第05讲 平行四边形（4大知识点+9大题型）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

第05讲 平行四边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．以中心对称为主线，研究平行四边形的性质； 2．经历探索平行四边形的有关概念、性质和平行四边形的条件过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力； 3．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力． 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 知识点4．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型一、平行四边形 考点1、利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    3．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)当平分时，求t的值． (2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发． ①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值． ②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______． 考点2、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为 ．    6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）（1）如图，在的方格中，是格点三角形（顶点均在格点上）．请仅用直尺（无刻度）在网格内作一个平行四边形，使它的面积与的面积相等．（补上所作图形顶点字母） （2）如图，在中，， ，请仅用直尺（无刻度）作一个三角形，使所作三角形的面积等于面积的一半，并把所作的三角形用阴影表示出来． 考点3、平行四边形性质的其他应用 7．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 8．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 cm2． 9．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    考点4、判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 12．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题： 从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形．张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究． (1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明．如图1，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形． (2)小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题．他们先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） (3)数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）． 题型5、添一个条件成为平行四边形 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 14．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 15．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 考点6、证明四边形是平行四边形 16．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（  ） A．， B．， C．， D．， 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是 事件（填“随机”或“确定”）． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 考点7、利用平行四边形的判定与性质求解 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 20．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将两条宽度都是为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 21．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 考点8、反证法证明中的假设 22．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（  ） A．同旁内角互补的两条直线平行 B．同旁内角互补的两条直线不平行 C．同旁内角不互补的两条直线平行 D．同旁内角不互补的两条直线不平行 23．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设 ． 24．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 考点9、用反证法证明命题 25．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设 ． 26．（八年级下·全国·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 一、单选题 1．在中，如果，那么等于（　 　）    A． B． C． D． 2．若平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（      ） A． B． C． D． 3．将一副三角板在四边形中按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，，则大小为（   ）    A．40 B．45 C．60 D．140 7．如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 9．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点．若，，则的长为（    ）    A．12 B．16 C．18 D．20 10．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ． 12．在中，若，则 ； ； ． 13．已知的周长为16，，则的长为 . 14．等腰梯形两条对角线互相垂直，一条对角线长为6 cm，则高为 ，面积为 ． 15．如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则 ． 16．平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成和两段，那么这个平行四边形的周长为 ． 17．我们规定：在四边形中，O是边上的一点．如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 ． 18．如图，在中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出 关于轴的对称图形； （2）在轴上确定一点，使的值最小，在图中画出点即可（保留作图痕迹）； （3）直接写出的面积．    20．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．如图，AB=CD，E，F分别为AB、CD上的点，连接BC，分别为AF、ED相交于点G，H，∠B=∠C，BH=CG, （1）求证：AG=DH； （2）求证：四边形AFDE是平行四边形. 22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，y＝． (1)判断DE与BF的位置关系，并说明理由； (2)求DE，BF的长； (3)当AD＝6，DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10． (1)点C的坐标是 ，直线的表达式是 ； (2)如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．    (1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________． (2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸． 25．如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题： (1)若，你能判断的形状吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积． (3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值． 26．问题提出 (1)如图1，AB为圆O的弦，在圆O上找一点P，使点P到AB的距离最大． (2)问题探究 如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上任意一点，连接PM，与AB交于点Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值． (3)问题解决 如图3，小华家有一块扇形AOB的田地，线段OA、线段OB以及分别为扇形AOB的边沿部分．