专题10 几何图形初步、相交线与平行线（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（江苏专用）

专题10 几何图形初步、相交线与平行线 课标要求 考点 考向 1. 通过实物和模型了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； 2. 掌握两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离； 3. 认识同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念； 4. 掌握平行的性质与判定；平行线的传递性。 几何图形初步 考向一 正方体相对两面的字 考向二 几何体展开图的认识 考向三 两个基本原理 相交线与平行线 考向一 三角板中的平行 考向二 平行线的性质 考向三 平行线的判定 考点一 几何图形初步 ►考向一 正方体相对两面的字 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．湿 B．地 C．之 D．都 3．将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 ►考向二 几何体展开图的认识 1．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A．B．C． D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 3．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． ►考向三 两个基本原理 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    考点二 相交线与平行线 ►考向一 三角板中的平行 1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． ►考向二 平行线的性质 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． ►考向三 平行线的判定 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 3．如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 1．如图是一个体积为8的正方体，、为它的两个外表面的对角线，若平移，使其端点C与的端点D重合，此时点的对应点为P，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（    ） A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 3．如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（    ）    A．  B．  C．   D．   4．在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是（    ） A．①⑦ B．②④ C．①③ D．④⑥ 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ． 7．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 8．（2023·江苏南京·二模）把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是、，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．    9．（2023·江苏泰州·三模）已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则 ° 10．（2023·江苏无锡·三模）下列命题中，真命题有 ．(请填写命题前的标号) ①有公共顶点的两个角是对顶角；②三角形中最大的内角是直角；③有一个角是直角的菱形是正方形；④两直线平行，同旁内角互补． 11．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧； ②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）   【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，小明通过探究得到、，存在某种数量关系，具体探究过程如下： 【探究问题】小明将图1“特殊化”，如图2所示，当点在的延长上，请直接写出此时、数量的关系为__________； 【解决问题】小明在探索中发现，将绕点旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小明完成解答过程； 【扩展应用】如图3，和均为等腰直角三角形，，点在上，试问：是否存在有最小值？若没有，请说明理由；若有，请直接写出最小值． 13．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 14．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 15．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G． (1)若点G与点O重合，则 ； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 16．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案） (3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在中，，且边上有一点D． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交边点E； ②作，其中点F在边上； (2)在（1）的条件下，若，，点D在边上运动，则面积的最小值为___________． 18．三角尺是几何学习中常用的学具． 【重温旧知】 (1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的和，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______；图②中，的度数是______°，三角尺的直角边和三角尺的直角边之间的数量关系是______；图③中确认弦是圆的直径的定理是______．    【探索研究】 (2)如图④，将图②中的一副三角尺和叠放在一起，使得点，分别在，边上，我们在同一平面内研究下面两个问题． ①当时，求的值； ②若的长为，直接写出顶点和的距离的最大值（用含的代数式表示）．      19．（1）已知：如图，四边形是平行四边形，点A、C在对角线所在的直线上， （填写序号）．求证：；（请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面题目的横线上使之成为真命题，并解答出后面的问题．）    （2）连接，若平分，已知，．求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何图形初步、相交线与平行线 课标要求 考点 考向 1. 通过实物和模型了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； 2. 掌握两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离； 3. 认识同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念； 4. 掌握平行的性质与判定；平行线的传递性。 几何图形初步 考向一 正方体相对两面的字 考向二 几何体展开图的认识 考向三 两个基本原理 相交线与平行线 考向一 三角板中的平行 考向二 平行线的性质 考向三 平行线的判定 考点一 几何图形初步 ►考向一 正方体相对两面的字 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．湿 B．地 C．之 D．都 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得： “盐”的对面是“之”， “地”的对面是“都”， “湿”的对面是“城”， 故选C． 3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．校 B．安 C．平 D．园 【答案】A 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”， 故选：A． ►考向二 几何体展开图的认识 1．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案． 【详解】 解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是 故选：B． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（    ） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键． 根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：C ． 3．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键． 由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形． 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形． 故选：D． ►考向三 两个基本原理 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短． 3．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 考点二 相交线与平行线 ►考向一 三角板中的平行 1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． ►考向二 平行线的性质 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ►考向三 平行线的判定 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图是一个体积为8的正方体，、为它的两个外表面的对角线，若平移，使其端点C与的端点D重合，此时点的对应点为P，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，认识立体图形，勾股定理等知识，连接，根据平移的性质可得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵平移， ∴，， ∵正方体的体积为8， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023·江苏南京·三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（    ） A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 【答案】C 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论． 【详解】解：当圆柱桶竖直放置时，液面形状为圆形，故选项A不符合题意； 当圆柱桶水平放置时，液面为矩形，故选项B不符合题意； 无论圆柱桶怎样放置，圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面，故选项C符合题意； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆柱的结构特征．关键是理解用平面去截圆柱体，所得到截面. 3．（2023·江苏南京·二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论． 【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知： A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确； B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确； C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确； D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键． 4．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③． 【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现； ②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现； ③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（2023·江苏无锡·一模）如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是（    ） A．①⑦ B．②④ C．①③ D．④⑥ 【答案】C 【分析】分别求出各部分的面积即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴正方形的边长为． ∴对角线的长为， ∴①、②的直角边长为， ③、④、⑤、⑥在对角线上的边长为， ③的斜边为， ⑦的直角边长为2， ∴ ， ， ， ∴面积之和为5的是①③，①⑤，②③，②⑤． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的意义，以及勾股定理等知识，求出各部分的面积是解答本题的关键． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键． 如详解中的辅助线作图法，可证，并设，然后将相关线段都用m与t的代数式表示出来，再证得出比例式然后可得，可求得m的最大值，从而可求得的最大值为 【详解】如图，自C点作延长线的垂线，垂足为点M；自，垂足为点N． 设，由题意可知，， ∴，， ∵ ∴，则， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， 即 即的最大值为， ∴， ∴ 即的最大值为 即直线之间距离的最大值为 故答案为： 7．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点N， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 或（小于零舍掉）， ，即， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2023·江苏南京·二模）把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是、，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．    【答案】或 【分析】根据正三棱锥的展开图的特征可进行求解． 【详解】解：根据题意可知剪开的另一条棱是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查几何体的展开图，解题的关键是熟知正三棱锥的展开图． 9．（2023·江苏泰州·三模）已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则 °    【答案】 【分析】根据入射角等于反射角得出，，由得出，得出，即可得答案． 【详解】解：∵入射角等于反射角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是平行线的性质，熟知入射角等于反射角和掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023·江苏无锡·三模）下列命题中，真命题有 ．(请填写命题前的标号) ①有公共顶点的两个角是对顶角；②三角形中最大的内角是直角；③有一个角是直角的菱形是正方形；④两直线平行，同旁内角互补． 【答案】③④/④③ 【分析】根据对顶角定义，三角形分类，正方形判定，平行线性质逐项判断． 【详解】解：有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故①是假命题； 三角形中最大的内角不一定是直角，故②是假命题； 有一个角是直角的菱形是正方形，故③是真命题； 两直线平行，同旁内角互补，故④是真命题； ∴真命题有：③④； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 11．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧； ②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）①根据并联电路电阻公式，即可解答； ②过点作的平行线，交于点，证明为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答； （2）过点作的平行线，交于点，得到与的关系，利用相似三角形的性质，即可解答； （3）过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，得到求得的长，利用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧， 故答案为： 证明：②如图1，过点作的平行线，交于点， ，是的角平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 可得， , 故；    （2）解：如图2，过点作的平行线，交于点，    同上述原理可得，， ， 可得， 即， 整理后可得， 即， ； （3）解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，    同上述原理可得，， ， ， 可得， 即， 整理后可得， 即． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）   【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，小明通过探究得到、，存在某种数量关系，具体探究过程如下： 【探究问题】小明将图1“特殊化”，如图2所示，当点在的延长上，请直接写出此时、数量的关系为__________； 【解决问题】小明在探索中发现，将绕点旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小明完成解答过程； 【扩展应用】如图3，和均为等腰直角三角形，，点在上，试问：是否存在有最小值？若没有，请说明理由；若有，请直接写出最小值． 【答案】[探究问题]；[解决问题]见解析；[扩展应用] 【分析】[探究问题] 先证明四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形的判定与性质证明是等腰直角三角形，进而得到即可求解； [解决问题]先根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； [扩展应用]先由特殊位置得到点M的运动轨迹：当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接，利用等腰直角三角形的性质推导出点M在与直线成的线段上运动，由于，则延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：[探究问题] 如图，过A作于F，    ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 故答案为：； [解决问题] 如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，则， ∴； [扩展应用] 解：如图，当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接，    ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 则点B、C、共线， ∴，， ∴， ∴点M在与直线成的线段上运动， ∵， 故延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的性质寻找线段间的数量关系，找到点M的运动路线是解答的关键． 13．