重难点专题训练二 分式方程及其应用（十三类专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练二 分式方程及其应用思维导图 专题训练01根据分式方程解的情况求值 1．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 2．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 3．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 专题训练02分式方程中的增根 1．若方程有增根，则它的增根是（   ） A．0 B． C．1 D．或1 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 3．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 专题训练03分式方程中的无解 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为（） A．4 B． C． D．3 2．已知关于x的方程有增根，那么 ． 3．求当为何值时，关于的方程无解． 专题训练04分式方程与不等式组结合 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 3．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 专题训练05分式方程中的新定义运算 1．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 2．定义运算“※”：若，则的值为 ． 3．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 专题训练06分式方程中的新定义方程 1．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 2．我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”．满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”．如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程．此时对应的“股雅值”为． (1)请说明：是一元勾股方程； (2)若方程（）为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”； (3)关于x的方程（）为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解． 3．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． （1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是） （2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由； （3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值． 专题训练07分式方程中的规律 1．观察下列各式： ， ， ， ， …… (1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律； (2)仿照以上方法解分式方程：． 2．观察下列等式： ； ； ； (1)由此可推断：________； (2)根据上述规律，解方程：． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 专题训练08分式方程的应用——行程问题 1．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 2．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 3．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 专题训练09分式方程的应用——销售问题 1．重庆火锅深受全国游客的的喜爱，其中毛肚和鸭肠是最畅销的两款菜品，某网红火锅店2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元． (1)求毛肚和鸭肠的单价； (2)元旦将至，火锅店的食材进价上涨了，其中某网红菜品的每份进价上涨了，涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，求该网红菜品涨价前的每份进价． 2．“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． (1)求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ (2)该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 3．今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 专题训练10分式方程的应用——方案问题 1．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 2．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 3．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 专题训练11分式方程的应用——浓度问题 1．A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． (1)求该什锦糖的单价； (2)商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 2．阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%． (1)公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________； (2)拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； (3)解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)． 3．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 专题训练12分式方程的应用——工程问题 1．多年来，双流区政府切实为残疾人办实事，在人行道上或其他场所铺设一种固定形态的地面砖，使视觉障碍者产生盲杖触觉及脚感，引导视觉障碍者向前行走和辨认方向以到达目的地的通道，盲道建设让视障人士越来越有安全感．在某一道路改造工程中，甲、乙两工程队合作，18天可以完成，共需付施工费64800元；如果甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用时间是甲工程队的倍，乙工程队每天的施丁费比甲工程队每天的施工费少1400元． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的施工费较少？ 2．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ (2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 3．某街道道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为 ； (3)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作12天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）． 专题训练13分式方程的应用——跨学科问题 1．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 2．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 3．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了元，但只比上周多买了斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供名同学使用，两个洋葱正好斤，该校参加生物实验的同学共人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练二 分式方程及其应用思维导图 专题训练01根据分式方程解的情况求值 1．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 2．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 3．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．解分式方程得，由题意可知，结合，即，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴且． 专题训练02分式方程中的增根 1．若方程有增根，则它的增根是（   ） A．0 B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．解题的关键是求出使方程产生的增根可能为或，然后再进行验证即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得： ， 由最简公分母，可知增根可能是或， 当时，， 当时，得到，等式不成立， 所以增根只能是． 故选：B． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查分式方程的增根问题．先去分母，化成整式方程，再把增根代入即可求出m的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即增根， 把代入得， 解得， 故答案为：3． 3．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到是增根，即可解答． 【详解】解：解方程， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． x的系数化为1， 得． ∵关于的分式方程有增根， ， ． 专题训练03分式方程中的无解 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为（） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时分母为0，方程无解， 即， 解得：， 故选：B． 2．已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．求当为何值时，关于的方程无解． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得：， 整理，得：， 当整式方程无解时：； 当分式方程有增根时：或， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 专题训练04分式方程与不等式组结合 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组无解，解得，解分式方程得，，进而得到，即可得解，本题特别要注意分式有意义的条件． 【详解】解：∵关于x的不等式组， ∴由①得，， 由②得，， ∵原不等式组无解， ∴， 解得，， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∵， ∴， 综上，， ∴， 故选：D． 2．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，利用给出的不等式组，可得的范围，进而得出的范围，再利用分式方程的解的特征，得到的取值范围，再求出符合条件的所有整数，然后相加即可得出答案，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有解， ∴，解得， 由，解得：， ∵关于的分式方程有非负数解， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且， ∴所有整数为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于的不等式组得：．