经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作种植当季蔬菜，具体操作方式如下：在上选取点C，过点C作CMOB，CNOA，则四边形MONC为小华爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米．请你根据以上数据计算：小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（结果保留整数，取1.73） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行四边形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．以中心对称为主线，研究平行四边形的性质； 2．经历探索平行四边形的有关概念、性质和平行四边形的条件过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力； 3．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力． 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 知识点4．反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 题型一、平行四边形 考点1、利用平行四边形的性质求解 1．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）在平行四边形中，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案． 【详解】解：在▱中，，且， ． 故选：D 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行四边形的性质可得出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒． (1)当平分时，求t的值． (2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发． ①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值． ②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______． 【答案】(1) (2)①或或；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，则．由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，列方程可求解； （2）①根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可．②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形，推导出P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形，由，即可得到以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． 在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． ②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形， 当秒时，P到达点D，此时Q也第2次返回点C， 当P从D返回A时， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， 当时，由得到， 解得， ∴P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形， ∵， ∴以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时， ， 故答案为： 考点2、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查度数平行四边形的性质，根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】A、矩形的对角线相等，而平行四边形对角线不一定相等，所以对角线的一半也不一定相等，A错误，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，而平行四边形对角线不一定互相垂直，B错误，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，C正确，符合题意； D、菱形的对角线平分每一组对角，而平行四边形对角线不一定平分每一组对角，D错误，不符合题意． 故选：C． 5．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】连接，设与交于点，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质得出，在直角中，由勾股定理得出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，   ，平分， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）（1）如图，在的方格中，是格点三角形（顶点均在格点上）．请仅用直尺（无刻度）在网格内作一个平行四边形，使它的面积与的面积相等．（补上所作图形顶点字母） （2）如图，在中，， ，请仅用直尺（无刻度）作一个三角形，使所作三角形的面积等于面积的一半，并把所作的三角形用阴影表示出来． 【答案】（）画图见解析；（）画图见解析． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、根据三角形中线求面积 【分析】（）取格点，连接，取，的中点，，连接，，四边形即为所求； （）连接，交于点，连接，，即为所求； 本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（）如图，取格点，连接，取，的中点，，连接，， 根据网格可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵分别为中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∴， ∴四边形即为所求； （）如图，连接，交于点，连接，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴即为所求． 考点3、平行四边形性质的其他应用 7．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质的其他应用、折叠问题 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 cm2． 【答案】16 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、平行四边形性质的其他应用 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，请用两种方法作出边的中线．（尺规作图，保留痕迹）    【答案】见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、平行四边形性质的其他应用、作垂线(尺规作图) 【分析】作的垂直平分线得到的中点，从而得到中线；分别以、为圆心，、为半径画弧得到平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到中线． 【详解】解：如图1，如图2，为所作．    【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点4、判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：A． 11．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】判断能否构成平行四边形、判断命题真假 【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题． 【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题； ②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题； ③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个四边形是平行四边形，那么③是真命题； ④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形是平行四边形，那么④是假命题． 综上：真命题有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的定义是解决本题的关键． 12．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题： 从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形．张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究． (1)数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明．如图1，在四边形中，，求证：四边形是平行四边形． (2)小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题．他们先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图2中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法） (3)数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）． 