山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2024-2025学年高三上学期（一模）模拟考试数学试卷

2024- -2025学年高三（一模）模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 1、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 2．若，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．事件与互斥 B．事件与相互独立 C. D． 7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（    ）不同的排列。 A．36 B．54 C．60 D．72 8．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． C．若为锐角三角形，则取值范围是 B．若，则只有一解 D．若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．平面四边形中，，将沿折起，使点在平面的射影为的内心，则四棱锥的外接球球心到平面的距离等于 ． 13．若函数在上没有最小值，则的取值范围是 . 14．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．设等差数列的前项和为，已知，为整数，且 . (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 16．如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值. 17．2020年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调查结果对相应学生提出针对性学习建议．现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，然后再从这些学生中抽取10人，进行学情调查． （1）若采用分层抽样抽取10人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数． （2）若被抽取的10人中，有6人每天学时超过7小时，有4人每天学时不足4小时，现从这10人中，再随机抽取4人做进一步调查． （i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，求事件A发生的概率； （ii）用ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在定义域内恒成立． 19．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点. (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C解析：因为或，， 所以或.故选：C. 2．D解析：因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限,故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．D解析：因为，所以，故选：D 4．C解析：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立 反之，当两条直线平行时，有但即或， 时，两条直线都为，重合，舍去 所以“”是“直线和直线平行”的充要条件．故选：． 点睛：本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力． 5．A分析：由在区间上为单调递增函数，可得到，设，利用导数求得函数在单调递增，可得，进而得到，即可求解. 解析：由幂函数的性质可知在区间上单调递增，由于，故，即， 设，可得，令，解得， 当时，单调递增，可得，即，即， 两边取为底的指数，可得，即，所以.故选：A. 6．B分析：对于A，由即可判断，对于B，由对立事件概率公式以及独立乘法公式验证；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断. 解析：对于AB，，从而，故A错误B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：B. 7．B分析：利用特殊元素特殊位置优先考虑，结合分步乘法计数原理即可求解. 解析：分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下人有种可能，所以5人的名次排列有种不同情况.故选：B. 8．D分析：根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD 解析：为奇函数，， 又为偶函数，，故A项错误. 即函数的周期为4，即C项错误. 由，令，得， 即B项错误.又，所以D项正确.故选：D 9．BD分析：A选项，利用作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解. 解析：由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误； 由题意得：，所以，B正确； ，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误； ，其中，，所以，即，D正确.故选：BD 10．ABC分析：利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 解析：对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；故选：ABC. 11．ABD分析：利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 解析：对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知：，故C错误； 对于D，若D为边上的中点，则， 所以 由余弦定理知，得， 又，所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确.故选：ABD. 12．分析：根据几何体的结构特征及球截面圆的性质，求得四棱锥的外接球的半径为，过作 ，可得为球心到平面的距离，结合，即可求解. 解析：设外接球球心为，半径为，的内心为，中点为， 在直角中，可得，又 在直角中，可得，且, 所以四棱锥的外接球的半径为，解得， 过作 ，又，， 平面，所以平面，且平面，所以, 因为，平面，所以平面，所以为球心到平面的距离， 由，可得，所以.故答案为： 13．分析：利用辅助角公式化简函数的解析式，问题转化为函数在上没有最小值，通过分析函数的性质可得的取值范围. 解析：由题意得，由得. 令，问题转化为函数在上没有最小值. ∵在上单调递增，在上单调递减，且， ∴，解得.故答案为：. 14．/分析：利用双曲线的对称性，连结，根据图形分析可得是直角三角形，且，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率. 解析：如图，  设双曲线的左焦点为，连结， 因为四边形是菱形，所以，所以， 并且根据对称性可知是等边三角形，所以，， 所以根据双曲线定义可知，即， 解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：. 点睛：一般求双曲线离心率的方法是：1.直接法：直接求出，然后利用公式求解； 2.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程. 15．分析：（1）根据题意，，可得，结合等差数列的通项公式，计算得出范围，又，为整数，可得，即可求解.（2）利用裂项求和以及反比例函数的对称性及单调性得到数列中各项的变化，从而证明. 解析：（1）解：因为，为整数，则等差数列的公差为整数， 因为,所以，即，， 为整数，.故的通项公式为. （2）证明：由（1）得，所以， ， 令，由函数的图象关于点对称及其单调性，可得： ，，.. 16分析：（1）由中点还需中点帮.取PC中点M.连接FM.BM..很容易得到四边形BEFM为平行四边形，再用线面平行的定理证明. （2）很显然.可以D为原点建立空间直角坐标系.求出点C、D、E、F的坐标.算出平面EFC的法向量.用向量夹角余弦值来算直线CD与平面EFC所成角的正弦值即可. 解析：（1）取PC中点M，连接FM，BM.在中，因为M，F分别为PC，PD的中点， 所以，. 在菱形ABCD中，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形， 因此.又因为，所以. （2）因为，所以，. 因为，所以.在菱形ABCD中，，因为E为AB中点，所以. 建立如图空间直角坐标系D-xyz. 在正三角形中，.因为，， ，， 所以向量，. 设平面EFC的法向量为，则，即.取得,. 设直线CD与平面EFC所成角为，. 17．分析：（1）总数为30+45+75=150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法求出高一、高二、高三应抽取的人数即可； （2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则由P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)，求出概率即可； （ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，求出随机变量ξ的分布列和数学期望即可． 解析：（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，30+45+75=150， 从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法，高一应抽取102人，高二应抽取10人，高三应抽取10人，故高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人； （2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)； （ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4， 则，， ，，， 随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 P    E(ξ)． 点睛：本题考查了分层抽样，考查了超几何分布的概率、分布列和数学期望的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18．分析：（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理先判定时符合题意，再适当放缩即可证明. 解析：（1）当时，， ， 当时，曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题知，函数的定义域为， 当时，设， 则． 令，则对任意恒成立， 在上单调递减，又， ，使得，即，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， ，即． 又，，当时，在定义域内恒成立． 19．分析：（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点P和点F的中点为可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点A坐标； （3）第三问需分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率不存在时，设斜率为，设点A,B坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题。 解析：（1）由题意可知，， ∴,又∵当直线 垂直于 轴时，直线的方程为， 由得，，∴弦AB的长为. （2）∵，且直线过点F，∴，在中，， ∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点, ∴,又由椭圆的定义可得， ∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上，∴为椭圆的上顶点或下顶点，∴或. （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设， ∴，故； 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：，设， 由得，，∴， ∴， 化简得， ①当， ，当且仅当时等式成立； ②当，，当且仅当时等式成立； ③当，； 综上所述可得，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$