2，解得；所以，所以BC正确，AD错误． 8．A 【详解】AD．由牛顿第二定律 解得 A正确，D错误； B．由 和 得， ，B错误； C．由 解得，C错误。 故选A。 9．BD 【详解】A．7.9km/s是绕地球表面运动的第一宇宙速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，此时的轨道半径为地球的半径。由 得 速度与轨道半径的平方根成反比，则这两颗卫星的速度都小于7.9km/s，故A错误； B．根据 ＝mr 得 可知轨道半径越大，周期越大，则半径小的“墨子号”的周期比北斗G7小，故B正确； C．地球静止轨道卫星只能定点于赤道的正上方，故C错误； D．由 ＝ma 可得 a＝ 则轨道半径小的加速度大，故D正确。 故选BD。 10．C 【详解】A．根据万有引力提供向心力，只能计算出行星A的轨道半径 无法计算出厄普西仑星的半径，A错误； B．由万有引力提供向心力 由于不知道中心天体的球体半径R，没法求解厄普西仑星的第一宇宙速度，B错误； C．由开普勒第三定律 由图像可知 所以 即行星B的周期大于4.6170天，C正确； D．由万有引力提供向心力 由图可知 所以行星C的加速度小于行星A的加速度，D错误。 故选C。 11．D 【详解】A．依题意，可知“夸父一号”不是地球的同步卫星，所以不可能静止在长沙市的正上方，故A错误； B．“夸父一号”是地球的卫星，已知万有引力常量，利用题中数据也不能估算出太阳的质量，故B错误； C．由于“夸父一号”绕地球做匀速圆周运动，所以其发射速度小于第二宇宙速度，故C错误； D．“夸父一号”绕地球运行周期约99分钟，小于地球的自转周期24h，根据 可知，其角速度大于地球自转的角速度，故D正确。 故选D。 12．C 【详解】A．圆形轨道上运行的人造地球卫星由万有引力提供向心力 由于a、b质量相同，且小于c的质量，c、b半径相同，且大于a的半径，可知b所需向心力最小，A正确，不满足题意要求； B．根据 解得 由于c、b半径相同，且大于a的半径，可知b、c周期相等，且大于a的周期，B正确，不满足题意要求； C．根据 解得 由于c、b半径相同，且大于a的半径，可知b、c向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，C错误，满足题意要求； D．根据 解得 由于c、b半径相同，且大于a的半径，可知b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，D正确，不满足题意要求。 故选C。 13．（1）；（2） 【详解】（1）小球通过最高点时 解得 （2）对在行星表面附近做匀速圆周运动的质量为m0的卫星，有 解得第一宇宙速度为 14．（1）；（2） 【详解】（1）小球通过最高点时 解得 （2）对在行星表面附近做匀速圆周运动的质量为m0的卫星，有 解得第一宇宙速度为 15．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）忽略火星自转，火星表面质量为的物体，其所受引力等于重力 解得 （2）忽略火星自转，火星近地卫星的质量为，根据第一宇宙速度的定义有 解得 （3）设天问一号质量为，根据万有引力提供向心力有 解得 16． B 周期T 【详解】（1）[1]绕行时测量所用的仪器为精确秒表； 故选B。 [2]所测物理量为宇宙飞船的周期T。 （2）[3]设该行星表面重力加速度为，则有 设行星的半径为，根据物体在行星表面受到的万有引力等于重力，可得 宇宙飞船在行星表面的圆形轨道上绕星球转动，根据万有引力提供向心力可得 联立解得行星的质量为 17．（1）；（2） 【详解】（1） 根据万有引力等于向心力 解得地球的质量 （2）根据 解得 18．①6×1024 kg     ②3×103m/s2 【分析】(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，由此列式求地球的质量； (2)根据万有引力等于重力，估算太阳表面的重力加速度． 【详解】(1) 物体绕地球表面做匀速圆周运动，则有： 解得： 代入数据解得：M=6×1024kg； (2) 在地球表面有： 解得： 同理在太阳表面有： 则有：． 【点睛】解决本题的关键是掌握万有引力等于向心力和万有引力等于重力这两条基本思路，要认真读题，搞清两种宇宙速度的关系． 19．（1）；（2） 【详解】（1）小球通过最高点时 解得 （2）对在行星表面附近做匀速圆周运动的质量为m0的卫星，有 解得第一宇宙速度为 学科网（北京）股份有限公司 $$