专题03 三角形的内角和定理（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 三角形的内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明 1．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 4．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 5．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 6．（22-23八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是边上的高，平分，，求和的度数． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 7．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，，点F在上，交于点D．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，若，，则的长为 ． 10．（22-23八年级上·河南新郑·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 11．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 度． 12．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 13．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ． 14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，连接与交于，则 ． 15．（22-23八年级上·河南信阳·期末）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 16．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，在和中，，，，、相交于点F，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 17．（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 18．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，为边上的高，平分，相交于点F．若，，则 ． 19．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 20．（22-23八年级上·河南新郑·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度； 21．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 22．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 23．（22-23八年级上·河南周口·期末）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 24．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 题型四 三角形折叠中的角度问题 25．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，中，，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形中为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 28．（21-22八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 30．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，点在的边上，点在边的延长线上，与交于点，平分交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 31．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 32．（23-24八年级上·河南太康·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 题型五 三角形内角和定理的应用 33．（23-24八年级上·河南开封·期末）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 34．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．圆的任何一条直径都是它的对称轴 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 35．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级上·河南新郑·期末）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 37．（23-24八年级上·河南济源·期末）如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 38．（23-24八年级上·河南安阳·期末）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明 1．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故③不正确； 综上，正确的有①②④，共3个， 故选：B． 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】在中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；过点作于，可证，，由此可知，． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点为中点， ∴， 在中，，三角形中，两边之和大于第三边， ∴，故②错误； 如图所示，过点作于， ∵， ∴， 点是中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，为公共边， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 如图所示，过点作于， 由结论④可知，，， ∴，，， 在中，点是中点， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：B． 3．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 4．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 5．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 6．（22-23八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是边上的高，平分，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和等知识；由三角形内角和求得的度数，再由是的平分线，得的度数，由直角三角形两锐角互余可求得的度数，进而求得的度数；由互余关系求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． ∵是高，， ∴， ∴，． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 7．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可求出的度数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 8．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，，点F在上，交于点D．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 根据证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·河南新郑·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，以及折痕为角平分线，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点B落在处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40． 11．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 度． 【答案】138 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据得出，，再根据三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，，且， ∴， ∴． 故答案为：138． 12．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，，，，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，先根据证明，得出，根据三角形内角和求出，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，然后根据长方形的性质及角的运算可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，连接与交于，则 ． 【答案】/度 【分析】利用垂直的定义得到，则，证明，利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·河南信阳·期末）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 16．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，在和中，，，，、相交于点F，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，解决本题的关键是证明． （1）根据题意利用证明，即可得结论； （2）根据平行线的性质求出，结合（1）中结论，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 17．（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，中，为边上的高，平分，相交于点F．若，，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 为边上的高， ， ． 故答案为：． 19．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 【答案】130 【分析】本题考查了与三角形的角平分线有关的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：130． 20．（22-23八年级上·河南新郑·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度； 【答案】50 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处 又， 故答案为：50 21．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是”等知识点是解决本题的关键先由平行线的性质得到与的关系，再由折叠得到与、与的关系，最后利用三角形的内角和走理求出． 【详解】解∶ ， ． 沿翻折得到， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． 22．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理等知识点，根据翻折变换的性质可得，再根据三角形的内角和等于，求出，进而即可得解，熟练掌握翻折变换的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（22-23八年级上·河南周口·期末）证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：△ABC，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（平角的定义）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）根据平行线的性质和平角定义即可完成填空； （2）过A作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明． 【详解】（1）证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（平角定义）， 所以（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； （2）证明：如图②，过A作， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 24．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 题型四 三角形折叠中的角度问题 25．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，中，，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形中为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了图形的翻折变换的性质以及三角形内角和定理等知识，由翻折变换的性质得出是解答此题的关键． 由折叠的性质得，，再由三角形外角性质得，则，即可得出结果． 【详解】如图，由折叠的性质得：，， 是是外角， ， ， ， 即原三角形的为， 故选：C． 26．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出， ，根据，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 27．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，三角形的外角的性质．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 28．（21-22八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 29．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握三角形的内角和为是解此题的关键． 【详解】解：在中，是高 ， ∵， ， 平分，， ， ， 平分， ． 30．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，点在的边上，点在边的延长线上，与交于点，平分交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度． （1）由角平分线的定义可得，结合可得，根据“内错角相等，两直线平行”可证； （2）由平分可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 31．（22-23八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，． (1)求线段的长． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等即可求解； （2）由得到，，再结合三角形内角和定理求得，再根据角度和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 32．（23-24八年级上·河南太康·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_______，_____；若，则______； (2)请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行．请写出推理过程． 【答案】(1)，， (2)，见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）由题意得，根据、即可求解； （2）根据（1）的推理过程，逆向推导即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意得：，， ∴， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 当， 同理：， ∵光线与光线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当两平面镜a、b的夹角时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线与反射光线平行．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 三角形内角和定理的应用 33．（23-24八年级上·河南开封·期末）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 34．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列命题中，属于假命题的是（  ） A．三角形的内角和等于 B．对顶角相等 C．圆的任何一条直径都是它的对称轴 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 根据三角形内角和定理对A进行判断；根据对顶角的性质对B进行判断；根据对称轴的定义对C进行判断；根据平行线的判定方法对D进行判断． 【详解】A、三角形的内角和等于，所以A选项为真命题； B、对顶角相等，所以B选项为真命题； C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以C选项为假命题； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，所以D选项为真命题． 故选：C． 35．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 36．（23-24八年级上·河南新郑·期末）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 37．（23-24八年级上·河南济源·期末）如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 38．（23-24八年级上·河南安阳·期末）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 39．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 40．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：， ， 、分别是平分、， ，， ， ． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$