【答案】(1)证明见解析； (2)见解析； (3)证明见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、判断能否构成平行四边形、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的判定，基本作图，反证法，熟练掌握平行四边形的性质与基本作图的方法是解题的关键． （1）利用四边形的内角和定理和平行四边形的 定义解答即可； （2）利用线段垂直平分线的作法找到的中点，连接并延长至点，使，得到平行四边形，再利用同圆的半径相等的性质得到点，则四边形可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况推论解答：①已知，且，画出符合条件的反例即可；②已知，且，利用反证法解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）作出线段的中点，连接并延长至点，以点为圆心，连接， 如图， 四边形即为所求，理由： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由作法可知：， ∴ ∴四边形中，，但四边形不是平行四边形． （3）解：分两种情况：①已知，且， \ 四边形满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线； ②已知，且， 反证法：假设四边形不是平行四边形，则， 故可以在射线上取和不重合的点，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴和重合， 这与点与点不重合矛盾， ∴假设不成立， ∴四边形是平行四边形． 题型5、添一个条件成为平行四边形 13．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 14．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理添加条件即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵， ∴当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形， 故答案为： 15．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【答案】①，证明见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题． 【详解】①或②． 添加①BE＝DF，理由如下： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AE∥CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 考点6、证明四边形是平行四边形 16．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D、因为，，所以四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是 事件（填“随机”或“确定”）． 【答案】确定 【知识点】证明四边形是平行四边形、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据平行四边形的判定定理、确定事件的概念判断即可． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是必然事件，属于确定事件， 故答案为：确定． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）直接用证明即可． （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，由等角的补角相等得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出，结合，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 考点7、利用平行四边形的判定与性质求解 19．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 20．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将两条宽度都是为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．过点作于点，过点B作，根据题意易证四边形是平行四边形，由，求出，利用勾股定理求出，然后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点B作， 纸条的对边平行，即， 四边形是平行四边形， 两张纸条的宽度都是， ， ， ． ， ， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查尺规作图和无刻度直尺作图； （1）根据平行四边形的性质和判定，确定缺少的条件，再利用尺规作图即可； （2）利用平行四边形对角线交点以及中心对称性作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求：      （2）如图所示，即为所求：    考点8、反证法证明中的假设 22．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（  ） A．同旁内角互补的两条直线平行 B．同旁内角互补的两条直线不平行 C．同旁内角不互补的两条直线平行 D．同旁内角不互补的两条直线不平行 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】首先明确什么是反证法，然后根据命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”可以得到应先假设什么，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故答案为：． 24．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 考点9、用反证法证明命题 25．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设 ． 【答案】c与b不垂直 【知识点】用反证法证明命题 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】：原命题“在同一平面内，已知，若，则”， 用反证法时应假设结论不成立， 即假设c与b不垂直． 故答案为：c与b不垂直． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 26．（八年级下·全国·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 一、单选题 1．在中，如果，那么等于（　 　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出答案． 【详解】∵中，， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，属于基础题型．明确平行四边形对角相等是解决这个问题的关键． 2．若平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长为， ∴cm， ∴cm， 又∵cm， ∴cm， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟记平行四边形的性质是解题的关键． 3．将一副三角板在四边形中按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据平行线判定与性质求角度 【解析】略 4．要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5．如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：A、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．如图，在平行四边形ABCD中，，则大小为（   ）    A．40 B．45 C．60 D．140 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质得出邻角互补，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CD， ∴∠A+∠B=180°， ∴∠B=180°∠A=140°； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的邻角互补． 7．如下是不完整的推理过程： 证明∶∵， ∴． ∵_______________， ∴四边形 是平行四边形． 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选∶C． 8．如图，将▱ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若▱ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　） A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】C 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD=10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长=AB+AD即可解决问题． 【详解】∵平行四边形ABCD是周长为20， ∴AB+AD=10， 由翻折可知：EB=DE， ∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=10， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点．