模块综合检测卷-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

模块综合检测卷 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z满足iz＋2＝3z＋i(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A 解析：由iz＋2＝3z＋i，则z＝＝＝，则＝.即，位于第一象限.故选A. 2.已知向量a，b满足＝1，＝2，且⊥b，则＝(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：因为⊥b，所以·b＝0，即b2＝2a·b，又因为＝1，＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而＝.故选B. 3.从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为(　　) A.0.8 B.0.675 C.0.74 D.0.82 答案：D 解析：根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取10×＝6人，从乙队中抽取10×＝4人，这10人答对题目的平均数为＝1.2，所以这10人答对题目的方差为[6＋4]＝0.82.故选D. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos C＋ccos A＝c，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案：C 解析：由正弦定理得：sin Acos C＋sin Ccos A＝sin C，所以sin (A＋C)＝sin C，所以sin B＝sin C，因为三角形内角和等于180°，所以B＝C.故选C. 5.已知事件A，B，C两两互斥，若P＝，P＝，P＝，则P＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为事件A，B，C两两互斥，P＝，P(C)＝，P＝，所以P＝P－P＝－＝，所以P＝P＋P＝＋＝.故选B. 6.如图①是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图②是该组合体的轴截面，则它的表面积是(　　) A.64π B.77π C.80π D.84π 答案：D 解析：圆柱的上底面面积为4π；圆柱的侧面面积为4π×5＝20π；圆台的下底面面积为25π；圆台的母线长为＝5，所以圆台的侧面面积为π×5＝35π，则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π.故选D. 7.甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意，这两个零件中恰有一个一等品的概率为×(1－)＋(1－)×＝.故选C. 8.在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC＝3，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是(　　) A. B. C. D.4π 答案：C 解析：由已知可得P-ABC是正三棱锥，设PH是正三棱锥P-ABC的高，易知外接球球心O在PH上，且H为底面正△ABC的中心.如图，设外接球的半径为R，由题可知CH＝×＝，则PH＝＝3.由OC2＝OH2＋CH2得R2＝＋，解得R＝2，所以外接球的体积为V＝π×23＝.故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.砂糖桔网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是(　　) A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400 C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.11月份的利润最大 答案：AC 解析：观察图象知，月收入的最大值为90万元，最小值为30万元，故A正确；由图可知，1－12月份的利润表， 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 利润/万元 20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30 因此1－12月份的总利润为20＋30＋…＋50＋30＝380＜400，故B错误；由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；由利润表可知，7月份的利润最大，故D错误.故选AC. 10.设非零向量a，b，则下列说法正确的是(　　) A.若a＝(3，4)，则与a方向相同的单位向量b＝ B.若a＝(－4，2)，b＝(1，0)，则a在b上的投影向量为 C.若a＝(1，2)，b＝(x，－2)，则｜a－b｜≥4 D.已知c≠0，且a·c＝b·c，则a＝b 答案：ABC 解析：对于A，若a＝(3，4)，则与a方向相同的单位向量b＝＝a＝，故A正确；对于B，因为a＝(－4，2)，b＝(1，0)，所以a·b＝×1＋2×0＝－4，又｜b｜＝1，所以a在b上的投影向量为＝(－4，0)，故B正确；对于C，因为a＝(1，2)，b＝(x，－2)，所以a－b＝(1－x，4)，所以｜a－b｜＝≥4，故C正确；对于D，因为a·c＝b·c，c≠0，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，则a与b的长度不一定相等，方向也不一定相同，故a与b不一定相等，也可用特例法，当a⊥c，b⊥c且c≠0时，满足a·c＝b·c＝0，此时不一定有a＝b，故D错误.故选ABC. 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则(　　) A.直线D1D与直线AF相交 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C1与点G到平面AEF的距离相等 答案：BC 解析：对于A，因为AF∩平面ADD1A1＝A，DD1⊂平面ADD1A1，A∉DD1，所以DD1和AF为异面直线，故A错误；对于B，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，BC1，EQ，因为E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以EF∥BC1，GQ∥BC1，EQ∥BB1，EQ＝BB1，所以EF∥GQ.因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥EQ，EQ＝AA1， 所以四边形EQA1A为平行四边形，所以A1Q∥AE.因为A1Q，QG⊄平面AEF，EF，AE⊂平面AEF，所以A1Q∥平面AEF，QG∥平面AEF.因为A1Q，QG⊂平面A1QG，A1Q∩QG＝Q，所以平面A1QG∥平面AEF.因为A1G⊂平面A1QG，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，如图所示，连接D1F，D1A，由选项可知EF∥BC1，EF＝BC1.因为BC1∥AD1，AD1＝BC1，所以EF∥AD1，EF＝AD1，所以A，E，F，D1四点共面，所以梯形AEFD1为截面.延长D1F，AE交于S，因为D1S＝AS＝＝，AD1＝，所以＝AD1·＝××＝.因为△EFS∽△AD1S，且相似比为，所以＝＝×＝，故C正确；对于D，记点C1与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，因为＝S△AEF·h1＝＝××××1＝，VG-AEF＝S△AEF·h2＝VA-GEF＝××1××1＝，所以h1≠h2，故D错误.