专题11 数列求和与不等式归类（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题11 数列求和与不等式归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：分段型数列求和 题型二：正负相间型数列求和 题型三：错位相消法求和 题型四：裂项型：基础型 题型五：裂项型：分子函数型 题型六：裂项型：指数裂项型 题型七：裂项型：有理化型 题型八：裂项型：齐次分离常数型 题型九：裂项型：同构反解型 题型十：裂项型：裂和型 题型十一：先求和再放缩证明不等式 题型十二：先放缩再求和证明不等式 题型十三：恒成立求参型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 分段型数列求和 ⭐技巧积累与运用 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1） 可构建新数列； （2）可“跳项”求 1．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用分步求解即可； （2）根据分组求和和并项求和思想，结合等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，. 也满足，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故，记数列的前项和为， 则. 记， 则， . 故数列的前项和. 2．等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解； （2）根据等差数列与等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ，，解得， （2）， . 综上， 3．已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求出，再得出通项公式即可； （2）应用分组求和结合等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式计算求解. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得 所以 . 题型02 正负相间型数列求和 ⭐技巧积累与运用 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 1．设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得，从而得到，则当为偶数时 ，再利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，得，解得； 由题意①，得②， ②①得， 即， 又 所以，即 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则， 又，所以且， 又因为当为偶数时，，即， 所以 . 2．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 3．已知数列的前n项和为，，，． (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据进行求解； （2）在（1）基础上，得到，从而得到，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）证明：由题可知， 当时，解得． 又因为，将其与 两式相减得：， 因为，所以． （2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，， 累加得． 又满足上式，所以n为奇数时，； 当n为大于2的偶数时，有，，，…，， 累加得．又满足上式． 综上可知，． 所以， . 【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 题型03 错位相消型求和 ⭐技巧积累与运用 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 1．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. （2）当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 2．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； （2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和； （3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 3．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ， (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出，根据等比和等差数列的通项公式求解即可； （2）利用等比数列前n项和公式求出，求出，得证； （3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. （2）由 (1) 可知，， 则， ， . （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , . 题型04 裂项型：基础型 ⭐技巧积累与运用 1．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. (1)求抛物线的方程； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，即可得到，从而数列的通项公式，再由，利用裂项相消法计算可得； （3）由（2）可知：，，，求出点到直线的距离及，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线的方程； （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或，，可得， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以， 又，， ； （3）由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 2．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式； （2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，， 当时，则有，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以. （2）由（1）可得，则，则， 所以， 所以 . 3．已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，即可结论成立. 【详解】（1）由可得，且， 所以数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （2）设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以， ， 因为， 综上所述，对任意，. 题型05 裂项型：分子函数型 ⭐技巧积累与运用 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 1．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【详解】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 2．已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答. （2）由（1）及已知，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由题意，得，故为常数列. ，故. （2） 故 3．设等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知条件，列出关于等差数列的首项与公差的方程组，进行求解即可. （2）利用裂项相消求出，再结合不等式的性质证明. 【详解】（1）设的公差为， 依题意可得 即解得所以. （2）由（1）可得，所以. . 题型06 裂项型：指数裂项型 ⭐技巧积累与运用 指数型，类似函数型的列项思维 形如 1．已知正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得； （2）根据裂项求和法可求出结果． 【详解】（1）∵，，∴，， ∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴． （2）， ∴． 2．已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系可求出通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的和即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，得， 所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以 3．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系求通项； （2）先求出，再用裂项相消法求. 【详解】（1）由已知①， 当时，，即，解得， 当时，②， ①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为， 所以 . 题型07 裂项型：有理化型 ⭐技巧积累与运用 无理根式型裂项： 无理型裂项相消满足： 1．已知数列的前项和为，点在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上， 可得，则有： 当时，； 当时，； 且也符合，所以． （2）由（1）可得：， 所以 ， 所以. 2．已知数列的前n项和满足，且． (1)求数列其通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得,两式相减得：,所以，两式相减可得：，再求出的值，则可得数列为3为首项，2为公差的等差数列.由此即可求出其通项公式. （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消即可求出其前n项和，即可出解不等式. 【详解】（1）由题意知，则, 两式相减得：,化简得:, 所以，两式相减得：， 化简得：，令，得：， 即，解得，且， 所以数列为3为首项，2为公差的等差数列， 所以 （2）又(1)知， 所以 则 令，得，解得：. 又，所以.所以使成立的最小正整数n的值为8. 题型08 裂项型：齐次分离常数型 ⭐技巧积累与运用 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 1．设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项和等差数列的通项公式列式求出和，可得数列的通项公式； （2）根据，裂项求和可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 所以，又，所以，所以， 所以， 解得，所以， 所以的通项公式． （2）由（1）知， 所以 2．数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据题意分别取、，结合等差数列运算求解即可； （2）根据题意可得，分奇偶项结合累加法运算求解； （3）由（2）可得，分奇偶项结合裂项相消法法运算求解； 【详解】（1）因为数列，，是公差为的等差数列，且， 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得； 令，则数列，，是公差为的等差数列，可得. （2）因为数列，，是公差为的等差数列， 则，可得， 当为奇数，可得 ， 且符合上式，所以当为奇数，； 当为偶数，可得；综上所述：. （3）由（2）可得：当为奇数，可得； 当为偶数，； 综上所述：. 当为偶数，可得 ； 当为奇数，可得； 综上所述：. 3．已知数列的前项和满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，若成等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将替换得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证明即可； （2）先根据条件求解出的通项公式，然后代入的通项，通过裂项先化简，然后用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由题可知， 因为， 所以时，， 两式相减得， 化简可得，且满足条件， 综上可得，是公差为的等差数列； （2）因为，故，解得， 所以， 所以， 所以 所以. 题型09裂项型：同构反解型 ⭐技巧积累与运用 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的 1．设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与的等差中项等于与的等比中项，推出并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式； （2）利用（1）得到，并利用裂项相消法求和，进而得解. 【详解】（1）由题意，当时有，， 所以，解得：， ， 整理得，由此得， 所以， 整理得，由题意知 ， 所以，即数列为等差数列，其中，公差， 所以. （2）令， 则， 故， ， 所以. 2．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系式可得是以4为首项，2为公比的等比数列，即可求出； （2）根据裂项相消求和可得，即可得. 【详解】（1）当时，由，得. 当时，因为，所以， 两式相减得，即. 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 从而. 即的通项公式为 （2）由（1）可知， 则， 即 3．已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求. 【答案】 【分析】 首先利用公式，化简等式，得到，再得到，两式相减后，可判断数列是等差数列，求得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 因为，①所以，，② ①-②相减得， 所以，③ 所以，④ ④-③得，， 所以 所以，所以为等差数列， 因为，所以， 又，所以数列的公差， 所以，， 所以. 题型10裂项型：裂和型 ⭐技巧积累与运用 裂和，一般是正负型：等差裂和型 1．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系得到为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 所以， 即， 又因为，满足上式， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）因为， 所以. 2．已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过构造可证为等比数列，根据等比数列通项公式可得，然后可得； （2）将数列通项公式变形为，直接求和可得. 【详解】（1）证明：由， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即 （2）由（1）知：，所以. 又， 3．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式： (2)若，的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）已知求的问题，一定要分和进行讨论； （2）用裂项相加法求和，再分为奇数、偶数讨论，确定的取值范围. 【详解】（1）因为， 当时，. 当时，，所以， ， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 故：. （2）证明：因为， 所以. 当n为奇数时，， 因为，所以，所以 当n为偶数时，， 因为，所以，所以. 综上，. 题型11 先求和再放缩证明不等式 ⭐技巧积累与运用 裂项型证明数列不等式： 1. 裂项求和。 2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。 3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明 1．已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； 【详解】（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 所以， 易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时， 所以 2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. 【详解】（1）因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； （3）， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 3．已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解. 【详解】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 题型12 先放缩再求和证明不等式 ⭐技巧积累与运用 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 1．已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用求和公式的定义整理可得数列递推公式，结合累乘法，并检验，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式整理可得新数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1），∴， ∴， 即， ∴，，…，， ∴， 即，∴． 由，令可得， ∴，验证符合上式，∴． （2）由（1）得，，， 显然； 可知当时，， ∴ ， 符合上式， ∴不等式得证． 2．记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，求出结合等差等比数列定义求出通项. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. （3）求出，借助不等式性质放缩，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在等差数列中，，解得，而， 则数列的公差，通项公式为， 由，得，令等比数列的公比为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以数列的前项和 . （3）由（1）知， 当时，， 所以 . 3．已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，，两式相减结合累加法得，，再由等比数列定义证明即可； （2）先求出的通项公式，进而证明，从而得出，最后结合裂项相消求和法证明即可. 【详解】（1）由，① ，② 将②-①得， 故当时，，，，…，， 累加得， 故， 当时，，符合题意， 故， 即，， 因此为以3为首项，9为公比的等比数列. 将代入①得，故为以9为首项，9为公比的等比数列. （2）由（1）知，，故， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 因此对任意，均有， 则. 当时，； 当时，. 题型13恒成立求参型 1．已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）（i）利用等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （ii）利用与的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得； （2）利用分组求和法求出，由变量分离法可得出，令，求出数列中最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）（i）时， ， 所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 故，故； （ii）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则. 所以，， ，① ，② ①②得， 因此，. （2）因为， 所以， ， ，恒成立，即， 所以，， 令，则， 由，即，解得， 因为，所以，， 故数列中，最大，所以，， 因此，实数的取值范围是. 2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 3．记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可； （2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可． 【详解】（1）由，得， 因为，故，于是. 所以，易知，即. 当时，， 故，，当时，上式也成立， 所以，. （2）， 所以， 所以， 由，可得， 由于，若为偶数时，则， 由于，所以， 若为奇数时，则， 因为，所以， 所以． 故的取值范围为． 能力培优 1．已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得； （3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证. 【详解】（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得, 解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 2．已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可； （2）通过错位相减法和裂项相消法求和即可； （3）通过裂项相消求和，再参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）设的公差为d，的公比为q．则，∴ ∴； （2）由（1）知， 所以， 所以， 令， ， 两式相减可得：， 所以， 令 ， 所以， （3）， 所以， 由恒成立可得： 恒成立， 即求当时的最小值， 对于，显然当递增，当时取最小15， 令，则， 显然当时，， 即当时取最大为， 所以的最小值为11， 所以， 所以实数的取值范围是 3．已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解； （3）通过作差比较得到时，，从而有时，，再分和三种情况讨论，即可证明结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. （3）因为，，所以时，， 当时，， 当时，， 当时， ， 综上，，. 4．已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 5．记数列的前n项和为，且满足（）. （1）求的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 【答案】（1）（2）证明见解析； 【分析】（1）由题可知，则当时，，从而得出，根据递推关系证出为等比数列，最后利用等比数列通项公式，即可求出的通项公式； （2）根据题意化简得出，再利用裂项相消法求出数列的前n项和，即可证出. 【详解】解：（1），① 当时，，② ∴①-②得，即， 则， 当时，由，得， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. （2）， ， 即. 【点睛】本题考查利用和的关系和递推关系证明等比数列，还考查等比数列的通项公式和利用裂项相消法进行求和，考查化简运算能力. 6．已知数列满足：，，，，设. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】(1)由,则，可得，从而可得数列是等差数列. (2)由条件可得，根据（1）可得，用累加法可求出 ，从而可得，用裂项相消求和的方法可求出，又随n的增大而增大，可证得，从而可证明结论. 【详解】解：（1）由于，则，， 两式相减得， 易知，所以，故数列是等差数列. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 所以 . 又随n的增大而减小，所以随n的增大而增大. 所以.综上，. 【点睛】本题考查等差数列的定义通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.属于中档题. 高考真题 1．(2024年全国甲卷文）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2．(2024年全国甲卷理）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．(2024年天津高考卷）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 4．(2023年全国卷）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6．(2023年天津高考卷）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 数列求和与不等式归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：分段型数列求和 题型二：正负相间型数列求和 题型三：错位相消法求和 题型四：裂项型：基础型 题型五：裂项型：分子函数型 题型六：裂项型：指数裂项型 题型七：裂项型：有理化型 题型八：裂项型：齐次分离常数型 题型九：裂项型：同构反解型 题型十：裂项型：裂和型 题型十一：先求和再放缩证明不等式 题型十二：先放缩再求和证明不等式 题型十三：恒成立求参型 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 分段型数列求和 ⭐技巧积累与运用 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项： （1） 可构建新数列； （2）可“跳项”求 1．