第1部分 单元2 第1讲 三角函数的图象与性质(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

第一讲　三角函数的图象与性质 [小题专攻·自主完成] 考情研析　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质是高考的高频考点，考查角度丰富，如：2024年新课标 Ⅰ 卷T7，2024年新课标 Ⅱ 卷T9，2023年新课标 Ⅰ 卷T15，2023年新课标 Ⅱ 卷T16，2023年全国乙卷T6，2022年新高考 Ⅰ 卷T6，2022年新高考 Ⅱ 卷T9等．此类问题综合性较强，牢牢掌握正弦、余弦、正切函数的图象与性质是解题关键． 考点一　三角函数的图象与变换 1．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间()＝(　　)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(－和x＝)上单调递增，直线x＝， A．－ B．－ C． D. D　解析：由题意得， －＝× 解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点， 故＋2kπ(k∈Z)，　＋2kπ(k∈Z)，得φ＝×2＋φ＝ 于是f(x)＝sin (2x＋)， ＋2kπ)＝sin (2x＋ f(－.＝)＝sin ×2＋)＝sin (－ 2．(2024·武汉模拟)如图，在函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象中，若，则点A的纵坐标为(　　)＝ A． B． C． D．2－－ B　解析：由题意令ωx＋φ＝， －，得x＝ 所以T(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， － 因为＋2y1－1＝0， ，所以2y＋2φ)＝cos (2ωx1＋2φ)＝1－2sin2(ωx1＋φ)＝1－2y)＝sin (2ωx1－＋所以2y1＝y2＝f(x2)＝f(2x1－解得，所以＝ 又由题图可知y1>0，所以y1＝.故选B. 3．(多选)(2024·湘潭模拟)潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y＝A cos(ωx＋)＋6(其中A>0，ω>0)，其中y(单位：m)为港口水深，x(单位：h)为时间(0≤x≤24)，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6 h，且中午12点的水深为8 m，为保证安全，当水深超过8 m时，应限制船只出入，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝ B．最高水位为12 m C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4 h AC　解析：对于A，依题意)＋6，令y≥8，解得8≤x≤12或者20≤x≤24，所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8 h，故C正确，D错误．故选AC.x＋)＋6＝8，解得A＝4，所以最高水位为10 m，故B错误；对于C，D，由上可知y＝4cos (×12＋，故A正确；对于B，当x＝12时，y＝A cos (＝6，所以ω＝＝ 4．(2024·娄底一模)已知函数f(x)＝sin (x＋φ)＋|x－2|的图象关于直线x＝2对称，则φ可以为________．(写出一个符合条件的φ即可) 答案：－.＋kπ(k∈Z)，令k＝0，可以取φ＝－＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋φ＝x＋φ)的图象关于直线x＝2对称即可，所以x＋φ)＋|x－2|的图象关于直线x＝2对称，则只要y＝sin ((答案不唯一)　解析：函数y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，若函数f(x)＝sin ( (1)图象变换： (2)由三角函数图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数值的方法 ①最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝.，A＝ ②T定ω：由周期的求解公式求解． ③特殊点定φ：代入特殊点求，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 考点二　三角函数的性质 1．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 BC　解析：对于A选项，令f(x)＝0，则x＝)≠0，故A错误；，k∈Z，又g( 对于B选项，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确； 对于C选项，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确； 对于D选项，f(x)图象的对称轴方程为2x＝，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC.＋＋kπ，k∈Z，即x＝＝，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＋＋kπ，k∈Z，即x＝ 2．(2024·潍坊模拟)已知角φ的终边落在直线y＝x(x>0)上，下列区间中，函数f(x)＝2sin (x＋φ)的单调递增区间是(　　) A．(－) ，0) B．(0， C．() ，π) D．(π， A　解析：因为角φ的终边落在y＝＋2kπ]，k∈Z，故A正确，B，C，D错误，故选A.＋2kπ，，0)⊆[－＋2kπ]，k∈Z，选项中只有(－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，解得－≤＋2kπ≤x＋)，令－，k∈Z，则f(x)＝2sin (x＋＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2sin x(x>0)上，所以φ＝ 3．(2024·宝鸡一模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋，0)对称，则ω的值可能是(　　)对称，且关于点()(ω>0)的图象关于直线x＝ A．5 B．9 C．13 D．15 B　解析：函数f(x)＝sin (ωx＋＝mπ(m∈Z)，解得ω＝1＋4k(k∈Z)且ω＝12m－3(m∈Z)，选项中只有ω＝9符合条件．故选B.＋＋kπ(k∈Z)且＝＋，0)对称，则有对称，且关于点()(ω>0)的图象关于直线x＝ 4．(多选)(2024·厦门一模)已知函数f(x)＝2sin (2x－)，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)的图象关于点(，0)成中心对称 C．f(x)在区间[0，]上单调递增 D．若f(x)的图象关于直线x＝x0对称，则sin 2x0＝ BC　解析：由f(x)＝2sin (2x－＝π，A错误；)，最小正周期T＝ 由f(，0)是f(x)的对称中心，B正确；)＝0，即(－)＝2sin (2× 由x∈[0，]上单调递增，C正确；]，显然f(x)在区间[0，，∈[－]，得2x－ 由题意2x0－，D错误．故选BC.，k∈Z，故sin 2x0＝±，k∈Z，解得2x0＝kπ＋＝kπ＋ 5．(2024·曲靖模拟)若函数y＝sin (ωx＋]内恰好有两条对称轴，则实数ω的值可以是__________(写出一个满足题意的ω即可).)(ω∈N*)的图象在[0， 答案：3或4(只写一个即可)　解析：因为x∈[0，]， ＋，∈[]，所以ωx＋ 因为需要包含两条相邻的对称轴，且在区间内， 所以， <＋≤ 即，所以ω＝3或4.≤ω< 求解函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质问题的三种意识 1．转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式． 2．整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． (1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程． (2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． (3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号． 3．讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 考点三　三角函数图象与性质的综合 1．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin [3(ωx＋]的最小值为(　　)，)]的最小正周期为π，则f(x)在[－ A．－ C．0 D． B．－ A　解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，故选A.]，所以f(x)min＝－，]，sin 2x∈[－，]时，2x∈[－，，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.当x∈[－，所以ω＝ 2．(2024·广州开学考试)已知函数f(x)＝2sin2ωx＋sin2ωx(ω>0)在(0，π)上恰有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A．(]，1] B．(1， C．[)，1) D．[1， B　解析：由题意可得f(x)＝2sin2ωx＋].故选B.，解得ω∈(1，≤<2ωπ－.因为f(x)在(0，π)上恰有两个零点，所以<2ωπ－<2ωx－，因为0<x<π，所以－)＝－)＋1＝0，解得sin (2ωx－)＋1，令2sin (2ωx－sin 2ωx－cos 2ωx ＋1＝2sin (2ωx－sin2ωx＝ 3．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A．[)，) B．[， C．(]，] D．(， C　解析：依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋，3π)的图象如图所示：)，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈(，ωπ＋∈( 则].故选C.，，即ω∈(<ω≤≤3π，解得<ωπ＋ 4．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________．，x＝ 答案：3　解析：因为f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以最小正周期T＝， 因为f(T)＝cos (ω·， ＋φ)＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝ 又因为0<φ<π，所以φ＝， 即f(x)＝cos (ωx＋)， 又因为x＝为f(x)的零点， 所以＋kπ，k∈Z， ＝ω＋ 解得ω＝3＋9k，k∈Z， 因为ω>0，所以当k＝0时ω取最小值为3. 参数ω的求法 (1)根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据区间的关系，建立不等式，即可求ω的取值范围． (2)可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值；利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围． $$