专题08 反比例函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（江苏专用）

专题08 反比例函数 课标要求 考点 考向 1. 结合具体情景体会反比例函数的意义，归纳反比例函数的一般形式； 2. 能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数的表达式； 3. 能利用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的图象和表法是探索并理解其性质； 4. 能用反比例函数解决某些实际问题。 反比例函数 考向一 反比例函数增减性 考向二 反比例函数解析式 考向三 实际问题与反比例函数 考向四 反比例函数与几何结合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数增减性 1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． ►考向二 反比例函数解析式 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． ►考向三 实际问题与反比例函数 1．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 3．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． ►考向四 反比例函数与几何结合 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ． 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ． 7．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为 8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 9．（2024·江苏苏州·一模）如图直线与双曲线相交于点、，点在轴的负半轴上，且，点在双曲线上，线段的中点也在双曲线上，若平分，，则 ． 10．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 12．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 13．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 15．（2024·江苏扬州·二模）【性质认识】 如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______； （2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______． （3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：． 【问题解决】 （4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由． 16．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G． (1)若点G与点O重合，则 ； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 17．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．    (1)若，求点B和点D的坐标； (2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值； (3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由． 18．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 19．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． (1)填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； (2)抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； (3)如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数 课标要求 考点 考向 1. 结合具体情景体会反比例函数的意义，归纳反比例函数的一般形式； 2. 能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数的表达式； 3. 能利用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的图象和表法是探索并理解其性质； 4. 能用反比例函数解决某些实际问题。 反比例函数 考向一 反比例函数增减性 考向二 反比例函数解析式 考向三 实际问题与反比例函数 考向四 反比例函数与几何结合 考点 反比例函数 ►考向一 反比例函数增减性 1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 【详解】解：根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一） ►考向二 反比例函数解析式 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． ►考向三 实际问题与反比例函数 1．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可． 【详解】解：由图象，设， 把代入，得：， ∴， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，； 故答案为：． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 3．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 【答案】64 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． ►考向四 反比例函数与几何结合 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案． 【详解】解：在中，有两点， ∴，， ∴， 故选C 2．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的增减性和图象上点的符号推断求解． 【详解】解：是有函数向上平移个单位得到的， 随的增大而增大， ， 时，， ， 故选：C． 3．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可． 【详解】解：在图象上， ， ， 令， ， △， 与有两个交点， ， ， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， 作于点，作轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， 故选：B． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键． 设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，则 ∴，, ∴， ∵， ∴①， 如图：过A作轴，过B作轴， ∵的面积为4， ∴②， ①、②联立解得：， 经检验符合题意， 所以此函数图像的解析为， 所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为． 故答案为． 5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强. 先设再求出， 根据四边形的面积然后再用配方法解答即可. 【详解】解：设 则 ， 四边形的面积 ， ， ， 当，即 时， 有最小值， 故答案为：. 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E， 则是矩形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则，， ∴，， 又∵点A、点B 正好经过一双曲线， ∴， 解得或（舍去） 故答案为：． 7．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，三角形全等的判定和性质，过点B作轴于点C，过点A作于点D，证明，得出，，设点B的坐标为，，，得出点A的坐标为：，根据点A、B在反比例函数上，得出，求出或，得出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作于点D，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点B的坐标为，，， ∴，， ∴点A的坐标为：， ∵点A、B在反比例函数上， ∴， 整理得：， ∴， 则或， ∵，， ∴舍去， ∴． 故答案为：． 8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作轴于M，轴于N，通过证得得到 ， 设，则利用梯形的中位线定理得到即可得到作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q，此时的值最小，最小值为由 利用勾股定理求得m的值，即可求得) ，得到利用勾股定理求得即可求得点的最小值，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：作轴于M， 轴于N，如图： 在和中， ， 设， 则 ∵ P是的中点， 的横坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， 作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q， 此时的值最小，最小值为 在梯形中，是中位线， 即 解得 ， ∴的最小值为， 故答案为： 9．（2024·江苏苏州·一模）如图直线与双曲线相交于点、，点在轴的负半轴上，且，点在双曲线上，线段的中点也在双曲线上，若平分，，则 ． 【答案】 【分析】先得出，结合角平分线的定义得出，因为以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的，得，再设，则，得证是的中位线，整理出，故 ，再代入化简得，即可作答． 【详解】解：如图：分别过点E，D作，连接 ∵双曲线是中心对称图形且直线与双曲线相交于点、， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴（都是以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的） 设点， 即， ∵点是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵点，点E在双曲线上， ∴，， ∴点E的横坐标为， ∴， 即， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵D在第二象限内， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、几何综合，平行线性质，中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 【答案】（1）；（2） 或；（3）或 【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题． （1）把方程变形为，即可求解． （2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集． （3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为、，对角线为、，对角线为、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由左右同时除以x得，， 所以，， 所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标． 