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型02 正负相间型数列求和 ⭐技巧积累与运用 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 1．设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 2．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 3．已知数列的前n项和为，，，． (1)证明：； (2)设，求数列的前2n项和． 题型03 错位相消型求和 ⭐技巧积累与运用 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 1．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 2．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 3．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 题型04 裂项型：基础型 ⭐技巧积累与运用 1．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. (1)求抛物线的方程； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和； (3)求的面积. 2．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 3．已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 题型05 裂项型：分子函数型 ⭐技巧积累与运用 函数型，指的是 （1） f（n）=t（q-p），差型； （2） f（n）是分离常数型； 1．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 2．已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 3．设等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：. 题型06 裂项型：指数裂项型 ⭐技巧积累与运用 指数型，类似函数型的列项思维 形如 1．已知正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 3．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 题型07 裂项型：有理化型 ⭐技巧积累与运用 无理根式型裂项： 无理型裂项相消满足： 1．已知数列的前项和为，点在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2．已知数列的前n项和满足，且． (1)求数列其通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值． 题型08 裂项型：齐次分离常数型 ⭐技巧积累与运用 分离常数型 分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。 1．设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．数列中，，且对任意正整数m，数列，，是公差为的等差数列. (1)依次求，，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)记（n为正整数），求数列的前n项和. 3．已知数列的前项和满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，若成等比数列，求数列的前项和. 题型09裂项型：同构反解型 ⭐技巧积累与运用 ，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的 1．设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 2．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求. 题型10裂项型：裂和型 ⭐技巧积累与运用 裂和，一般是正负型：等差裂和型 1．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和. 2．已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 3．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式： (2)若，的前n项和为，证明：. 题型11 先求和再放缩证明不等式 ⭐技巧积累与运用 裂项型证明数列不等式： 1. 裂项求和。 2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。 3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明 1．已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求，并求证：. 2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 3．已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和，且满足，求证：． 题型12 先放缩再求和证明不等式 ⭐技巧积累与运用 先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。 1．已知数列的前项和为，若，且． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 2．记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 3．已知数列满足：. (1)求证：数列和均为等比数列； (2)设，数列的前项和为，求证：. 题型13恒成立求参型 1．已知数列，，，为数列的前项和，且. (1)令. （i） 求证: 数列为等差数列，并求数列的通项公式； （ii） 求数列的前项和； (2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围. 2．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 3．记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 能力培优 1．已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 2．已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求. (3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围. 3．已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． (2)设数列前n项和为，求． (3)证明：，． 4．已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 5．记数列的前n项和为，且满足（）. （1）求的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. 6．已知数列满足：，，，，设. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，数列的前n项和为，求证：. 高考真题 1．(2024年全国甲卷文）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．(2024年全国甲卷理）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．(2024年天津高考卷）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 4．(2023年全国卷）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．(2023年天津高考卷）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$