若，，则的长为（    ）    A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据基本作图得到，平分，则根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行四边形的性质得，所以，于是得到，根据等腰三角形的判定得，然后再根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：设与交于点O，如图，    由作图过程知，平分， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，又， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质和基本尺规作图-作角平分线、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，求得的长是解答的关键． 10．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、最短路径问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案． 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点， 过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径， 如图  所示， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大． 二、填空题 11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A＇处． 若∠1 = 50°，则∠BDA = ． 【答案】25º 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质可得AD∥BC，∠BDA＝∠BDG，即可求解． 【详解】∵将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠， ∴AD∥BC，∠BDA＝∠BDG， ∴∠1＝∠ADG＝50°，且∠ADG＝∠BDA+∠BDG， ∴∠BDA＝25°， 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了翻折变换，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键． 12．在中，若，则 ； ； ． 【答案】 /100度 /80度 /100度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质得，，则，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 13．已知的周长为16，，则的长为 . 【答案】3 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可． 【详解】解：如图：∵的周长为， ∴， ∴， ∴, 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 14．等腰梯形两条对角线互相垂直，一条对角线长为6 cm，则高为 ，面积为 ． 【答案】 3cm 18cm2 【分析】作DE//AC交BC的延长线于E,由对角线的长可求得等腰梯形的面积,再根据三角形的面积可求得其高的长. 【详解】解:如图, 作DE∥AC交BC的延长线于E, AC⊥BD,DE∥AC, DE⊥BD,四边形ACED是平行四边形, ∠BDE=90,AD=CE, =, =+= +===18, 过D点做DF⊥BC,垂足为F,设DF为X,则BF=EF=X,BE=2X,由面积公式求得 DF=, 故答案：cm；18cm. 【点睛】本题考查等腰梯形及平行四边形性质的理解及运用. 15．如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则 ． 【答案】3 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】如图所示： ∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴． ∵， ∴． 16．平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成和两段，那么这个平行四边形的周长为 ． 【答案】或 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出为等腰三角形，然后分别讨论，或，，继而求得答案． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形， ， ， 为角平分线， ， ， ， ①当，时， 则周长为； ②当时，， 则周长为． 故答案为：10或8． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用． 17．我们规定：在四边形中，O是边上的一点．如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是 ． 【答案】8或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时，证明四边形时平行四边形，据此即可求出四边形的周长；当时，根据全等三角形的性质，推出，，利用勾股定理，依次求出，，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，则， ， 四边形时平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 四边形的周长为， 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 18．如图，在中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．过C点作于D点，由题意知，当P点与D点重合时，最短，再利用直角三角形的性质及勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，过C点作于D点， ∵四边形为平行四边形， ， 为平行线间的距离， ， 当P点与D点重合，Q点与C点重合时，最短； ， ； 由勾股定理得：， 即， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出 关于轴的对称图形； （2）在轴上确定一点，使的值最小，在图中画出点即可（保留作图痕迹）； （3）直接写出的面积．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】轴对称综合题(几何变换)、求与已知三点组成平行四边形的点的个数、坐标与图形 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到各顶点，进而得出各顶点的坐标； （2）作点A关于y轴的对称点A’’，连接A’’C，依据两点之间，线段最短，可得与y轴的交点P即为所求； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）如图所示，为所求； （2）如图所示，P点为所求； （3）．    【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 20．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解． (2)13 【知识点】角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质证明、三线合一 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识， （1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论． （2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形． ∴，，． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）过点A作，垂足为H，如图： 由（1）知，且，， ∴， ． ∵， ∴， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 21．如图，AB=CD，E，F分别为AB、CD上的点，连接BC，分别为AF、ED相交于点G，H，∠B=∠C，BH=CG, （1）求证：AG=DH； （2）求证：四边形AFDE是平行四边形. 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】（1）易证△ABG≌△DCH，即可得到AG=DH； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明. 【详解】（1）∵BH=CG ∴BH+GH=CG+GH,即BG=CH， 又AB=CD，∠B=∠C ∴△ABG≌△DCH，故AG=DH； （2）∵△ABG≌△DCH，∴∠AGB=∠DHC， ∴DE∥AF, 又∠B=∠C，∴AE∥FD， ∴四边形AFDE是平行四边形. 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质. 22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知，当Q为BF中点时，y＝． (1)判断DE与BF的位置关系，并说明理由； (2)求DE，BF的长； (3)当AD＝6，DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系． 【答案】(1)DE与BF的位置关系为：DEBF，理由见解析 (2)16 (3)BQ＞BE 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据四边形内角和以及角平分线的定义，得出∠ADE+∠AED＝90°，进而推出∠AED=∠ABF，即可得出DEBF； （2）求出DE=12，MN=10，当Q为BF中点时，y＝，代入求得，即的长，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=2，BM=4，即可得出结果； （3）连接EM并延长交BC于点H，证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得，当DP=DF时，求出BQ，即可求解． 【详解】（1）解： DE与BF的位置关系为：DEBF，理由如下： 如图1所示： ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°， ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC， ∴∠ADE＝∠ADC，∠ABF＝∠ABC， ∴∠ADE+∠ABF＝×180°＝90°， ∵∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠ABF， ∴DEBF； （2）令x＝0，得y＝12， ∴DE＝12， 令y＝0，得x＝10， ∴MN＝10， 把y＝代入， 解得：x＝6，即NQ＝6， ∴QM＝10﹣6＝4， ∵Q是BF中点， ∴FQ＝QB， ∵BM＝2FN， ∴FN+6＝4+2FN， 解得：FN＝2， ∴BM＝4， ∴BF＝FN+MN+MB＝16； （3）连接EM并延长交BC于点H，如图2所示： ∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF， ∴四边形DFME是平行四边形， ∴DF＝EM，EHCD， ∴∠MHB＝∠C＝90°， ∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°， ∴∠DEA＝30°， ∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°， ∴∠DFM＝∠DEM＝120°， ∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠MEB＝∠FBE＝30°， ∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4， ∴MH＝BM＝2， ∴EH＝4+2＝6， 由勾股定理得： ， 当DP＝DF时， 解得：x＝， ∴ ∵， ∴BQ＞BE． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握以上知识是解题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10． (1)点C的坐标是 ，直线的表达式是 ； (2)如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，平行四边形的性质， （1）利用面积为10求出点C的坐标，根据待定系数法求出解析式； （2）连接，由得到，求出的解析式，得到的解析式为，求出交点，再根据待定系数法求出解析式； （3）分情况：①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，根据平行四边形的性质解答． 【详解】（1）解：∵面积为10， ∴， ∴， ∵， ∴， 将点B与C的坐标代入，可得 ， ∴， ∴， 故答案为，； （2）连接， ∵， ∴， 设的解析式为， 将点，代入，得 ， 解得， ∴， ∴的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将点A、G代入可得 ， 解得， ∴； （3）∵点M为直线上动点，点N在x轴上， 则可设，， ①当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； ②当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； ③当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或． 24．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．    (1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________． (2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸． 【答案】(1) (2)101 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）过作交于点，得到是等边三角形，四边形是平行四边形，从而推出，即可得到答案； （2）作于，于，得到，得到，设寸，则寸，由勾股定理列出关于的方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：过作交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴双门间隙与门槛宽度的比值为． 故答案为：； （2）作于，于，    ∵点和点距离都为1尺， ∴（寸）， ∵， ∴， ∴， 设寸，则寸， ∵寸， ∴（寸）， ∵，， ∴（寸）， ∵， ∴， ∴， ∴（寸）， ∴门槛宽度是101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 25．如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题： (1)若，你能判断的形状吗？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积． (3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) (3)万元 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，进而可得，则是等腰三角形； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，，同理可得，求出，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由勾股定理得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接、，如图： 在中，， ， ， ，，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ； ． 种植马鞭草区域的面积为． （3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴修建这三条绿道投入资金的最小值为万元． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键． 26．问题提出 (1)如图1，AB为圆O的弦，在圆O上找一点P，使点P到AB的距离最大． (2)问题探究 如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上任意一点，连接PM，与AB交于点Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值． (3)问题解决 如图3，小华家有一块扇形AOB的田地，线段OA、线段OB以及分别为扇形AOB的边沿部分．经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作种植当季蔬菜，具体操作方式如下：在上选取点C，过点C作CMOB，CNOA，则四边形MONC为小华爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米．请你根据以上数据计算：小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（结果保留整数，取1.73） 【答案】(1)见解析 (2) (3)210元 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、圆与四边形的综合(圆的综合问题)、垂径定理的推论 【分析】（1）根据圆的性质，作弦AB的中垂线求解即可； （2）Q点在AB的中点时，QM最小，则PQ最大，根据勾股定理求解即可； （3）此题求CM＋CN的最大值，即求周长的最大值，已知平行四边形对角线的平方和等于平行四边形四条边的平方的和，所以换成求平行四边形对角线的最大值，问题就得以解决． 【详解】（1）解：如图1，过点O作OP⊥AB， 此时点P处于中心位置， ∵在圆内，弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大， ∴此时P点到AB的距离最大； （2）解：如下图，Q点在AB的中点时，QM最小，则PQ最大， ∵MA＝MB，AQ＝BQ， ∴QM⊥AM， ∵AB＝10，AM＝7， ∴AQ＝BQ＝5， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点C处于中点时，对角线最长， 此时，OC＝OA＝90，AB⊥OC与点Q， ∵CMOB， ∴∠AMC＝60°， ∵CNOA， ∴∠CNB＝60°， ∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°， ∴△CMN为等边三角形， 同理证明△OMN也为等边三角形， 在Rt△OMQ中，OQOC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2， ∴OM＝1526.01， ∴▱OMCN的周长C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米计算）， ∵成本均为30元/米， ∴， 则预算最多为：7×30＝210（元）． 【点睛】本题考查了弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，点到弦之间的距离垂线段最短，平行四边形周长的最大值，解题关键是把求平行四边形四条边的平方的和，换成求平行四边形对角线的最大值，问题就得以解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$