第十六章 分式 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

第十六章 分式 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、是整式，不符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：C． 2．若分式的值等于0，则的值是（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件等知识点，直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零进而分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】∵分式的值等于0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式成立，符合题意； D、，等式不成立，不符合题意； 故选C． 4．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念求解即可． 【详解】A．，不符合题意； B．，不符合题意； C． 是最简分式，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 5．某种新冠病毒的直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是把表示为的形式，其中，为原数左边起第一个不为零的数子千米的的个数决定，即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 6．将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的基本性质化简计算求解．理解分式的基本性质是解题关键． 【详解】解：将分式中的m和n同时扩大2倍，得： ， ∴原分式的值缩小为原来的， 故选：B． 7．解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．方程两边都乘以去分母即可判断． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 故选：C． 8．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6和10的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．设甲的速度为3x，则乙的速度为4x，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可． 【详解】解：设甲的速度为3x，则乙的速度为4x，则 ， 故选：A． 9．如图，设，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题． 【详解】解： ， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若分式式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案，正确把握分式的定义是解题关键． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 14．约分：（1） ．（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 15．已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键．根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 16．已知，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，利用整体代入的方法是解决问题的关键． 把已知等式两边除以m得到，再利用完全平方公式得出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：11． 17．已知，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了分式的加法，先通分，从而得出，，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故，， 解得：，， 故答案为：，． 18．已知三个实数a，b，c，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：∵，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂的运算，依据相关的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解出最后进行检验，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出最后进行检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是． （2）解：∵ ∴， 解得， 检验：把代入，得， ∴不是分式方程的解， 即原分式方程无解. 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目． 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．首先根据解答例题可得，进而可得，再求其倒数的值，进而可得答案． 【详解】解：，且， ，即， ， ，即， ， 原式的倒数 ， 原式． 23．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设种茶叶每盒进价是元，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍，由此列代数式即可求解； （2）根据数量关系，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种茶叶每盒进价是元，种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍， ∴种茶叶每盒进价是元， ∵茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒， ∴购入种茶叶盒，购入种茶叶盒， 故答案为：；；． （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种茶叶每盒进价是200元，种茶叶每盒进价是280元． 24．为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元． (1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？ (2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值． 【答案】(1)型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元 (2)的最小值为10 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式． （1）设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元，根据“用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样”， 列出分式方程，解之即可得出结论； （2）根据购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元， 依题意可得，，解得：， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为，则， 答：型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元； （2）根据题意得：， 解得：， ∵、均为整数， ∴的最小值为10， 答：的最小值为10． 25．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 分式 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值等于0，则的值是（   ） A．4 B． C．1 D． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．某种新冠病毒的直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 7．解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6和10的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，设，则有（　　） A． B． C． D． 10．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若分式式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．如果，那么 ． 13．方程的解为 ． 14．约分：（1） ．（2） ． 15．已知，则分式的值为 ． 16．已知，则的值为 ． 17．已知，则 ， ． 18．已知三个实数a，b，c，满足，，，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 20．解方程： (1) (2)． 21．先化简，再求值：，其中． 22．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目． 已知，求的值． 23．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 24．为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元． (1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？ (2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值． 25．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$