第十五章 分式单元测试-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

试卷05 分式单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列式子：，，，，，，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是 目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将 0.00000000034用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列等式中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 4．解方程去分母，两边同乘后的式子为（　　） A． B． C． D． 5．下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60 页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为 （　　） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（　　） A． B． C． D．2 10．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“﹣”号，并求和的绝对 值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，|，…．下列说法： ①对于“绝对和差操作”，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．若分式有意义，则x应满足的条件是 　 　． 12．若分式的值为零，则x的值是 　 　． 13．计算的结果是　 　． 14．如果a，b，c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作， 根据以上规定，求　 　． 15．已知，则的值为 　 　． 16．某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检3km， A型机器人巡检75km所用时间与B型机器人巡检60km所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 　 　km． 17．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　． 18．正数a，b，c，d满足，， 则　 　． 三．解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．计算： （1）； （2）． 20．计算： （1）； （2）． 21．解方程： （1）； （2）． 22．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 23．已知分式． （1）化简这个分式； （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值． 24．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等 纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内 表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气 原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了27元，但只比上周多买了3斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，该校参加生物实验的同学共720人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 25．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量 为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 　 　； （2）小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 A / / B a C ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 　 　（用含a的式子表示）． 26．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解： 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求y与x的函数关系式． 解：∵， 又∵，，∴，还要使为整数， ∴，即． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷05 分式单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列式子：，，，，，，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【解析】解：分式：，，，共3个， 故选：B． 2．英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是 目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将 0.00000000034用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：． 故选：C． 3．下列等式中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．，故A不符合题意． B．，故B不符合题意． C．，故C符合题意． D．，故D不符合题意． 故选：C． 4．解方程去分母，两边同乘后的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：解方程去分母，两边同乘后的式子为：， 故选：B． 5．下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．原式，不符合题意； B．原式，不符合题意； C．原式，符合题意； D．原式不能约分，不符合题意． 故选：C． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：． 故选：A． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60 页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页， 那么甲读150页所用的时间为：，乙读200页所用的时间：． 根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”得：． 故选：A． 9．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B． 【解析】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得， 原方程化为：， ， 将代入得：， 解得． 故选：B． 10．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“﹣”号，并求和的绝对 值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，|，…．下列说法： ①对于“绝对和差操作”，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴原式，故①正确． ②举例：， 即至少存在一种“绝对和差操作”使花间后的结果为常数，故②正确； ③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况， 则组合的可能有：（种）， 又∵， ∴至少有两种情况的结果相同， ∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误． 故正确的选项有2个． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．若分式有意义，则x应满足的条件是 　 　． 【答案】． 【解析】解：由分式有意义的条件可知：， ∴， 故答案为：． 12．若分式的值为零，则x的值是 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 13．计算的结果是　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 14．如果a，b，c是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作， 根据以上规定，求　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，记作，， ∴． 故答案为：． 15．已知，则的值为 　 　． 【答案】14． 【解析】解：要使有意义，， ∵， ∴， ∴方程两边都除以x，得， ∴， 故答案为：14． 16．某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检3km， A型机器人巡检75km所用时间与B型机器人巡检60km所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 　 　km． 【答案】15． 【解析】解：设A型机器人每小时巡检线路x km，则型机器人每小时巡检线路km， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即A型机器人每小时巡检线路15km， 故答案为：15． 17．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　． 【答案】． 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵解集为， ∴， ∴； 分式方程两边都乘以得：， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数， ∴，a为偶数， ∵， ∴， 综上所述，且且a为偶数， ∴符合条件的所有整数a的数有：，0， 和为． 故答案为：． 18．正数a，b，c，d满足，， 则　 　． 【答案】． 【解析】解：因为， 所以可变形为 ， 即， 所以， 所以． 故答案为：． 三．解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式． 20．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2） 原式． 21．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）该分式方程无解． 【解析】解：（1）原分式方程整理得， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）原分式方程去分母得， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 22．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】． 【解析】解： 由可得该不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：、0、1、2， 当，0，1时，分式无意义， ∴， ∴把代入得：原式． 23．已知分式． （1）化简这个分式； （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值． 【答案】（1）；（2）分式B的值较原来分式A的值是变小了，理由见解析；（3）0、3、4、6、． 【解析】解：（1）． （2）∵，A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴分式B的值较原来分式A的值是变小了． （3）是整数，a也是整数， 所以是4的因数， 所以，，， ∴，1，4，0，6，． 因为，不符合题意， 所以所有符合条件的a的值为0、3、4、6、． 24．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素C、叶酸、锌、硒等 纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内 表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气 原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了27元，但只比上周多买了3斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，该校参加生物实验的同学共720人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）上周生物老师买的洋葱单价为每斤元；（2）生物老师至少应再买3斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 【解析】解：（1）设上周洋葱单价为每斤x元，则本周洋葱单价为每斤元， ∴， ∴， 经检验：是分式方程的解， 答：上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； （2）解：设生物老师再买a斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用， ∴， 解得：， 答：生物老师至少应再买3斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 25．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量 为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 　 　； （2）小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 A / / B a C ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 　 　（用含a的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；②方案C的最终过滤效果最好；（3）为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为． 【解析】解：（1）水中的杂质含量为， ∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ， 故答案为：． （2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：； ②， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴方案C的最终过滤效果最好； （3）将第一次净水材料用量定为时，第二次过滤后水中杂质含量为； 将第一次净水材料用量定为时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为时相同； 将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为时相同； ∵在将第一次净水材料用量定为、、时，的最终过滤效果最好， 同理，可得， ∴将第一次净水材料用量定为时，其最终过滤效果最好， ∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为． 故答案为：． 26．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解： 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求y与x的函数关系式． 解：∵， 又∵，，∴，还要使为整数， ∴，即． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 【答案】（1）；（2）2或4或或16；（3），或，或，． 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， ∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， 解得：或4或或16， 故答案为：2或4或或16； （3） ， ∵整数能被33整除， ∴为整数，即，（k为整数）， ∵，， ∴， ∴或66或99， 当时， ，； 当时， ，； 当时， ，； 综上，，或，或，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$