可得；分式方程的解为：．根且即可求解； 【详解】解：解关于的不等式组得：． 关于的不等式组有且只有五个整数解， ． 关于的分式方程的解为：． 关于的分式方程可得产生增根2， ． 关于的分式方程的解为非负整数， 且． ．解得：． 为整数，且为整数，． 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 专题训练05分式方程中的新定义运算 1．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解分式方程；根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 去分母得， 解得：， 把代入得，， ∴原方程无解， 故选；D． 2．定义运算“※”：若，则的值为 ． 【答案】或10 【分析】本题考查解分式方程，根据新定义，分两种情况，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 3．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 专题训练06分式方程中的新定义方程 1．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 2．我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”．满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”．如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程．此时对应的“股雅值”为． (1)请说明：是一元勾股方程； (2)若方程（）为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”； (3)关于x的方程（）为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解． 【答案】(1)说明见解析 (2) (3) 【分析】（1）仿照列题，方程，可写成，即可求解； （2）根据方程，方程的解为，①，根据勾股定理得出，进而求得的值，求得面积即可求解； （3）根据对应的“股雅值”为，得出，根据分式方程无解分类讨论，进而得出①当时，②当时，根据完全平方公式变形求值，进而即可求解． 【详解】（1）解：方程，可写成， ∵， ∴是一元勾股方程． （2）∵，方程的解为 ∴， ∴，① ∵ ∴为斜边 ∴ ∴② 将①代入②得：③ 由①③可得，， ∴“股雅值”为 （3）∵ ∴为斜边 ∴ ∵对应的“股雅值”为 ∴ ∴ 解方程 可得 ∵方程无解 ∴①， ②当时，， ③当时，，（舍） ①当时， ∴ ∴ ②当时， ∴（舍） ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 3．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． （1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是） （2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由； （3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值． 【答案】（1）有；没有；不是；（2）当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）k= 【分析】（1）根据求出①②两个方程的解，然后根据“暖根”的定义和“同源方程”的定义即可得出结论； （2）联立方程组，变形整理后对m的值分类讨论，分别求出方程的解即可； （3）分别求出两个方程的解，然后由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1，设=（n为整数且n≠0），根据方程的解为整数求出n的值，即可求出k的值． 【详解】解：（1） 解得： ∴方程①有“暖根”； 解得： 经检验，是增根，原方程无解， ∴方程②没有“暖根”； 根据“同源方程”的定义，它们不是“同源方程” 故答案为：有；没有；不是； （2）是， 联立 ①－②，得 整理，得 当=0且=0时，方程有无数个解 即，n=6时，有无数个公共解，公共解满足； 当时，即时， 将代入②，得 y= 此时公共解为 综上：当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为； （3）① 整理，得 当k=2时，此方程无解，即无“暖根”； 当k≠2时，解得：； ② 整理，得 当k=1时，此方程无解，即无“暖根”； 当k≠1时，解得：； 由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1 设=（n为整数且n≠0），此时=-1＋n为整数 则k=2－ ∴==为整数 ∴n－1=1或-1 解得n=2或0（不符合前提，舍去） ∴k=2－=，此时≠0且≠-1 综上：k=． 【点睛】此题考查的是一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，掌握相关概念及各个方程的解法是解题关键． 专题训练07分式方程中的规律 1．观察下列各式： ， ， ， ， …… (1)请用含字母（为正整数）的等式表述上述式子的一般规律； (2)仿照以上方法解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减，分式方程的知识，解题的关键是掌握分式的加减，解分式方程，根据题意，找到式子的一般规律，进行解答，即可． （1）观察上述式子，找到规律，进行解答，即可； （2）方程利用得出的规律变形，计算，即可． 【详解】（1）解：由上述式子得，． （2）解：由（1）得， ∴， ∴方程变形为， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 2．观察下列等式： ； ； ； (1)由此可推断：________； (2)根据上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，解分式方程： （1）根据已有等式，推出结论即可； （2）方程左边裂项相加后，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：； 故答案为：； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ； (2)利用（1）的结论解关于x的方程：； (3)利用（1）的结论解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． （3）根据等式的性质，变形为，即可求解． 【详解】（1）猜想关于x的方程的解是 故答案为：． （2）解： 变形得， ∴或 解得： （3）解： ∴ ∴ ∴或 解得：或 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 专题训练08分式方程的应用——行程问题 1．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 2．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 3．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 专题训练09分式方程的应用——销售问题 1．重庆火锅深受全国游客的的喜爱，其中毛肚和鸭肠是最畅销的两款菜品，某网红火锅店2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元． (1)求毛肚和鸭肠的单价； (2)元旦将至，火锅店的食材进价上涨了，其中某网红菜品的每份进价上涨了，涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，求该网红菜品涨价前的每份进价． 【答案】(1)38元，30元 (2)25元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设毛肚和鸭肠的单价分别为元，元，根据2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元，列出方程组，解方程组即可； （2）设该网红菜品涨价前的每份进价为m元，根据涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设毛肚和鸭肠的单价分别为元，元，由题意得： ， 解得：， 答：毛肚和鸭肠的单价分别为38元，30元． （2）解：设该网红菜品涨价前的每份进价为m元，由题意得： ， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，且符合题意， 答：设该网红菜品涨价前的每份进价为25元． 2．“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． (1)求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ (2)该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 【答案】(1)长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元； (2)圆萝卜打了折 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元，根据销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱列出方程求解即可； （2）设圆萝卜打了m折，分别求出第一周和第二周两种萝卜的销售额，再根据第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元； （2）解：设圆萝卜打了m折， 由题意得，， 解得， 答：圆萝卜打了折． 3．今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 【答案】(1)采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元 (2)翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，列出等量关系式是解题的关键． （1）设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元，可得方程组，解方程组可得答案； （2）设翻新旧的小书柜元/个，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元， 则， 解得：， 答：采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元． （2）解：设翻新旧的小书柜元/个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解．     则总共投入（元）． 答：翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元． 专题训练10分式方程的应用——方案问题 1．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 2．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 【答案】(1)公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨 (2)安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用． （1）设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨，根据生产B货物所需的时间比A货物多30天，建立分式方程，求解，并检验即可； （2）设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节，根据90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．