精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年高一年级（上）12月考 数 学 试 题 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分.） 1. 函数的定义域是　　 A. B. C. D. 2. 与终边相同的角可以表示为（    ） A B. C. D. 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 4. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数满足，且，则表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分数.） 9. 对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式解集为 D. 函数关于点中心对称 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数图象过定点 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C. 关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是 D. 若，则 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，且均为正数，则的最小值为__________. 13. 若幂函数的图象经过点，则___________. 14. 已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②存在使 ③不等式的解集为 ④关于x的方程的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论的序号是________. 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 17. 已知函数（），． （1）若，记的解集为，求函数（）（为自然对数的底数）的值域； （2）当时，讨论函数的零点个数． 18. 已知函数 （1）求不等式解集； （2）当时，求该函数的值域； （3）若对于任意恒成立，求的取值范围. 19 已知函数，. （1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围； （2）判断并证明函数的奇偶性，并求其值域； （3）对，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年高一年级（上）12月考 数 学 试 题 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分.） 1. 函数的定义域是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得x的取值集合即可得到答案． 【详解】要使原函数有意义，则，，解得：． 函数的定义域为． 故选C． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础的计算题． 2. 与终边相同的角可以表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为的形式，即可选出答案. 【详解】因为，所以与终边相同的角可以表示为. 故选：C． 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 4. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案 【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解. 【详解】要使函数有意义，则有，解得：或， 所以函数的定义域为. 令，开口向上，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，由复合函数的单调性可知： 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数单调递减区间为， 故选：. 6. 若二次函数满足，且，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对任意，可知， 为减函数，再列出不等式可求得a的取值范围． 【详解】由题意，函数对任意的都有成立， 即函数为上的减函数， 可得解得， 故选：A. 8. 对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令得，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，并根据定义得出的解析式，作出函数的图象即可得出答案． 【详解】令得，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点， 若，即，解得. 若，即，解得或.. . 作出函数的图象如下图所示： 如图所示，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的零点个数求参数，解题的关键就是作出函数的图象，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分数.） 9. 对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据得到，再根据不等式的性质即可判断；对B，举反例即可判断；对C，根据不等式的性质即可判断；对D，举反例即可判断． 【详解】对A，若，则有， 所以，故A正确； 对B，当时， 若， 则， 故，故B错误；    对C，若， ， 根据不等式性质有，故C正确； 对D，当时， 若， 则，故D错误. 故选：AC． 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可判断A；由函数的定义域的定义可判断B；对讨论，分，，，可判断C；由函数的图象平移可判断D. 【详解】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，不等式， 当时解集为； 当时解集为； 当时解集为，故C错误； 对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确. 故选：BD. 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数图象过定点 B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C. 关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A. 令，利用指数函数过定点求解判断；B. 设，则，得到，再利用函数是定义在上的偶函数求解判断；C. 令，根据题意，由求解判断；D.令，由在R上是减函数求解判断. 【详解】A. 令，解得 ，所以函数图象过定点，故错误； B. 设，则，所以，又因为函数是定义在上的偶函数， 所以，所以的解析式为，故正确； C. 令，因为关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小， 所以，解得，所以实数的取值范围是，故正确； D.令，易知在R上是减函数，因为，所以， 即，所以，即，故正确； 故选：BCD 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，且均为正数，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求定点坐标，代入直线方程得，再利用“1”的妙用，变形为，展开后利用基本不等式求最小值. 【详解】函数恒过定点，即， 因为均为正数，，当且仅当，即，时，等号成立. 所以最小值为. 故答案为： 13. 若幂函数的图象经过点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以， 故答案为： 14. 已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②存在使 ③不等式的解集为 ④关于x的方程的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论序号是________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据偶函数和单调函数的性质，逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 又，所以，且在上单调，所以在上单调递增，故①错误； 当时，，又函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，必有，故②错误； 当时，因为在上单调递增，且，，所以由；又为偶函数，所以当时，由，所以的解集为：，故③正确； 由或， 由或，即或； 由或，即或. 又，故④正确. 故答案为：③④ 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质计算出结果； （2）根据对数的运算性质以及换底公式计算出结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，再由交集运算即可； （2）由，构造不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， ， 因为“”是“”的充分条件， 所以， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是． 17. 已知函数（），． （1）若，记的解集为，求函数（）（为自然对数的底数）的值域； （2）当时，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】1）当时，求出的解集，函数，再换元，结合二次函数与对数函数的性质求出复合函数的值域． （2），利用分类讨论思想，求出函数的零点个数． 【详解】（1）当时，的解集为． 函数， 当时，令，则，， 所以的值域为． （2）， ①因为， 所以为一个零点，. ， 因为， 所以， 所以， 所以为的一个零点． ②当时，，， 所以在上午零点， ③当时，，在上无零点， 所以在上的零点个数是在上零点个数， 因为， ， ， 若，即时，函数无零点，即在上无零点， 若，即时，函数的零点为，即在上有零点， 若，即时，， 函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点， 综上所述，当时，有个零点， 当，有个零点， 当时，有个零点． 【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型 1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  2、问题中的条件是分类给出的；  3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）当时，求该函数的值域； （3）若对于任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解关于的二次不等式，再解关于x的对数不等式即可； （2）将换元后，求二次函数值域即可； （3）分离变量后求换元之后的新函数最大值即可. 【小问1详解】 ； 由, 即, 计算可得或, 或 故解集为：. 【小问2详解】 , 令,则 , 当时,有最小值, 当时,有最大值5； 所以值域为. 【小问3详解】 令,则, 原式可化为在上恒成立. 记函数在上单调递增, , 故的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围； （2）判断并证明函数的奇偶性，并求其值域； （3）对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）为偶函数，证明见解析，值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）求得二次函数的对称轴，可得或，求解即可； （2）利用奇偶性的定义可证明； （3）求得函数，所以只需，分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 ，对称轴为， 要使函数在上为单调函数，所以或，解得或， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 函数为偶函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， ，当且仅当，即时取等号， 所以； 【小问3详解】 由（2）得， 当时，在上单调递增， 所以，所以，值域为， 又对，，使得，所以， 所以，解得，满足，所以； 当时，，显然，故； 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得，又，所以； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $