第07讲 三角形的中位线（4大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

第07讲 三角形的中位线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并掌握三角形中位线的概念、性质； 2.会利用三角形的中位线的性质解决有关问题； 3.经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法． 知识点、三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型、三角形的中位线 考点1、与三角形中位线有关的求解问题 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是、的中点，，则的长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 考点2、三角形中位线与三角形面积问题 4．（21-22八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 5．（19-20八年级下·江苏连云港·期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为 ． 6．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 考点3、与三角形中位线有关的证明 7．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 8．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． (1)求证：线段、互相平分； (2)四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 考点4、三角形中位线的实际应用 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取，的中点D，E，连接，则他只需测量（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出长为，由此可知A，B间距离＝ ． 12．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 一、单选题 1．如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 2．如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 4．顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．平行四边形 5．将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为4a，且有一个内角是45度，则阴影部分的面积总和等于（　　）    A． B． C． D． 6．如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 7．如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（   ） A． B．四边形是菱形 C．对角线 D． 9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为（    ） A．4 B．3 C．8 D．5 10．如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（    ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 11．已知梯形的上底长是，中位线长是，那么下底长是 ． 12．如图，在中，、分别为、的中点，且的面积为，则的面积是 ． 13．如图，与关于点C成中心对称，点M、N分别是、的中点，若，则    14．如图，△ABO中，AO＝AB，点B(10，0)，点A在第一象限，C，D分别为OB、OA的中点，且CD＝6.5，则A点坐标为 ．   15．在中，平分于点是的中点，，则的长度是 ． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点为中点，若，，则菱形的面积为 ． 17．如图，依次连接第一个矩形各边中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2022个矩形的面积为 ． 18．如图，等边边长为2，点D为边延长线上一动点，，，点F是线段的中点，连接． （1）用等式表示线段和的数量关系为： ； （2）线段长度的最小值为： ． 三、解答题 19．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 20．用一把刻度尺（可测长度、可画直线）画边长为的菱形． (1)如图1，小明的画法如下： ①画等腰三角形，使； ②量取的中点，画射线； ③在射线上量取点，使； ④连接，，得到四边形． 小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由． (2)如图2，在等腰三角形中，，请你在等腰三角形中，设计一种画法（与小明的画法不同），画出一个边长为的菱形，写出简要步骤，并说明理由． 21．如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于，两点，设，两点间的距离为，、两点间的距离为．小明尝试结合学习函数的经验，对函数随的变化的规律进行了探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）列出表格：如表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：请通过计算，补全表格： 0 0.3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0 3.5 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 　　 2.9 2.8 2.7 2.6 2.8 3.2 3.3 3.9 5.2 6.0 6.7 7.3 7.5 8.9 （2）描点连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象； （3）观察图形：点，，，，，在函数的图象上，则　　，　　．（填“”“”或“”）． （4）得出性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：　　； （5）拓展应用：当时，的长度是　　（精确到）． 22．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 23．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： (1)若，，，公园的面积为 　　； (2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； (3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 24．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 25．如图，，，点，分别在边，上，点为中点． (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长． 26．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB=0.5km，AC=1.2km，BD=1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： （1）公园的面积为　　　　km2； （2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； （3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形的中位线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并掌握三角形中位线的概念、性质； 2.会利用三角形的中位线的性质解决有关问题； 3.经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法． 