精品解析：浙江省杭州市部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题

2025届高三部分学校第一学期期末联考 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，且，则等于（ ） A. －3或－1 B. -3 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2. 已知复数z与复平面内的点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，由复数的除法运算法则即可得结果. 【详解】由复数的几何意义可知，则． 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果. 【详解】由，得. 故选：D 4. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件等式得到，由向量夹角的计算公式和等式化简得到，从而得到向量之间的夹角. 【详解】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 故选：A. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”，由古典概型概率公式求得则，，再由条件概率计算公式即可求解； 【详解】设事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”， 由题意可得：，， 所以． 故选：B． 7. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 8. 已知当时，函数取得最大值2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 10. 已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意直线，均有 B. 不存在直线，满足 C. 对于任意直线，直线与抛物线相切 D. 存在直线，使 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断． 【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点， 由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确； 对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则， ，， 由，得， 解得，，又，，故，，， 可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确； 对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则， 直线的方程，与抛物线方程联立可得：， 又，代入整理得， 则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确； 对于选项D，设的方程，联立，则，所以，， 由， 而，由，得，解得：， 故，所以，所以选项D错误， 故选：AC． 【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 11. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（ ） A. 平面ACD B. 平面ABC C. O到AC的距离为 D. 二面角的正切值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设的中心为G，过点G作直线平面ABC，利用线面垂直的性质定理、判定定理得出球心，从而可判断A、B; 连接OH，得出面面角，从而判断A、D. 【详解】 设的中心为G，过点G作直线平面ABC， 则球心O在上.由M为AC的中点，得. 因为.所以平面BDM，则， 所以，所以，所以，，所以， 所以，可得平面ACD， 所以球心O在直线MB上，因此O与G重合.过M作于H， 连接OH，则，从而为二面角的平面角. 因为，， 所以O到AC的距离为，且. 故选：AD 三、填空题（共15分） 12. 设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有1个实数根转化为函数与直线的图象有且只有一个交点，数形结合即可求解. 【详解】方程有且仅有1个实数根， 即函数与直线的图象有且只有一个交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象可得. 故答案为：. 13. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案为：3. 14. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 根据相互独立事件的概率公式可得， ， 则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为， 且互斥，故 ， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：在中，内角所对的边分别为，，，，，且_____________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算可得.选择条件①：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理运算求解；选择条件②：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理运算求解； 【详解】因为，可知角A是钝角， 又因为，则，可得. 选择条件①： 因为，即， 化简得，即， 由正弦定理得. 由，解得， 由余弦定理可得，所以. 选择条件②： 因为，由正弦定理可得， 整理可得，即. 由正弦定理得，由，解得， 由余弦定理可得，所以. 16. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）证明如下： 由（1）知，，， ， . 【解析】 【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【答案】（1） 证明：取的中点，连，， 为的中点，且， 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 故直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先取的中点，连接，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故， 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得， 故是的中点， 因此 18. 已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）． 条件①：；条件②：． 问题： （1）求曲线的方程； （2）是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意表示斜率并化简即可得到答案； （2）若选择条件①：当直线斜率存在时，设，，，直线方程与曲线方程联立，运用韦达定理结合得到，进而化简得到；当斜率不存在时，得到，进而得到即可； 若选择条件②：当直线斜率存在时，设，，，直线方程与曲线方程联立，运用韦达定理结合得到，进而化简得到；当斜率不存在时，得到，进而得到即可. 【小问1详解】 若选条件①：点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． 若选条件②：设点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． 【小问2详解】 若选条件①：（ⅰ）若直线的斜率存在，设， 由，得， 则，即， 设，，则，． 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得． ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以． （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则． 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点． 且． 若选条件②：（ⅰ）若直线的斜率存在， 设，由 得， 则，即， 设，，则，． 因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得． ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以． （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则． 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点． 且． 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果； （2）将问题转化为有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的一元二次不等式恒成立，由判别式得到关于的不等式，求解得到结果； （3）利用已知得到，根据对勾函数的性质求得最值即可得到所求范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. 【小问3详解】 ∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查了函数问题中的新定义问题，搞清楚不动点是方程的根，不动点的个数即为方程的根的个数，从而构造方程在求解参数范围的过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数，对勾函数求解对应模型的最值.对于转化与化归的思想要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三部分学校第一学期期末联考 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，且，则等于（ ） A. －3或－1 B. -3 C. 1 D. 3 2. 已知复数z与复平面内点对应，则（ ） A. B. C. D. 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 10 6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 的最大值为 D. 8. 已知当时，函数取得最大值2，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得图象 10. 已知抛物线 焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意直线，均有 B. 不存在直线，满足 C. 对于任意直线，直线与抛物线相切 D. 存在直线，使 11. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（ ） A. 平面ACD B. 平面ABC C. O到AC的距离为 D. 二面角的正切值为 三、填空题（共15分） 12. 设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是_______． 13. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 14. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为______. 四、解答题（共77分） 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：在中，内角所对的边分别为，，，，，且_____________，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． （1）若是的中点，求证：直线平面； （2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 18. 已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）． 条件①：；条件②：． 问题： （1）求曲线的方程； （2）是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $