重难点专题训练一 分式的性质与运算（十三类专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练一 分式的性质与运算思维导图 专题训练01分式变形求值 1．a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 2．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件求出是解题的关键．由变形可得，再代入所求式子里化简求值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：2． 3．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 专题训练02分式运算中的新定义 1．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，把转化为分式的运算即可． 【详解】解：根据定义运算*，， ， 去分母得，， 代入得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入． 2．对于任意两个非零实数、，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，分式的化简求值，理解新定义，进行化简，用整体代换法是解题的关键．根据新定义得，通分得，将此代入即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， 整理得：， ； 故答案为：． 3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 专题训练03分式中的倒数和与差 1．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，不成立， 当时，， 则 ； 综上分析可知：的值为， 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值．将作为一个整体，利用平方法进行求解，是解题的关键．把平方，先求出，再把平方，先求出的值，，然后求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知非零实数满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2)23 【分析】本题考查代数式求值，涉及根据已知代数式值恒等变形求值，利用完全平方公式恒等变形求值，熟记完全平方公式、掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据题中已知代数式的值，恒等变形即可得到答案； （2）由（1）中，利用完全平方公式将配方，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：非零实数满足， ，即； （2）解：由（1）知， ． 专题训练04分式值为正(负)数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 【详解】解∶ ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选∶B． 【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 2．如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】解：分式的值为正数，且， 且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 3．已知，取哪些值时： （1）的值是正数． （2）的值是负数． （3）的值是零． （4）分式无意义． 【答案】（1）且；（2）；（3）；（4） 【分析】先在分式有意义的条件下化简，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题. （1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求； （2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求； （3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求； （4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求． 【详解】解： = = 由上可知，当时，分式有意义化简的结果是m+1； （1）由y为正数得：＞0， ∴m＞-1且． （2）由y为负数得：＜0， ∴m＜-1． （3）由y为零得：=0， ∴m=-1． （4）由分式无意义得：， ∴m=2． 【点睛】本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决本题的关键．易错点是第（1）问会漏了这个限制条件. 专题训练05分式值为整数时未知数的整数值 1．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 2．若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为整数的条件，熟练掌握分离常数法是解题的关键．由，可知为998的因数，从而得到答案． 【详解】解： 为整数 为998的因数 或998 正整数n共有2个． 故答案为：2． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解：______； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（    ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 【答案】(1)或（任意一组）； (2)B (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分式的值，解二元一次方程组； （1）根据题意写出二元一次方程的正整数解，即可求解； （2）根据题意得出，即可求解； （3）根据题意联立，加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（任意一组）； （2）∵为自然数， ∴或或或， 解得：共4个， 故选：B． （3）解：由题意得， ∴， 把代入，得： ∴， ∴． 专题训练06分式中的规律 1．已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值． 【详解】解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1）， 所以， ， 因为2021÷3=673， 所以a2021=． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 2．若给定下面一列分式：，，，，……，（其中），按此规律下去，其中第10个分式应为： 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，根据题意得出第个分式为，然后求出第10个分式即可，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：，，，，…， 第个分式为， 第10个分式应为， 故答案为：． 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式； （2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（1）得，第个等式：， 证明如下： ， 等式左边右边， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． 专题训练07分式中的倒数法 1．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2．阅读下面的解题过程： 已知求的值． 解：由知 ∴即 ∴ ∴ 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知：，求的值． 【答案】 【分析】同时取倒数可得，方程左侧分子、分母同时除以x可得，取倒数后分子、分母同时除以x可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解． 【详解】由知 即 ． 【点睛】本题主要考查了倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解题关键． 3．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 专题训练08分式中的“真假”分式 1．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 【答案】(1)真； (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据材料中的方法即可判定是真分式，根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，即可求解； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为正整数即可得出的值． 【详解】（1）在中，分子的次数为，分母的次数为，， 是真分式； ； 故答案为；真；； （2）； （3）； 分式为正整数， 为整数且， 或， 或， 即的值为或． 2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：． (1)分式是______（填“真”或“假”）分式． (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式． (3)若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)假 (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，分式的化简，分式的值．理解新定义是解题的关键． （1）根据“假分式”定义判定即可； （2）将分式变形，再化简即可． （3）根据，再根据的值为整数， x为整数，则，求解即可． 【详解】（1）解：∵分子x的次数与分母中字母x的次数都要是1，相等， ∴分式是假分式， 故答案为：假． （2）解： ； （3）解：由（2）知， 又∵的值为整数，x为整数， ∴， ∴或． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (3)若分式的值为m，m的取值范围是 （直接写出结果）． 【答案】(1)真分式；； (2)1，2，4，5； (3)． 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案． （2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且为整数，即可求得． （3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案． 