精品解析：山西现代双语学校南校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二12月数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆的短半轴的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将椭圆方程化成标准方程，利用其几何性质即可求得结果. 【详解】由，可得椭圆标准方程为， 即，所以短半轴长为. 故选：C. 2. 已知抛物线，其准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程求解. 【详解】解：因为抛物线的标准方程为：， 所以准线方程为， 故选：D 3. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 4. 双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离求得，然后由求得，再由离心率公式计算． 【详解】由题意双曲线的渐近线方程为，右焦点为，， 所以到渐近线的距离为，又， 所以，从而， 所以离心率为. 故选：A． 5. 圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，从而得解. 【详解】依题意，设圆心为， 由可得，解得， 所以圆心为，圆的半径为， 故所求圆的标准方程为. 故选：D. 6. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，则，，，根据，则，利用勾股定理求得，并得到椭圆参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】连接，设，则，，， 由，则，故， 所以，可得，则， 所以，，又， 所以，可得，即（负值舍）. 故选：C 7. 如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两点斜率公式、直线垂直的性质与直线的点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示列式即可得解. 【详解】依题意，，， 又，， 则直线的方程为，即， 设两点的坐标分别为， 联立，消去，得， 则，， ，， . 故选：B. 8. 已知双曲线的左右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P为过F且垂直于x轴的直线与双曲线的交点，当取得最大值时，曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，当取得最大值时，取得最大值，结合两角差的正切公式，以及基本不等式，求得时取得最大值，将点代入双曲线的方程，求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，不妨设， 当取得最大值时，取得最大值， 又由，且， 所以 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以点的坐标为，将点代入双曲线的方程，可得， 即，可得，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当且时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】选项A：若曲线为椭圆，则，即且，故A正确； 选项B：若曲线为双曲线，则，即或，故B正确； 选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C错误； 选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则，即，故D正确； 故选：ABD. 10. 设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，那么点的横坐标为 C. 若，则线段的中点到轴距离为4 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线，对应，抛物线开口向上， 所以焦点为，准线方程为，A选项正确. B选项，若，根据抛物线的定义可知， 由得，B选项正确. C选项，若，根据抛物线的定义可知， 线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误. D选项，设是的中点，则， 根据抛物线的定义可知，所以， 所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最大值为5 C. 存在点使得 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，在求出，即可求出可判断A；再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，再结合椭圆的定义可判断D. 【详解】对于A，椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； 对于B， ， 又，所以，所以， 即的最大值为5，当且仅当点在左、右顶点时取最大值，故B正确； 对于C，设点为椭圆的上顶点，则，， 所以，所以，所以， 则存在点使得，，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于D选项，关键点是转化为求的最小值，且当且仅当四点共线（且、在之间）时等号成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 13. M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 14. M是抛物线上一点，N是圆C：关于直线x－y＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值. 【详解】假设圆心关于直线对称的点为， 则有，解方程组可得， 所以曲线的方程为，圆心为， 设，则， 又，所以， ，即，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）与椭圆有公共焦点，且离心率为； （2）经过、两点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出椭圆焦点坐标，由离心率可得双曲线实半轴长，从而得方程； （2）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. 【小问1详解】 根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 16. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【小问1详解】 设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 17. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 ， 所以 ； 【小问2详解】 ， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为． 18. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值． 【答案】（1）y2＝4x.（2）－14. 【解析】 【分析】（1）直线MN的方程为，联立方程得到x1＋x2＝3p.代入弦长公式得到答案. (2) 先计算直线l的方程为y＝x＋1，设P(m，m＋1)，根据韦达定理，化简整理得到，得到最小值. 【详解】解：(1)由题意可知，则直线MN的方程为. 将直线方程代入y2＝2px(p＞0)，得. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x. (2)由l∥MN，可设直线l的方程为y＝x＋b，将其代入y2＝4x， 得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1， ∴直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝16x1x2＝1. 设P(m，m＋1)，则， ∴， ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝6，x1x2＝16，y1y2＝－4. 又，∴， ∴， 当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时， 取得最小值，最小值为－14. 【点睛】本题考查了抛物线方程，向量积的最小值，利用韦达定理，得到的表达式是解题的关键. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【小问1详解】 设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. 【小问2详解】 由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二12月数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆的短半轴的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 8 2. 已知抛物线，其准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 4. 双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）. A. B. C. D. 5. 圆心在x轴上，并且过点和的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知双曲线的左右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P为过F且垂直于x轴的直线与双曲线的交点，当取得最大值时，曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当且时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，那么点的横坐标为 C. 若，则线段的中点到轴距离为4 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的最大值为5 C. 存在点使得 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 13. M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为________. 14. M是抛物线上一点，N是圆C：关于直线x－y＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）与椭圆有公共焦点，且离心率为； （2）经过、两点. 16. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 17. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值． 18. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $