5.5.2 简单的三角恒等变换（6大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点1 半角公式与万能公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 知识点2 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 知识点3 辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式的应用 利用辅助角公式将形如的函数变换为形如的函数，进而研究其图象和性质，有时需要利用二倍角公式或两角和(或差)公式将已知函数转化为的形式． 1、三角函数化简“三看”原则 2、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 3、二倍角公式与半角公式的应用 二倍角公式和半角公式在三角函数式的化简求值中的主要功能是变幂．解题时需先分析出三角函数的次数是低次的升幂，还是高次的降幂，再结合题中的要求，正确选用二倍角公式或半角公式，从而使次数统一． （1）对半角的理解：“”是“”的半角，“”是“”的半角，“”是“”的半角，即半角是相对而言的． （2）在半角公式中根号前的“±”符号，取决于角所属象限．如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号，若给出了角的具体取值范围，则可通过确定的取值范围，选择合适的符号． 题型一 半角公式与万能公式的应用 【例1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·广东广州·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·湖南岳阳·月考）若为第三象限角，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-3】（23-24高三上·江苏徐州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D．1 题型二 积化和差与和差化积的应用 【例2】（23-24高一下·山东临沂·月考）函数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江西·月考）（多选）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 辅助角公式的简单应用 【例3】（23-24高一下·江苏·月考）已知，满足条件的的一个值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·湖北孝感·月考）已知函数，且是图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型四 三角恒等变换综合化简 【例4】（23-24高一下·广东河源·月考）化简： ． 【变式4-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）求值 ． 【变式4-2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）计算下列各式的值，其结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·四川绵阳·月考）化简： (1)； (2). 题型五 三角形中的三角恒等变换 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-1】（23-24高一下·陕西汉中·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【变式5-2】（23-24高一下·安徽宣城·期末）（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-3】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知的内角分别为，若，，则 ． 题型六 三角恒等变换与三角函数结合 【例6】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数满足 【变式6-1】（22-23高一上·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【变式6-2】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式6-3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点1 半角公式与万能公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 知识点2 积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 知识点3 辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式的应用 利用辅助角公式将形如的函数变换为形如的函数，进而研究其图象和性质，有时需要利用二倍角公式或两角和(或差)公式将已知函数转化为的形式． 1、三角函数化简“三看”原则 2、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 3、二倍角公式与半角公式的应用 二倍角公式和半角公式在三角函数式的化简求值中的主要功能是变幂．解题时需先分析出三角函数的次数是低次的升幂，还是高次的降幂，再结合题中的要求，正确选用二倍角公式或半角公式，从而使次数统一． （1）对半角的理解：“”是“”的半角，“”是“”的半角，“”是“”的半角，即半角是相对而言的． （2）在半角公式中根号前的“±”符号，取决于角所属象限．如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号，若给出了角的具体取值范围，则可通过确定的取值范围，选择合适的符号． 题型一 半角公式与万能公式的应用 【例1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以.故选：A 【变式1-1】（23-24高一上·广东广州·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 而为锐角，解得：．故选：D． 【变式1-2】（23-24高一下·湖南岳阳·月考）若为第三象限角，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】为第三象限角，且，则， 得，故选：A 【变式1-3】（23-24高三上·江苏徐州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为， 可得， 可得，解得， 因为，所以，所以， 所以.故选：C. 题型二 积化和差与和差化积的应用 【例2】（23-24高一下·山东临沂·月考）函数的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以的最大值为1.故选：B 【变式2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故选：C 【变式2-2】（24-25高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 可得：，即， 又，结合平方差公式可得：.故选：C 【变式2-3】（23-24高一下·江西·月考）（多选）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由和差化积公式， 得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式， 得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误.故选：BC. 题型三 辅助角公式的简单应用 【例3】（23-24高一下·江苏·月考）已知，满足条件的的一个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得 故， 因此或，. 则满足条件的的一个值为.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由正弦函数的周期性公式知最小正周期为.故选：B 【变式3-2】（23-24高一下·湖北孝感·月考）已知函数，且是图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，其中, 又是图象的一条对称轴， 所以，解得，即,可取, 所以，所以．故选：B． 【变式3-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 由待定系数法可得， 所以，故选：D 题型四 三角恒等变换综合化简 【例4】（23-24高一下·广东河源·月考）化简： ． 【答案】 【解析】由题 . 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）求值 ． 【答案】 【解析】 ， 又 ， 故. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）计算下列各式的值，其结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】， 所以A正确； ，所以B不正确； ，所以C错误； ，所以D正确； 故选：AD． 【变式4-3】（23-24高一下·四川绵阳·月考）化简： (1)； (2). 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1） . （2）. 题型五 三角形中的三角恒等变换 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．故选：A． 【变式5-1】（23-24高一下·陕西汉中·月考）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】因为， 所以， 因为 则 又，所以, 所以，所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形.故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·安徽宣城·期末）（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】由 因为，且， 可得， 所以，可得或， 因为，所以或，所以为直角或等腰三角形.故选：BC. 【变式5-3】（23-24高一下·湖北武汉·月考）已知的内角分别为，若，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 又，即， 即，解得，， 所以. 故答案为： 题型六 三角恒等变换与三角函数结合 【例6】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数满足 【答案】BC 【解析】 ， 对于A，由，得的图象关于不对称，A错误； 对于B，由，得函数图象关于点对称，B正确； 对于C，当，即时，单调递减， 令，则函数在区间内单调递减，C正确； 对于D，取，则，，D错误. 故选：BC 【变式6-1】（22-23高一上·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，即当时，函数取最大值， 故函数取最大值时的取值集合为. （3）当时，， 由于函数在区间上单调递减，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式6-2】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【解析】（1） ， ， 则，故在上的最大值为； （2）； （3）由（1）当则， ， 故. 【变式6-3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，， 由函数的最小正周期为，得，解得， 由图象关于直线对称，得，即， 而，因此，所以. （2）由（1）得 ， 令，得， 则函数的单调递增区间为，依题意，， 则，所以实数的最大值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$