故选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.) 12.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶3∶1，则cos C＝　　　. 答案： 解析：因为在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶3∶1，所以a∶b∶c＝3∶3∶1.不妨设a＝3t，b＝3t，c＝t，所以cos C＝＝＝. 13.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到10根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果为：260　263　265　293　296　301　303　305　321　325，则这组数据的第70百分位数是　　　　　　 . 答案：304 解析：由已知得这组数据的第70百分位数是＝304. 14.已知向量a，b，c满足＝4，＝2，〈a，b〉＝，·＝0，则a·c的取值范围为　　　　. 答案： 解析：由题意可得：a·b＝4×2×＝4，设c＝，a＝，b＝，a－c＝，2b－c＝.因为·＝0，所以－y＝0，整理得＋＝4，因为－2≤x－3≤2，所以1≤x≤5，因为a·c＝4x，所以4≤4x≤20，即a·c的取值范围为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 解：(1)从这5人中随机采访3人，有(小红、小东、小军)，(小红、小东、小英)，(小红、小东、小青)，(小红、小军、小英)，(小红、小军、小青)，(小红、小英、小青)，(小东、小军、小英)，(小东、小军、小青)，(小东、小英、小青)，(小军、小英、小青)共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即(小红、小东、小青)， 所以至少有1人是通讯专业的概率为P＝1－＝. (2)设A＝“小红应聘成功”，B＝“小军应聘成功”，C＝“小青应聘成功”， 则至少有2人应聘成功的概率P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(A C)＋P(AB ) ＝××＋××＋××＋××＝. 16.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A＝－a－c. (1)求B； (2)若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长. 解：(1)因为acos B－bcos A＝－a－c，根据正弦定理，得sin Acos B－cos Asin B＝－sin A－sin C＝－sin A－， 化简得2sin Acos B＝－sin A. 因为sin A＞0，所以cos B＝－. 因为B∈，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理得＝22＋c2－2×2ccos ，所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4. 因为BD为△ABC的中线，所以2＝＋，所以4｜｜2＝c2＋a2＋2ac·cos . 因为a＝2，c＝4，所以4｜｜2＝12，解得＝. 17.(15分)近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润(单位：百元)进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. (1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由. 解：(1)由题意可知×10＝1，解得m＝0.02. 设中位数为n，则0.05＋0.15＋0.2＋×0.025＝0.5，解得n＝74，所以中位数为74，平均数为(45＋95)×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.25＋85×0.3＝72.5. (2)由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为×600＝240； 方案二受到奖励的商家的个数为×600＝200. 因为240＞200，所以方案一受到奖励的商家更多. 18.(17分)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，A＝45°，E，F分别为AB，AD的中点，将三角形ADE沿DE翻折，使得二面角A-ED-C为直二面角后，得到四棱锥A-EBCD. (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：平面AED⊥平面ACD； (3)求EC与平面ACD所成角的正弦值. 解：(1)证明：取AC中点G，连接FG和BG. 因为F，G分别为AD，AC的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD. 又EB∥CD，且EB＝CD， 所以EB∥FG，且EB＝FG. 所以四边形BEFG是平行四边形. 所以EF∥BG.BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， 故EF∥平面ABC. (2)证明：由于在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，A＝45°，E，F分别为AB，AD的中点， 所以AE＝1， ED＝＝1，则AE2＋DE2＝AD2， 因此AE⊥DE，又AE∥DC，故CD⊥ED. 由于二面角A-ED-C为直二面角，所以平面AED⊥平面EDC且两平面的交线为ED. 又CD⊂平面ECD， 故CD⊥平面AED，CD⊂平面ACD，故平面AED⊥平面ACD. (3)由于平面AED⊥平面EDC且两平面的交线为ED，AE⊥DE，AE⊂平面AED，故AE⊥平面BCDE. 由(2)知CD⊥平面AED，AD⊂平面AED，故CD⊥AD. 设点E到平面ACD的距离为h，则VE-ACD＝VA-ECD，故S△ACDh＝S△ECD·AE⇒h＝＝＝. 设EC与平面ACD所成角为θ，则sin θ＝＝＝＝. 19.(17分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m＝，n＝，作＝m，＝n.当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S＝；当m，n共线时，规定S＝0. (1)分别根据下列已知条件求S； ①m＝，n＝；②m＝，n＝； (2)若向量p＝λm＋μn，求证：S＋S＝S； (3)记＝a，＝b，＝c，且满足c＝λa＋μb，a⊥b，＝＝＝1，求S＋S的最大值. 解：(1)①因为m＝，n＝，且S＝，所以S＝｜2×2－1×｜＝5. ②因为m＝，n＝， 则n＝2m，所以S＝0. (2)证明：因为向量m＝，n＝， 且向量p＝λm＋μn， 则p＝， 所以S＝｜y1－x1｜＝， 同理S＝， 所以S＋S＝S. (3)设〈c，a〉＝α，因为a⊥b，所以当α为锐角时，〈c，b〉＝－α或〈c，b〉＝＋α，若〈c，b〉＝－α，则S(c，a)＋S(c，b)＝2·｜c｜｜a｜sin α＋2·｜c｜｜b｜sin(－α)＝sin α＋sin(－α)＝sin α＋cos α＝sin(α＋)，当α＝时，S(c，a)＋S(c，b)取得最大值，同理当〈c，b〉＝＋α时，S(c，a)＋S(c，b)＝sin(α＋)，当α＝；当α为钝角时，〈c，b〉＝－α或〈c，b〉＝α－，若〈c，b〉＝－α，则S＋S＝2·sin α＋2·sin ＝sin α＋sin ＝sin α－cos α＝sin . 当α－＝，即α＝时，S＋S.同理，当〈c，b〉＝α－时，S(c，a)＋S(c，b)＝sin(α－)，当α＝π时取最大值； 综上，S(c，a)＋S(c，b)的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $