重难点专题训练一 一元一次方程的特殊解法（十二类专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练一 一元一次方程的特殊解法思维导图 专题训练01一元一次方程的整数解 1．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．关于的方程的解是整数，则整数所有取值的和为 ． 3．关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 专题训练02一元一次方程中的有、无解 1．如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 2．阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 3．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 专题训练03一元一次方程中的整体代入 1．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 专题训练04一元一次方程中的新定义计算 1．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．定义新运算：表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：，若，则 x 的值是 ． 3．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)______； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较的大小． 专题训练05一元一次方程中的定值 1．已知为常数，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．如果a，b为定值，关于x的一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，则 ． 3．已知，为常数，无论为何值，关于的一元一次方程的解总是，求，的值． 专题训练06一元一次方程中相同、相反、倒数解 1．若方程和的解相同，则m的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．已知代数式与的值互为相反数，则 ． 3．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 专题训练07解复杂的一元一次方程 1．解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 2．解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： (1) (2)． 3．解下列方程： (1) (2) (3)； (4) (5) (6)； 专题训练08一元一次方程中绝对值 1．同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 2．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 3．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 专题训练09一元一次方程中规律 1．已知：，，， (1)按上述规律填空∶ ． (2)计算： (3)根据以上规律解方程： 2．观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 3．如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 专题训练10一元一次方程中新定义方程 1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 2．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)的“反对方程”是_______； (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值； (3)若关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数，求b的值． 3．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 专题训练11一元一次方程中阅读理解题 1．阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： (1)已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； (2)已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 2．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，所以解方程，得，于是，利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，所以解方程，得，于是，．请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 3．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故， 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“”，“”，“”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 初中生小明暑假准备去游泳，已知游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，游泳票为30元一张，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问小明选择哪种方案更合算？ 专题训练12一元一次方程中迁移探究题 1．规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 2．【问题提出】在解决数学问题时，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有．求x的值，在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得__________； ②当时，此时可以解得__________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题： （1）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求点E对应的数． （2）如图2，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E在线段之间且到点A、C的距离相等，，则线段的长为_________． 3．实践与探索 观察发现：某数学兴趣小组在学习了旋转对称图形后，自制了一个模拟钟面，如图所示，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针、分别从、出发绕点O转动，转动速度为每秒，转动速度为每秒，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，请你试着解决他们提出的下列问题：    （1）如图1，若顺时针转动，同时逆时针转动，当_______秒时，与第一次重合； （2）如图2，若、同时顺时针转动，当_______秒时，与第一次重合； 拓展迁移： （3）小明每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，小明与叔叔跑步速度之比为．一天，两人在同地同时反向而跑，小王看了一下计时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇，第二天小明打算和叔叔在同地同时同向而跑，若两人每天的跑步速度保持不变，请你帮小明预测一下，他隔多长时间与叔叔首次相遇？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练一 一元一次方程的特殊解法思维导图 专题训练01一元一次方程的整数解 1．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程，多项式次数和项．先解方程得到，根据方程的解为整数推出的可能取值为、、，再根据多项式次数和项的定义得到，，，据此得到所有满足条件的整数a的值，由此可得答案． 【详解】解：由方程， 解得：， 关于x的方程的解是整数， 的可能取值为、、， 关于y的多项式是二次三项式， ，， ， 所有满足条件的整数a的值、、， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故选：A． 2．关于的方程的解是整数，则整数所有取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的整数解，先求出含有参数k的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值． 【详解】解：先解方程，， ∴， 解得：， 要使方程的解是整数，则必须是整数， ∴可以取的整数有：、， 则整数可以取的值有：、3、5． ∴整数所有取值的和为， 故答案为：． 3．关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 【答案】或或或， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键是正确掌握一元一次方程的定义； 根据该方程有整数解，且m是整数，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的一元一次方程，解方程即可， 【详解】∵方程有整数解， ∴， ∴， ∴， ∵m是整数， ∴或或或 解得：或或或． 专题训练02一元一次方程中的有、无解 1．如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程无解的情况， 根据中，当时，方程无解可知当时关于的方程有解． 【详解】解：由题意得：当时，关于的方程有解， 解得， 故选：C． 2．阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 专题训练03一元一次方程中的整体代入 1．已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴，即的解为 ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 2．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】观察两个方程，设，则可变形为，再根据关于的方程的解，可得，即，解出即可得出答案． 