建立不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则， 答：公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨； （2）解：设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节， 根据题意得：， 解得：， 则共有三种方案： 方案一：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案二：安排甲型货厢15节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案三：安排甲型货厢16节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 答：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元． 3．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元 (2)最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设种商品的单价是元，则种商品的单价是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设购买种商品件，则购买种商品件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合实际即可获得答案． 【详解】（1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 专题训练11分式方程的应用——浓度问题 1．A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． (1)求该什锦糖的单价； (2)商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 【答案】(1)27元/千克 (2)加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）根据总费用除以总质量进行计算即可； （2）根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 【详解】（1）解：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； （2）若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； 2．阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%． (1)公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________； (2)拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； (3)解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)． 【答案】(1)25% (2)25克 (3)浓度变大，理由见解析 【详解】（1）解：公式应用：由题意，得 ， 故答案为：25%； （2）解：设需要蒸发x克水，根据题意，得 ， 解得：x=25， 经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意， 所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； （3）解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐， 则该容器内原盐水浓度为，容器内加盐后，盐水浓度为 由题意，知，a>b>0，c>0， ∴ac>bc， ∴ab+ac>ab+bc， ∴a(b+c)>b(a+c)， ∴， ∴， 即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大．. 【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式性质的应用，理解题意，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 3．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 【答案】（1）10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；（2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；（3）当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和作差法是解题的关键． 任务1：根据素材计算； 任务2：根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 任务3：根据作差法求解． 【详解】解：任务1：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； 任务2：若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，当时不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； （3）甲糖的价格为：， 乙糖果的价格为：， ∴，只有当时取等号， ∴当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样． 专题训练12分式方程的应用——工程问题 1．多年来，双流区政府切实为残疾人办实事，在人行道上或其他场所铺设一种固定形态的地面砖，使视觉障碍者产生盲杖触觉及脚感，引导视觉障碍者向前行走和辨认方向以到达目的地的通道，盲道建设让视障人士越来越有安全感．在某一道路改造工程中，甲、乙两工程队合作，18天可以完成，共需付施工费64800元；如果甲、乙两工程队单独完成此项工程，乙工程队所用时间是甲工程队的倍，乙工程队每天的施丁费比甲工程队每天的施工费少1400元． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个工程队单独完成这项工程，哪个工程队的施工费较少？ 【答案】(1)甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天 (2)乙公司的施工费较少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， （1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需天，根据合作18天完成列出方程求解即可； （2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论； 解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解． 【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需天． 根据题意，得， 解得， 经检验知是方程的解且符合题意． ∴， 答：甲公司单独完成此项工程需30天，乙公司单独完成此项工程需45天； （2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为元， 根据题意得， 解得：， ∴甲公司单独完成此项工程所需的施工费：（元）， 乙公司单独完成此项工程所需的施工费：（元）， ∵， ∴甲公司的施工费较少， 答：若让一个公司单独完成这项工程，乙公司的施工费较少． 2．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ (2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月 (2)甲工程队应施工3个月，乙工程队应施工12个月 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）先求出两个工程队合作的效率，设甲工程队单独完成此工程需x个月，根据甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成，列出分式方程进行求解即可； （2）设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月，根据题意，列出不等式求出的范围，再根据施工总费用最低进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：甲乙两队合作的效率为：， 设甲单独完成此工程需要个月，则乙的工效为 ，由题意，得： ， 解得：，经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月； （2）解：设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月， 由题意，得：， 解得：； ∵甲队每月费用20万元，乙队每月费用10万元，10万元万元， ∴在要求完成时间内，甲工程队施工时间越短，施工总费用越低， ∴当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低， 乙工程队施工的月为：（个）月， 答：施工总费用最低时，甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月． 3．某街道道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为 ； (3)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作12天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天 (2) (3) 【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解． （1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，再列方程求解即可； （2）由题意可得由题意得：，再化简即可； （3）由题意得，，再进行化简可得，再进行求解即可． 【详解】（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要天， ， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴． 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天． （2）由题意得：， ∴． （3）由题意得，， 解得 答：甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的倍． 专题训练13分式方程的应用——跨学科问题 1．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 2．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 3．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了元，但只比上周多买了斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供名同学使用，两个洋葱正好斤，该校参加生物实验的同学共人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 【答案】(1)上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； (2)生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 【分析】（）设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，由题意得：，然后求解检验即可； （）设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用，根据题意得：，然后解一元一次不等式即可； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； （2）解：设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用， 根据题意得：， ， 解得：， 答：生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$