知识点、三角形的中位线 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型、三角形的中位线 考点1、与三角形中位线有关的求解问题 1．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是、的中点，，则的长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．由三角形中位线定理可求，由菱形的性质可得，此题得解． 【详解】解：由题意可知，是的中位线， ∴． ， 四边形是菱形， ． 故选：C． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形 【答案】6 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 【详解】证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 考点2、三角形中位线与三角形面积问题 4．（21-22八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图所示，已知矩形，点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动，点G、H分别是、的中点，当那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少 C．与的面积和逐渐变大 D．与的面积和不变 【答案】A 【知识点】三角形中位线与三角形面积问题 【分析】连接CF，利用中位线的性质可证GH=，因为CF逐渐增大，所以GH逐渐增大，可判断A正确、B错误；连接BE将四边形EFBC分为和，因为和矩形ABCE面积不变，与的面积和等于矩形ABCE面积-四边形EFBC面积，所以通过判断面积变化情况可判断C、D． 【详解】连接CF，如图： ∵点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大， ∵BC不变，， ∴CF逐渐增大， ∵点G、H分别是、的中点， ∴GH是△EFC的中位线， ∴， ∴线段GH的长逐渐增大， 所以A正确，B错误； 连接EB，如图: ∵点E在边上从点A向点D移动，点F在边上从点B向点A移动， ∴BF在逐渐增大，AE逐渐增大， ∴， ∴逐渐增大， ∵在△EBC中，底BC和高都不变， ∴S△EBC不变， ∴S四边形EFBC=+S△EBC逐渐增大， ∵=S矩形ABCE- S四边形EFBC， S矩形ABCE不变， ∴逐渐减小， ∴C、D错误， 故选 A． 【点睛】本题考查三角形，熟练掌握三角形中位线性质和面积公式，灵活作辅助线对所求证目标进行巧妙转换是解题关键． 5．（19-20八年级下·江苏连云港·期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为 ． 【答案】（也可写成或） 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、根据矩形的性质与判定求面积、三角形中位线与三角形面积问题 【分析】由题意可得，第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依次类推，第n个矩形的面积为，将2020代入n，即可解决本题． 【详解】解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为； 第三个矩形的面积为； 故第n个矩形的面积为：； 所以第2020个矩形的面积为：=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理以及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题型，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解题的关键． 6．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【知识点】三角形中位线与三角形面积问题、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据三角形中位线定理可得，同理可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）连接，先根据三角形中位线定理可得，根据同底等高可得，同理可得，从而可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后利用同样的方法即可求出四边形的面积． 【详解】证明：（1）分别是的中点， ， 同理可得：， ， 四边形是平行四边形； （2）如图，连接， 分别是的中点， ， （同底等高）， 同理可得：， ， 又是的中点， ， （等底同高）， ， 同理可得：， 即四边形的面积为4． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键． 考点3、与三角形中位线有关的证明 7．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，， ∴； 同理，，， ∴四边形是平行四边形； A、若，得不到，则，不能证明四边形是菱形，故本选项错误； B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误； C、若对角线时，得不到，则，不能证明四边形是菱形；故本选项错误； D、当时，则；所以平行四边形是菱形；故本选项正确； 故选：D． 8．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】利用菱形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是正方形 【分析】此题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，再根据正方形的判定即可求解． 【详解】解：添加的条件应为：且． 理由：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形， 又， ， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 故答案为：且． 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点． (1)求证：线段、互相平分； (2)四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． （1）连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形，根据菱形的性质定理证明即可． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵点E、F分别是线段、的中点， ∴，， ∵点G、H分别是线段、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴线段、互相平分； （2）解：当时，， 理由如下：∵点G、F分别是线段、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 考点4、三角形中位线的实际应用 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取，的中点D，E，连接，则他只需测量（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形的中位线是解题的关键．根据三角形中位线可进行求解． 【详解】解：连接， ∵取，的中点D，E， ∴， ∴要测量B、C两地的距离，只需测量的长， 故选：B． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出长为，由此可知A，B间距离＝ ． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】此题考查了三角形中位线定理，证明是的中位线，则，即可得到答案． 【详解】解：∵的中点分别为M，N， ∴是的中位线， ∴ ∴， 即A，B间距离为， 故答案为： 12．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 一、单选题 1．如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC＝， ∵AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、与三角形中位线有关的求解问题、三线合一 【分析】根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，问题随之得解． 【详解】∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C，D分别是，的中点，P是上一动点，则的最小值是（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题)、与三角形中位线有关的证明 【分析】如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点，由对称知，，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，取最小值；由中位线定理，，，中，，． 【详解】解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接，连接，交y轴于点．由对称知，， ∴，当三点共线时，，取最小值，    ∵C，D分别是，的中点 ∴， ∴ 中， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，运用轴对称知识作出辅助线，将求线段和最小值转化为求线段长是解题的关键． 4．顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．平行四边形 【答案】C 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，同理可证，，可知当时，四边形为菱形． 【详解】解：如图    连接、， 、、、分别是四边形各边中点， ，， 即，，， 同理可证，， 当时，， 即，四边形是菱形， 即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形， 故选：． 【点睛】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理是解此题的关键． 5．将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为4a，且有一个内角是45度，则阴影部分的面积总和等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】先通过菱形的性质和三角形的中位线定理求得一个阴影菱形的边长，由勾股定理计算菱形的高，再计算2022个阴影菱形的面积总和便可． 【详解】解：根据题意知，将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2022个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致， 如图，过点E作交于点H， 由题意知，，，，        由菱形的对角线平分一组对角可知， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴一个阴影菱形的面积为：， ∴2022个阴影菱形的周长和为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，菱形的面积计算，关键是求出阴影菱形的边长和个数． 6．如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理． 连接交于点，连接，由当时，的值恒等于1，推出点的运动路径是的中位线，则可得到，再由当时，，求出，由菱形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接交于点，连接，如图，    由题意知，当时，的值恒等于1， ∴． ∴点的运动路径是的中位线，且． ∵当时，， ∴． 由菱形的性质可得， ， ， ， ， 故选：A． 7．如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、三角形中位线的实际应用 【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果． 【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设 ∵点是中点， ∴EM是的中位线， 四边形是菱形， ，∠AMD=90°， ， ∴DM=， ∴AM= 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 8．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（   ） A． B．四边形是菱形 C．对角线 D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG； 同理，HE∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形； A、若，得不到AD＝BC，则GH≠GF，不能证明四边形EFGH是菱形，故本选项错误； B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误； C、若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误； D、当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为（    ） A．4 B．3 C．8 D．5 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC==6， ∵D、E分别为AC、AB中点， ∴DE=BC=3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，在中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且．若，则AB的长为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质 【分析】延长CA到F点，使AF=AB，连接BF，可证得△ABF为等边三角形，E为FC中点，DE为△BCF的中位线，据此即可求得． 【详解】解：如图，延长CA到F点，使AF=AB，连接BF， ， ， 又∵AF=AB， ∴△ABF为等边三角形， ∴AB=AF=BF， ∵AB+AE=EC， ∴AF+AE=EC，即EF=EC， ∴E为FC中点， ∵D为BC中点， ∴DE为△BCF的中位线， ∴BF=2DE， ∵DE=2， ∴AB=BF=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，作出辅助线是解决本题的关键． 二、填空题 11．已知梯形的上底长是，中位线长是，那么下底长是 ． 【答案】9 【知识点】梯形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底． 【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm． 故答案为9． 【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半． 12．如图，在中，、分别为、的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】先根据D点是BC的中点，E点是AC的中点，得出S△ADE=×S△ABC，即可得出答案． 【详解】∵D点是BC的中点， ∴S△ABD=S△ADC=S△ABC， ∵E点是AC的中点， ∴S△ADE=S△DCE=S△ADC=×S△ABC ∵S△ABC=16， ∴S△ADE=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，得出S△ADE=×S△ABC是解题关键． 13．如图，与关于点C成中心对称，点M、N分别是、的中点，若，则    【答案】8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称图形的性质及三角形中位线的性质，根据中位线的性质得，再根据中心对称图形的性质得，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：点M，N分别是，的中点，且， ， 与关于点C成中心对称， ， 故答案为：8． 14．如图，△ABO中，AO＝AB，点B(10，0)，点A在第一象限，C，D分别为OB、OA的中点，且CD＝6.5，则A点坐标为 ．   【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、三线合一、坐标与图形 【分析】连接AC，由题意易得AC⊥OB，OB=10，BC=5，然后根据三角形中位线及勾股定理可求解． 【详解】解： 连接AC，如图所示： AO＝AB，点B(10，0)，C，D分别为OB、OA的中点，CD＝6.5， AC⊥OB，OB=10，BC=OC=5，AB=2CD=13， 在中，， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查求点的坐标、三角形中位线、等腰三角形的性质及勾股定理，关键是利用等腰三角形的性质及三角形中位线得到线段的等量关系，然后利用勾股定理求解点的坐标即可． 15．在中，平分于点是的中点，，则的长度是 ． 【答案】12或8 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理；如图，分两种情况：在内部时；在外部时；证明，得，再由E为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：当在内部时，如图；延长交于F， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点D为的中点， ∵E为中点，且， ∴， ∴； 当在外部时，如图，延长交延长线于F； 同理得， ∴， 即点D为的中点， ∵E为中点，且， ∴， ∴； 综上，的长为12或8． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点为中点，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后利用勾股定理可得，最后利用菱形的性质求面积即可得． 【详解】解：四边形是菱形，且， ， 点为中点，且， ， ， 菱形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 17．如图，依次连接第一个矩形各边中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2022个矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积、图形类规律探索 【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为． 【详解】解：如图，设矩形的面积为1，菱形的四个顶点分别是，，，的中点，矩形的四个顶点分别是，，，的中点，连接，，设，，则， ∴，， ∵矩形的四个顶点分别是，，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，， ∴矩形的为，即后一个矩形的面积是前一个矩形的面积乘以， ∴第二个矩形的面积是， ∴第三个矩形的面积是， …… ∴第个矩形的面积是， ∴第个矩形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目．此题要明确矩形四边的中点组成的四边形是菱形，菱形四边的中点组成的四边形是矩形，并熟练掌握矩形的面积为两邻边的积．明确后一个矩形的面积是前一个矩形的面积的是解题的关键． 18．如图，等边边长为2，点D为边延长线上一动点，，，点F是线段的中点，连接． （1）用等式表示线段和的数量关系为： ； （2）线段长度的最小值为： ． 【答案】 / 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形 【分析】（1）延长至点M，使，连接、，先证明，得出，则，再证，得，据此即可求解； （2）连接，取的中点N，作射线，先由等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得出点F的轨迹为射线，且，当时，最短，然后由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长至点M，使，连接、， ∵点F是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：； （2）如图2，连接，取的中点N，作射线， ∵，， ∴， ∵点N是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F的轨迹为射线，且， 当时，最短， ∵， ∴， 在，， ∴， ∴线段长度的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形和判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，是解题的关键． 三、解答题 19．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，的中点为D、E． ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H、F分别是和的中点，， ∴，， ∴三点共线， ∵点H、E分别是和的中点，， ∴， ∴． 20．用一把刻度尺（可测长度、可画直线）画边长为的菱形． (1)如图1，小明的画法如下： ①画等腰三角形，使； ②量取的中点，画射线； ③在射线上量取点，使； ④连接，，得到四边形． 小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由． (2)如图2，在等腰三角形中，，请你在等腰三角形中，设计一种画法（与小明的画法不同），画出一个边长为的菱形，写出简要步骤，并说明理由． 【答案】(1)符合，理由见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了菱形的判定与刻度尺作图结合，还涉及了中位线，熟练掌握菱形的判定及中位线性质是解题关键． （1）先利用对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再判定四边形是边长为的菱形； （2）分别取，，的中点，，，连接，，利用中位线判定四边形是边长为菱形． 【详解】（1）解：符合． 理由如下：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是边长为的菱形； （2）如图，分别取，，的中点，，，连接，，则四边形即为所求作的菱形． 理由如下：∵，，分别是，，的中点， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是边长为菱形． 21．如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于，两点，设，两点间的距离为，、两点间的距离为．小明尝试结合学习函数的经验，对函数随的变化的规律进行了探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）列出表格：如表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：请通过计算，补全表格： 0 0.3 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0 3.5 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 　　 2.9 2.8 2.7 2.6 2.8 3.2 3.3 3.9 5.2 6.0 6.7 7.3 7.5 8.9 （2）描点连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象； （3）观察图形：点，，，，，在函数的图象上，则　　，　　．（填“”“”或“”）． （4）得出性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：　　； （5）拓展应用：当时，的长度是　　（精确到）． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3），；（4）时，随增大而减小，当时，随增大而增大；（5）1.3或4.0 【知识点】三角形中位线的实际应用、函数的三种表示方法、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】（1）当时，则； （2）根据表格中的数据依次描点连线即可得到函数图象； （3）从图象可以看出：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，由此可得答案； （4）从图象可以看出：当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，由此可得答案； （5），即，在上图中作直线，结合函数图象即可求解． 