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得； (2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据轴对称的性质，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，点即为所求； ∵点、关于直线对称， ∴， 又∵， ∴； （2）如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，则点即为所求． ∵点、关于直线对称， ∴，， ∵为直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图、轴对称的性质、对顶角、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 14．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P． (1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）； (2)若正方形的边长为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，即为弦的中点，利用正方形性质、平行线性质、垂径定理即可证明为弦的中点； （2）连接，，利用平行线分线段成比例得到，设，利用勾股定理表示出，，，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作交于点， 即为弦的中点， 证明如下： 四边形为正方形， ， ， ，即， ， 即为弦的中点； （2）解：连接，， 正方形的边长为4， ，， 与相切于点P． ， ， ， ， ， 设， 则，，， 为的直径， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、平行线性质、垂径定理、平行线分线段成比例、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键． 15．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G． (1)若点G与点O重合，则 ； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）当点G与点O重合时，则，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，而，可得，则，从而可得答案； （3）过作于，过作于，可得，，，证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴点G与点O重合时，， ∴， ∴反比例函数为：； （2）由题意得、 ∴CE=；CF=； ∴， ， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，而 则， 过作于，过作于， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数解析式，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键． 16．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案） (3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，理由见解析． 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的表达式． （2）通过设设与相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M，，根据抛物线的解析式即可求出点根据点及正切函数的概念即可求出，即可得到，即可得出，即可判断出，即可得出，即可判断出点D在上，根据抛物线的对称轴垂直平分线段，即可判断出点M在抛物线的对称轴上，根据抛物线的解析式即可求出抛物线的对称轴为直线，通过设点，根据圆的半径相等即可建立关于m的方程，解方程，即可求出点，即可求出圆的半径，根据点D在直线上即可得出答案． （3）由平移的性质得出的解析是为，由点A的平移得出，由待定系数法求出直线的解析式，设点，作交x轴于点，，由平行的性质得出，则，即 ，代入得出，由点F在上，得出，代入即可得出m的一元二次方程，解方程并结合条件即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得∶ 解得∶， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，设与相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在上， ∵抛物线的对称轴垂直平分线段， ∴点M在抛物线的对称轴上， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵点D在直线上， ∴点． （3）∵向右平移个单位得到抛物线， ∴的解析是为， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则． 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点， 作交x轴于点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得： ∴， ∵点F在上， ∴， 把代入得：， 整理得：， 解得：或， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定以及性质，平行线的性质，正切的定义，两点之间的距离公式，平移的性质等知识，掌握这些性质以及定义是解题的关键． 17．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在中，，且边上有一点D． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的角平分线，交边点E； ②作，其中点F在边上； (2)在（1）的条件下，若，，点D在边上运动，则面积的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查尺规基本作图，角平分线的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积．利用面积法求解是解题的关键． （1）①利用尺规基本作图-作已知角的平分线，作出图形即可； ②利用尺规基本作图-经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可． （2）根据，当时，值最小，此时，值也最小，所以此时面积的最小，利用解平分线性质得出，设，根据，即，求解得h值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，就是所求； ②如图所示，就是所求． （2）解：∵ ∴当时，值最小，此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴值最小， ∴此时，面积，如图， ∵平分， ∴， 设， ∵ ∴ 即 解得：， ∴ ∴面积的最小值为：． 18．（2023·江苏南京·二模）三角尺是几何学习中常用的学具． 【重温旧知】 (1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的和，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______；图②中，的度数是______°，三角尺的直角边和三角尺的直角边之间的数量关系是______；图③中确认弦是圆的直径的定理是______．    【探索研究】 (2)如图④，将图②中的一副三角尺和叠放在一起，使得点，分别在，边上，我们在同一平面内研究下面两个问题． ①当时，求的值； ②若的长为，直接写出顶点和的距离的最大值（用含的代数式表示）．      【答案】(1)互补，75，，直径所对的圆周角为直角 (2)①；② 【分析】（1）根据互补的定义，即可得出和的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出；根据，即可得出和之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出弦是圆的直径； （2）①证明，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和中点M，连接点E和中点M，在中，，当点C、M、E在同一条直线上时，，此时最大． 【详解】（1）解：由图可知，三角板的两个直角顶点重合， ∴，则和互补； 由图可知：； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴弦是圆的直径（直径所对的圆周角为直角）， 故答案为：互补，75，，直径所对的圆周角为直角； （2）解：①根据题意可得：， 由（1）可知，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    ②连接点C和中点M，连接点E和中点M， ∵，， ∴， ∵点M为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， 在中，， 当点C、M、E在同一条直线上时，，此时最大， ∴顶点和的距离的最大值．    【点睛】本题主要考查了互补的定义，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，相似三角形对应边成比例，三角形两边之和大于第三边． 19．（2023·江苏盐城·三模）（1）已知：如图，四边形是平行四边形，点A、C在对角线所在的直线上， （填写序号）．求证：；（请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面题目的横线上使之成为真命题，并解答出后面的问题．）    （2）连接，若平分，已知，．求四边形的面积． 【答案】（1）①（或③），证明见解析；（2）96 【分析】（1）添加①，根据可证；添加②，满足，不能证明；添加③，根据可证； （2）连接，连接交于点O，证明四边形是菱形，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：（1）添加①， 证明：四边形是平行四边形， 且， ， ， 在和中， ， ； 添加③， 证明：四边形是平行四边形， 且， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）如图，连接，连接交于点O，    ， ，， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形的面积为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，菱形的面积等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及面积的求法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$