分式新定义题目，实际上是考查分式化简的知识，分式中分子分母同时满足某种关系时求得分式整体值的情况，对学生基础分析能力和知识迁移能力的考查非常明显． 【详解】（1）解：根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式， ， 故答案为：真分式；． （2）解：，且为正数，且为正数 或或或， 解得或或或， 故满足条件的整数的值为1，2，4，5． （3）解： ， 而， ， ， ， ， ． 故答案为：． 专题训练09分式中的"拆分法" 1．阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； (2)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)4或2或16或 【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或 则满足条件的整数或2或16或， 故答案为：4或2或16或． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． 2．[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键． 根据所给的材料，将分式拆成，再运算化简即可作答．将分式拆成，再运算化简即可作答． 【详解】解：由的分母为， 可设（n为整数）， 则 ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴ 由的分母为， 可设（d为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴． 3．阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． (3)试求的最小值． 【答案】(1) (2)或6或0或2． (3)10． 【分析】（1）由分母，可设，再利用待定系数法求解，即可； （2）由分母，可设，再利用待定系数法求解，，再利用分式的值为整数可得答案； （3）把化为，从而可得答案． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则， ， ． ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ， ． （2）由分母，可设， 则， ， ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得； ∴， ， ， ， ∵x为整数，分式的值为整数， ∴为整数， ∴或6或0或2． （3）∵ ∵的值最小，则与同时取最小值即可， 当时，整式与分式同时取最小值， 所以最小值的和最小，最小值为10． 【点睛】本题考查的是待定系数法的应用，新定义运算，分式的加减运算的逆运算的理解，求解代数式的值，理解题意是解本题的关键． 专题训练10分式不等式 1．阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围： （1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可； （2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可． 【详解】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等组①得 解不等式组②得无解． ∴原不等式的解集是 （2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等式组①得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______． (2)求分式不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】本题考查了因式分解、分式的基本性质、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程. （1）仿照例题进行解答即可； （2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：， 可化为， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得 ①或②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； 故答案为：或． （2）解：， ， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得： ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解， 故的解集为， 即分式不等式的解集． 3．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查利用有理数除法法则解分式不等式． （1）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解； （2）易得与异号，可得两个不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：①若，则a、b同号， 则或； ②若，则a、b异号， 则或； 故答案为：；，； （2）（2）原不等式可转化为： （1）或（2） 解（1）得：无解，解（2）得： 所以原不等式的解集是 专题训练11分式的裂项 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律解答以下问题： (1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ (2)由分式性质可知：，试求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第n个等式； （2）利用得到的规律将原式变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题． 2．观察下列各式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第4个等式为：______． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式； （2）结合（1）即可写出第个等式，然后计算证明即可． 【详解】（1）解：第4个等式为：， 故答案为：． （2）解：． 证明：右边左边， 所以等式成立， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律． 3．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数） (3)试比较代数式的值与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知：分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，由此可得出答案； （2）按照（1）的方法来解决即可； （3）运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题． 【详解】（1）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差， 所以． 故答案为：． （2）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差， 所以． 故答案为：． （3） ． 故． 【点睛】本题考查寻找数字的规律及运算规律计算，寻找规律可大致分成两个步骤：不变的和变化的，变化部分和序号的关系． 专题训练12分式的新定义 1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④；⑤． (2)将和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______； (3)应用：先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤； (2)； (3)，或或． 【详解】解：（1）①③④⑤；【解法提示】； ； ； ， 所以，，，都是“和谐分式”； （2）；【解法提示】 （3）原式 ， 为整数，为整数，或， 且且，或或． 2．阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查分式的化简求值，明确题意，利用题中的新定义是解题的关键． （1）把，代入式子求出答案； （2）把代入化简求解即可； （3）根据题意和题目中的定义，求出答案即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， 两边同时除以， 得， ， ， ， ， 故a，b的“快乐返校学习数”是； （3）解：把，代入， c为正整数，为整数， 或， 故整数的值为或． 3．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①；②． 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式” 故答案为：是； （2）解：设的“关联分式”为，则， ∴，即， ∴； （3）解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得， 解得． 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 专题训练13分式中的归纳类比 1．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象. 【分数运算】 怎样理解？    从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】 （1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）； ②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释. （2）①观察下图，填空：____________；    ②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.   【答案】（1）①  ②见解析   （2）①     ②见解析 【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即； （2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即； 【详解】解：（1）①； 故答案为； ②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.    （2）①（） ②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）； 该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）. 这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份， 所以占原长方形的， 即.    【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键． 2．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 【答案】[类比]增大； [拓展]（1），； （2）当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了 【分析】本题考查了分式的减法运算，注意分类讨论； [类比] 通分后化为，根据条件可判断其符号，进而得到与的大小关系； [拓展] （1）把c的值代入分式中并计算，即可判断与的大小关系； （2）作差：，化简得，就分母的符号，对c分类讨论即可 【详解】解：[类比]： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：[拓展] （1）当时，；当时，； 故答案为：； （2） ， 当时，， ∴ ∴； 当时，， ∴ ∴； 综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了． 3．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式． 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 　　； ②求证：； (2)若满足，求的值． 【答案】(1)①1；②见详解 (2)2023 【分析】本题考查了分式的加法和完全平方公式，（1）中将所求式子中的1换成是本题的关键． （1）①由题意可得，代入所求式中可求值； ②由题意可得，则，代入第1个加数中可求值； （2）把看作，把看作，根据完全平方公式可得答案． 【详解】（1）①解：， ， 故答案为：1； ②证明：， ， ； （2）解： ， ， ， ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练一 分式的性质与运算思维导图 专题训练01分式变形求值 1．a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 2．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 3．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 专题训练02分式运算中的新定义 1．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．对于任意两个非零实数、，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则 ． 3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 专题训练03分式中的倒数和与差 1．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知，则 ． 3．已知非零实数满足． (1)求的值； (2)求的值． 专题训练04分式值为正(负)数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 2．如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 3．已知，取哪些值时： （1）的值是正数． （2）的值是负数． （3）的值是零． （4）分式无意义． 专题训练05分式值为整数时未知数的整数值 1．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有 个． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解：______； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（    ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 专题训练06分式中的规律 1．已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若给定下面一列分式：，，，，……，（其中），按此规律下去，其中第10个分式应为： 3．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式 ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 专题训练07分式中的倒数法 1．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 2．阅读下面的解题过程： 已知求的值． 解：由知 ∴即 ∴ ∴ 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知：，求的值． 3．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 专题训练08分式中的“真假”分式 1．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：． (1)分式是______（填“真”或“假”）分式． (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式． (3)若分式的值为整数，求x的整数值． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (3)若分式的值为m，m的取值范围是 （直接写出结果）． 专题训练09分式中的"拆分法" 1．阅读下列材料，并解答问题： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x＋1，可设； 则． ∵对于任意x上述等式成立， 解得：， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式x－2与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______； (2)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 2．[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 3．阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． (3)试求的最小值． 专题训练10分式不等式 1．阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 2．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______． (2)求分式不等式的解集． 3．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则，若，，则． 请解答下列问题： (1)①若，则或________； ②若，则________或________； (2)根据上述规律，求解分式不等式的解集． 专题训练11分式的裂项 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律解答以下问题： (1)写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ (2)由分式性质可知：，试求的值． 2．观察下列各式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第4个等式为：______． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 3．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数） (3)试比较代数式的值与的大小关系． 专题训练12分式的新定义 1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④；⑤． (2)将和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______； (3)应用：先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 2．阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 3．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 专题训练13分式中的归纳类比 1．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象. 【分数运算】 怎样理解？    从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】 （1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）； ②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释. （2）①观察下图，填空：____________；    ②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.   2．【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大； 【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题． 【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式． （1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”） （2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？ 3．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 例如：已知，求的值． 解：原式． 问题解决： (1)已知． ①代数式的值为 　　； ②求证：； (2)若满足，求的值． 2 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