专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示【九大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 3 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 6 【题型4 平面向量基本定理的应用】 8 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 12 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 14 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 16 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 18 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 21 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得 ， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】利用基底的定义对四个选项一一验证. 【解答过程】，是平面内所有向量的一组基底. 对于A：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于B：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于C：和不共线，可以作为平面的一组基底. 对于D：因为，所以和共线，所以不能作为平面的一组基底. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【解答过程】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 【变式1-3】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【解答过程】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为 ， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D. 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【解答过程】由题意，点D是AB的中点，，可得，， 则 ， 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一下·福建漳州·期末）如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量基本定理得到. 【解答过程】因为，所以， 故. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用图形的性质，结合向量线性运算的向量表示即可得解. 【解答过程】， 而，所以， 所以， 所以在基下的坐标为. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【解答过程】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 【变式3-1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，，，若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量的基本定理用表示出，，然后联立求解即可. 【解答过程】 如图所示：由于，， 所以，， 所以，所以. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【解答过程】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【解答过程】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【解题思路】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】若三点共线，，则， 理由如下： 其中 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法运算法则，结合共线关系，即可得求解. 【解答过程】如图:过作，故, 由于，，，不妨设，则， 故， 结合可得，故， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可. 【解答过程】因为三点共线，且， 所以， 过作的平行线，分别交于， 则， 又，的平分线交于点， 所以，为正三角形， 所以， 故选：A. 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【解题思路】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【解答过程】因为为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，则， 而，，三点共线，所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：B． 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示即可解答. 【解答过程】因为平面向量， 所以，则 . 故选：B. 【变式5-1】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用坐标计算平面向量的加法即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据平面向量的坐标的线性运算可得. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式5-3】（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【解答过程】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【解题思路】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果. 【解答过程】由可得； 所以. 故选：A. 【变式6-1】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【解题思路】根据给定条件，利用坐标求模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，． (1)求； (2)求； (3)求与的夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示计算可得； （2）首先求出，再根据向量模的坐标表示计算可得； （3）首先求出，，，再由夹角公式计算可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 则， 又，， 则， 即与的夹角的余弦值为． 【变式6-3】（23-24高一下·北京丰台·期末）设平面向量，，且. (1)求的值； (2)判断与是否平行，并说明理由； (3)若，求实数的值. 【解题思路】（1）由已知，得，即，代入，，即可得到的值； （2）法1，设与的夹角为，由，可得，则与平行；法2，由，当且仅当与共线时等号成立，又，，所以与平行； （3）法1，由（2）及已知条件得：，由，可得，即可求得的值；法2，由，得，则，即可求得的值. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以， 所以，所以. （2）平行，理由如下： 解法1：设与的夹角为，， 因为，所以，则与平行. 解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立， 又因为，，所以与共线，即与平行. （3）解法1：由（2）及已知条件得：， 因为，， 所以， 所以. 解法2：因为， 所以， 因为，，， 所以，所以. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【解题思路】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【解答过程】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为（    ） A．2 B． C．18 D．6 【解题思路】先求出的坐标，再由列方程可求出的值 【解答过程】由题意得， 因为，， 所以，解得. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，，. (1)若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量，且与向量平行，求实数的值. 【解题思路】（1）由题意解出的坐标，进而依据垂直条件解出的值即可； （2）由题意解出的坐标，进而依据平行条件解出的值即可. 【解答过程】（1），， ，， 又与垂直， ， 即，解得，经检验符合题意， 若向量与垂直，则. （2）由题意知：，，， ， 又与向量平行，， 即，解得， 所以与向量平行，则. 【变式7-3】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角. 【解题思路】（1）根据题意结合向量垂直的坐标运算求解； （2）根据向量共线的坐标表示求得，再结合向量夹角公式运算求解. 【解答过程】（1）因为，，，则， 若，则，解得， 所以实数的值为. （2）因为， 若，则，解得， 可得，，则， 且，所以向量与的夹角. 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 【例8】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【解题思路】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值. 【解答过程】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，    ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是， 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【解题思路】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【解题思路】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设，且，根据题意，由，求得，再由线段的方程，将点代入线段的方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】以的中点为坐标原点，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设， 因为，可得为等边三角形， 又因为，可得，且，则轴， 则，可得， 设，则， 因为，可得， 则，即， 即， 又由为的中点，可得， 因为，所以线段的方程为，其中， 将点代入线段的方程，可得， 即，整理得，即， 因为点在线段上，可得，即， 又由，其中， 当时，取得最大值，最大值为； 当或时，取得最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 【例9】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【解答过程】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 【变式9-1】（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【解题思路】首先求出，，由得到，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以，， 所以，即， 又，，所以， 当且仅当，时取等号，即的最小值为. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【解答过程】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 【变式9-3】（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解题思路】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 2 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 3 【题型4 平面向量基本定理的应用】 4 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 7 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 7 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 8 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 9 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 9 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-3】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·福建漳州·期末）如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【变式3-1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）在中，，，若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式4-1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式5-3】（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【变式6-1】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【变式6-2】（23-24高一下·北京大兴·期中）已知向量，． (1)求； (2)求； (3)求与的夹角的余弦值． 【变式6-3】（23-24高一下·北京丰台·期末）设平面向量，，且. (1)求的值； (2)判断与是否平行，并说明理由； (3)若，求实数的值. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【变式7-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知向量，若，则的值为（    ） A．2 B． C．18 D．6 【变式7-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，，. (1)若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量，且与向量平行，求实数的值. 【变式7-3】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角. 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 【例8】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【变式8-1】（24-25高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在四边形ABCD中，，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且，则xy的取值范围是 ． 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 【例9】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式9-2】（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【变式9-3】（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$