故答案是：． （2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下： 由图可知，直线在双曲线上方时或 ∴不等式的解集为：或； （3）解：∵与y轴交于点B， ∴， 根据题意，设，则， 而， ①若平行四边形对角线为、则的中点即是中点， ∴，方程组无解； ②若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点， ∴，化简整理得，无解； ③若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，如图： ∴， 解得或， ∴或． 综上所述，的坐标为：或． 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】(1) (2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元 【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 12．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答． （2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且 ∴，， 则 则， ∵ ∴ （2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上 ∴ ∵，， ∴ 整理得， ∴ 解得，（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴． ∴ 13．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可； （2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可； （3）①按要求作图即可； ②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则； 证明：，为中线， ， ， ， 又， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， ，即， ； （3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接， 如图所示，即为所求； ②中，，， ， ， ， 的周长， 设，则， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 【答案】(1)； (2) (3)平移的距离为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值； （2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即； （3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直线有唯一一个交点， ∴， ∴； （2）∵的面积为10， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直数有唯一一个交点， ， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴平移前点． ∴， ∴． 平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴， 设点，则， ∵平移，所以， ∴， ∴． ∵点是中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴，解得． ∵， ∴． ∴平移后点， ∴平移的距离为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键． 15．（2024·江苏扬州·二模）【性质认识】 如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______； （2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______． （3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：． 【问题解决】 （4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）借助【性质认识】的结论，可以得到，可以证明四边形为平行四边形，所以，同理，四边形为平行四边形，所以，即，进而求出； （2）仿（1），先证明四边形为平行四边形，所以，同理，可证四边形为平行四边形，所以，所以，进而求出，根据三角函数的定义求得，根据点，都在反比例函数的图象上，即可求出点的坐标； （3）由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，得到，，代入，化简即可求得结论； （4）要证，只需要证明，过作轴于，过作轴于，过作轴于，可得，，由题可得，，关于点成中心对称，所以，又，可证为等腰三角形，所以，因为，所以，因为，所以，所以． 【详解】（1）解：，理由如下： 轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， 四边形是平行四边形， ， 同理，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故答案为：2； （2）解：轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， 四边形为平行四边形， ， 同理，四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为， ， 点的纵坐标为， 点，都在反比例函数的图象上， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：； （3）证明：由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，， ，， ； （4）证明：如图，作直线，交反比例函数图象的另一个分支于点，再连接，交轴于点，则点即为所求． 如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于， 连接，． 函数 的图象与过原点的直线相交于、两点， ，两点关于成中心对称， ， ， 垂直平分， ， ， ∵， ， ∵， ， ． 【点睛】本题是一道反比例函数综合题，考查了学生探究应用的能力，能根据已给的结论去解决问题，对学生的知识迁移能力有一定要求． 16．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G． (1)若点G与点O重合，则 ； (2)连接，求证：； (3)当时，求的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）当点G与点O重合时，则，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，而，可得，则，从而可得答案； （3）过作于，过作于，可得，，，证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴点G与点O重合时，， ∴， ∴反比例函数为：； （2）由题意得、 ∴CE=；CF=； ∴， ， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当时，而 则， 过作于，过作于， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数解析式，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键． 17．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．    (1)若，求点B和点D的坐标； (2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值； (3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值，见解析 【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）将代入反比例函数为，求出点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，即可求解； （2）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D 落在反比例函数图像上，代入反比例解析式即可求解； （3）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解； 【详解】（1）当时，反比例函数为， 若，则将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点 D 的坐标是 ． （2）当时，反比例函数为， 将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D 落在反比例函数图像上， ，化简得，即 解得： ， ． （3）是定值，理由如下： 将代入中，得, 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n， 点D的坐标是， ，， ，， ， ， 为定值. 18．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 19．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示． (1)填空： ①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________； ②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：； (2)抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值； (3)如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______． 【答案】(1)①或； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据“距美函数”的概念得到，当时，代入求解即可；②根据“距美函数”的概念得到，据此即可求解； （2）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分当和，两种情况求解即可； （3）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分顶点在上，顶点在上，经过点时，三种情况讨论，画出图形，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像， 即反比例函数的图像关于直线对称，再向左平移2个单位，函数解析式为， ∴， 当时，或， 故答案为：或； ②直线关于直线对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像， 令，则；令，则， 即直线与的交点为，还经过点， 点关于对称点为， 设经过点和的函数解析式为， 则，解得， 此函数解析式为，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， 由题意得，新抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∴“距美函数”为， ∵当时，， ∴，将代入得， ∴， ∴关于的对称点为， 当，则，解得（舍去）； 当，则当时，， ∴，解得（舍去）或； 综上； （3）解：， 则顶点坐标为，顶点在的图象上， 则新抛物线的顶点坐标为， ∴“距美函数”为， 当顶点在上， 则， ∴， ∴，（舍去）， 此时，有2个交点；当顶点在上，    则， ∴，∴，（舍去）， 此时，有6个交点， ∴当时，恰好有4个交点； 当经过点时，    有6个交点， ∴， 解得， ∴当时，恰好有4个交点； 综上，k的取值范围为或． 【点睛】本题考查了与函数相关的变换，函数图像交点问题，二次函数图像与性质，一次函数图像与性质，反比例函数图像与性质，熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$