【详解】解：设，则可变为， 因为关于x的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解为， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解法，熟练掌握换元法是解题的关键． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 专题训练04一元一次方程中的新定义计算 1．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程，根据运算规律列出方程是解题关键．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 移项，得：， 合并得：，， 系数化为1得：． 故选：C． 2．定义新运算：表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：，若，则 x 的值是 ． 【答案】2或28/2或82 【分析】此题主要考查了新定义的运算及解一元一次方程，要熟练掌握新定义的运算是解决本题的关键．根据，得，或，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：， ，或， ，或， ，或， 解得或28． 故答案为：2或28． 3．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)______； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1） ． （2）， ，解得； （3），， ， ， 则， ． 专题训练05一元一次方程中的定值 1．已知为常数，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．如果a，b为定值，关于x的一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义． 根据一元一次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】将代入方程， ， ， ， ， 由题意可知， ， 故答案为：10． 3．已知，为常数，无论为何值，关于的一元一次方程的解总是，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 将代入，得，即，依题意得，，，计算求解即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∵无论为何值，关于的一元一次方程的解总是， ∴，， 解得，． 专题训练06一元一次方程中相同、相反、倒数解 1．若方程和的解相同，则m的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次方程的解，理解同解方程的意义是解答的关键． 【详解】解：解方程， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵方程和的解相同， ∴方程的解是， ∴， 解得， 故选：A． 2．已知代数式与的值互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查依据相反数性质列出方程和解一元一次方程的基本能力，关键在于根据题意列出方程．根据代数式与的值互为相反数得到方程，解方程可得x的值． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解： ，         ∵方程的解与关于的方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解是，   把代入方程的得：， 解得 ． 专题训练07解复杂的一元一次方程 1．解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先移项，再合并同类项计算即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项计算即可； （3）先等式两边乘以6去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （4）先等式两边乘以21去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （5）先去括号得到，然后等式两边乘以60去分母，再移项、合并同类项计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 2．解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的特殊解法，解题的关键是正确理解例题中所给的形式，仿照例题解答问题． （1）利用乘法的分配律逆用，然后根据等式的性质解方程； （2）先变形为，然后与（1）一样解方程． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 3．解下列方程： (1) (2) (3)； (4) (5) (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键； （1）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （5）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （6）先把分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 同除以11得：． （2）解： 去分母得：， 再去分母得：， 去括号得： ， 移项得：， 解得：． （3）解：， 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得； （4）解： 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （5）解： 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：； （6）解： 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 专题训练08一元一次方程中绝对值 1．同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或． 2．先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【答案】或． 【分析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴或 解得：或． 3．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 专题训练09一元一次方程中规律 1．已知：，，， (1)按上述规律填空∶ ． (2)计算： (3)根据以上规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，根据变化找出规律，正确运用计算法则求解； （1）根据题意得到规律即可解答； （2）先根据题意得到规律然后将原式进行拆项求解即可； （3）现根据规律整理方程，然后解方程即可； 【详解】（1）根据题意得： ， 故答案为：； （2） ； （3） 整理方程得： 解得：． 2．观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 【答案】(1)①；3；② (2)2；3 (3) 【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键． （1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式． 【详解】（1）①当时，代数式；当时，； 故答案为：． ②根据题意得， 解得． （2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1； 的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2． 类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3． 故答案为：2；3． （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数． 又因为时，的值为6． 所以．解得， 故这个代数式为 3．如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，规律探究．熟练掌握解一元一次方程，并推导一般性规律是解题的关键． （1）分别求两个一元一次方程的解，然后补表即可； （2）根据表格推导一般性规律即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ， ∴补表如下： 序号 方程 方程的解 ① ② ③          ④          （2）解：由表格可知，序号每增加1，方程的解增加2， ∴第（为正整数）个方程，解为， ∴第（为正整数）个方程和它的解分别为，． 专题训练10一元一次方程中新定义方程 1．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 2．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)的“反对方程”是_______； (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值； (3)若关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，能够正确理解概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都是整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：根据定义得，的“反对方程”为， 故答案为：； （2）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴，， 解得：； （3）解：关于x的方程和其“反对方程”是， ∴， ， ； ， （1-3b）x=2， ， ∵关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数， ∴与都是整数， 当，即时，，，都为整数， 当即时，，，都为整数， ∴b的值为或1． 3．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 专题训练11一元一次方程中阅读理解题 1．阅读理解：给定一列数，把这列数中的第一个数记为， 第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为 为正整数），符号“”表示从这列数的第一个数开始依次加到第个数的和，即，例如：一列数1，3，4，7，9中，，，，，，；． 请解决下面的问题： (1)已知一列数，2，，4，，6，，8，，10，求的值； (2)已知一列数0，，6，，12，，18，，24，，，按照规律可以无限写下去，那么的值是多少？并求的值； (3)在（2）的条件下，是否存在正整数使等式成立，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的值为1348或1349 【分析】本题考查数字变化类规律探究，有理数混合运算，简单的一元一次方程解法，理解题意，发现规律是解题的关键． （1）按照定义求出数列中前5个数的和即可； （2）根据符号规律和绝对值变化规律可写出第个数的代数式，再令，求出第100个数，然后再按新定义的运算列式相加，利用每两个的和为，即可求出的值； （3）根据（2）的规律，分当为偶数时，和当为奇数时两种情况列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）观察可知，奇数位为正，偶数位为负，绝对值依次加3， ∴， ∴； ； （3）存在；理由如下： 当为偶数时，， ∴， ∴， 当为奇数时，， ∴， ∴． 故的值为1348或1349． 2．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题：利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，所以解方程，得，于是，利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，所以解方程，得，于是，．请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可， （2）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 所以． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 所以． 3．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故， 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“”，“”，“”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为，．请比较，的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 初中生小明暑假准备去游泳，已知游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，游泳票为30元一张，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问小明选择哪种方案更合算？ 【答案】（1）； （2）； （3）当游泳次数多于10次时，选择B方案；当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；当游泳次数少于10次时，选择A方案． 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，分类讨论是解（3）的关键． （1）作差即可作出判断； （2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设原价为元，游泳x次，分别求出A，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ∵a为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设原价为元，游泳x次， 则A方案的费用； B方案的费用； ∵， ∴当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； ∴当游泳次数多于10次时，选择B方案；当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；当游泳次数少于10次时，选择A方案 专题训练12一元一次方程中迁移探究题 1．规律发现： （1）在学完《数轴》这节课后，完成以下三空： ①点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ②点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______； ③发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______． 直接运用： （2）将数轴按图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则的值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应的点将与的顶点______重合． 类比迁移： （3）如图（2），，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；；；（2），；（3）或或 【分析】本题考查一元一次方程，数轴与几何的综合，解题的关键是掌握数轴的性质，角平分线的性质，一元一次方程的应用，进行解答，即可． （1）根据数轴的性质，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，解出，求出，，对应的点；然后根据等边三角形以为周期交替出现，即，则，即可； （3）根据题意，求出，，的角度，设运动时间为秒，分类讨论，求出的取值范围；再根据其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线，分类讨论：当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线；当时，在中间，若是的平分线，求出，即可． 【详解】（1）∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． ∵点表示的数为，点表示的数为：， 设， ∴， ∴， ∴点表示的数为：， 故答案为：． （2）∵是等边三角形， ∴， ∵设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴， 解得：， ∴点表示的数为，点表示的数为，表示的数为， ∴的边长为， ∵将从图中位置向右滚动，且以为周期交替出现， ∴到之间有：个数， ∴， ∴数字对应的点将与的顶点重合． 故答案为：；． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； 当与重合时， ∴， 解得：； ∵当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动， ∴， 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当与重合时，， ∴， 解得：； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， ∴， 解得：，符合题意； 当时，在中间，若是的平分线， ∴， 解得：，不符合题意． 综上所述：当或或，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 2．【问题提出】在解决数学问题时，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有．求x的值，在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得__________； ②当时，此时可以解得__________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题： （1）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求点E对应的数． （2）如图2，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E在线段之间且到点A、C的距离相等，，则线段的长为_________． 【答案】问题提出：①8②；知识迁移：（1）或7；（2）12或28 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论． ①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； （1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【详解】解：问题提出： ， ①当时，， ； 故答案为：8； ②当时，， ∴， ∴， 故答案为：； 知识迁移：（1）如图： ∵点D是线段的中点， ∴ ∴D在数轴上对应的数为， ∵线段的长为6， 设E在数轴上对应的点为x， ∴点E到点C的距离恰好是线段的长表示为：， ①若E在C点左侧，则， ∴ ∴E在数轴上对应的点为； ②若E在C点右侧，则 ∴ ∴ ∴ ∴E在数轴上对应的点为7， 则点对应的数为或7； （2）如图3. ①D在上， ∵点E为线段的中点， ∴ ∵点D是折线的“折中点”， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图4，D在线段上， 同理，，，， ∴， ∴， 故答案为：12或28 3．实践与探索 观察发现：某数学兴趣小组在学习了旋转对称图形后，自制了一个模拟钟面，如图所示，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针、分别从、出发绕点O转动，转动速度为每秒，转动速度为每秒，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，请你试着解决他们提出的下列问题：    （1）如图1，若顺时针转动，同时逆时针转动，当_______秒时，与第一次重合； （2）如图2，若、同时顺时针转动，当_______秒时，与第一次重合； 拓展迁移： （3）小明每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，小明与叔叔跑步速度之比为．一天，两人在同地同时反向而跑，小王看了一下计时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇，第二天小明打算和叔叔在同地同时同向而跑，若两人每天的跑步速度保持不变，请你帮小明预测一下，他隔多长时间与叔叔首次相遇？ 【答案】（1）7.2 （2）12 （3）小明隔160秒与叔叔首次相遇 【分析】此题主要考查了旋转相遇问题和一元一次方程的应用，解题的关键是抓住同向和相向旋转的方向以及其相差的角度列方程，求解即可． （1）根据题意可知两针相遇，可知两针总共转出了可列方程求解； （2）根据题意可知两针重合，可知两针走过的路程差为可列方程求解； （3）设小明的速度为，根据相遇问题列方程求出两人的速度，然后根据追击问题计算即可． 【详解】（1）解：由题可得：， 解得， 故答案为：； （2）解：由题可得：， 解得， 故答案为：； （3）设小明的速度为，则叔叔的速度为， 32(， 解得， ∴小明的速度为，则叔叔的速度为， 同地同时同向而跑首次相遇时间为， 答：小明隔与叔叔首次相遇． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$