【详解】解：（1）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取AB的中点F，连接DF， ∵点为的中点，点F为AB的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴点E与点F重合， ∴点E为AB的中点，是的中位线， ∴， 故答案为：3； （2）函数关于的图象如下图所示， （3）从图象可以看出：，， 故答案为：，； （4）从图象可以看出：当时，随增大而减小， 当时，随增大而增大（数值是估值，不唯一）， 故答案为：时，随增大而减小，当时，随增大而增大（数值是估值，不唯一）； （5），即， 在上图中作直线， 由图象可知：直线与曲线交点的横坐标约为1.3和4.0， 故答案为：1.3或4.0． 【点睛】本题为动点问题的函数图象，涉及到三角形的中位线定理，函数作图等，此类题目难点在于弄懂x、y 代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据． 22．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形中位线的实际应用、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 23．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： (1)若，，，公园的面积为 　　； (2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； (3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 【答案】(1) (2) (3)万元 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，， ，， 在中，过点作于点，如图： ，，， ， ， ， ； 公园的面积为； 故答案为：． （2）解：连接、，如图： 在中，， ， ， ，，， ， ， ． 种植郁金香区域的面积为． （3）解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处， 此时即为取最小值，过作于点，如图： ，， 为的中位线， ， 四边形和四边形均为平行四边形， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ， 、、和的最小值为：， 投入资金的最小值为：万元． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大． 24．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、确定第三边的取值范围、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系． 25．如图，，，点，分别在边，上，点为中点． (1)请直接写出线段与的关系； (2)连接，将绕点逆时针旋转至如图位置，（1）中结论是否成立？请说明理由； (3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【知识点】根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）设交于，由，点为中点，得，，根据，即得，，由，可得，故； （2）延长到，是，连接，由是的中位线，得，证明，即得，再证明，可得； （3）由，得，，分两种情况：当在延长线上时，由勾股定理可得；当在线段上时，可得． 【详解】（1）解：，，理由如下： 设交于，如图： ，点为中点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，理由如下： 延长到，是，连接，如图： 为中点，为中点， 是的中位线， ， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，，； （3）解：， ，， 设， 则由勾股定理得，， 解得：， 当在延长线上时，如图； ， 为中点， ， ， ； 当在线段上时，如图： ， 为中点， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查三角形中的旋转变换，涉及三角形的全等判定与性质，勾股定理的应用，三角形中位线定理的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 26．如图①所示，▱ABCD是某公园的平面示意图，A、B、C、D分别是该公园的四个入口，两条主干道AC、BD交于点O，经测量AB=0.5km，AC=1.2km，BD=1km，请你帮助公园的管理人员解决以下问题： （1）公园的面积为　　　　km2； （2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN、MN、CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O、B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积； （3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值． 【答案】（1）0.48；（2）0.12km2；（3）（+5）万元． 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、平行四边形性质和判定的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点B作BE⊥OA于点E，由平行四边形的性质得出AB=BO=0.5km，AO=0.6km，运用勾股定理求出BE的长，再运用三角形面积公式求出△AOB的面积，再乘以4即可得解； （2）连接AM、CN，得出S△AMN=S▱ABCD，由平行四边形ABCD的面积为0.48km2可得结果； （3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点，此时点N位于处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过M作MG⊥AC于点G，证明四边形和四边形均为平行四边形，得到，求出MC=可得PC的值， 从而得AN、MN、CM和的最小值为：(+0.5)km，再乘以每千米的费用即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=1.2km，BD=1km， ∴OA=OC=AC=0.6km，OB=OD=BD=0.5km， ∴在△AOB中，过点B作BE⊥OA于点E，如图： ∵AB=OB=0.5km，OA=0.6km，BE⊥OA， ∴AE=OA=0.3km， ∴BE==0.4km， ∴S△AOB=OA•BE=×0.6×0.4=0.12km2， ∴S▱ABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48km2； ∴公园的面积为0.48km2． 故答案为：0.48． （2）连接AM、CN，如图： ∵在△ACM中，OA=OC， ∴S△COM=S△AOM， ∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN． ∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=BD， ∴MN=MO+ON=OB=BD， ∴S△AMN=S▱ABCD=0.12km2， ∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.12km2， ∴种植郁金香区域的面积为0.12km2． （3）将AN沿MN向下平移0.5km至PM，连接PC交BD于点，此时点N位于处，此时即为AN+CM=PC取最小值，过作于点G，如图： ∵MN=BD=0.5km，   ∴为△APC的中位线， ∴=AP===km， ∴四边形和四边形均为平行四边形， ∴，， ∴，即为OB中点， ∴为中位线， ∵BE=0.4km，OB=0.5km可知， ∴， ∴在中， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴PC=km， ∴AN、MN、CM和的最小值为：(+0.5)km， ∴投入资金的最小值为：10×(+0.5)=(+5)（万元）． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，最短路径问题，三角形中位线的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，学会用转化的思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$