15 期末专题复习三：勾股定理-【寒假提优集训】2024-2025学年八年级数学20天（苏科版）

八年级1数学 15 期末专题复习三：勾股定理 一、选择题 1.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的 A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 2.(2024·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸 D 齐.问水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.其大意为：如图， AC=5,DC=1,BD=BA,则BC的长为 ( A.8 B.10 C.12 D.13 3.(2024·南充)如图，已知线段AB,按以下步骤作图：①过点B作 BCLAB,使BC=2AB,连接AC,②以点C为圆心，BC的长为半 径画弧，交AC于点D:③以点A为圆心、AD的长为半径画弧，交 AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 A.5-1 2 B5-2 2 C.w5-1 D.5-2 4.若三角形的三边长分别为a2+b、2ab、a2一b(a、b都是整数，a>b),则这个三角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在 线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为 A.10 B.2√2 C.3 D.25 (第5题) (第6题》 (第7题】 (第8题》 6.(2024·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90得到△ADE,点B、C的对应点分别为 D、E,连接CE,点D恰好落在线段CE上.若CD=3,BC=1,则AD的长为 A.5 B.√10 C.2 D.2② 7.如图，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,△ABC内有一点P到三角形各 边的距离相等，则这个距离为 () A.1 B.3 C.4 D.5 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E为边BC的中点.将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内的点F处，连接CF,则CF的长为 () A号 R号 c. 33 寒假提优集训20大 二、填空题 9.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点，且CD=4,BD=3,则AD 的长为 D 一条“路 4.m- (第9题) (第10题) (第12题) (第13题) 10.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一 条“路”.他们为了走“捷径”，踩伤了花草，仅仅少走了 步路.（假设2步为1m) 11.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积为 12.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB,交BD于点E,DE=2,BC= 5,则△BCE的面积为 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,D为边AC上一点.若BD是∠ABC的 平分线，则AD= 14.(2024·大庆)如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正 方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再 分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图2是1次操作后的图形.图3 是重复上述操作若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角 三角形的斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 图1 图2 图3 15.如图，在△ABC中，AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°， 当△PAB为直角三角形时，AP的长为 (第15题) (第16题) 16.在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题：今有开门去间一尺，不合二寸，向门广 几何？大意是：如图，推开两扇门(AD和BC),门边缘D、C两点到门槛AB的距离为 1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB 为 寸 34 ◆八年级1数学 三、解答题 17.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC=2,CD=1,求AD的长. 18.观察下列四个等式：①(22-1)2+42=52：②(32-1)2+62=10：③(42-1)2+82=17： ④(52-1)2+102=26°. (1)请用含n(n为正整数，且>1)的等式表示上面的规律，并证明. (2)我们知道，若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（如3、 4、5).现有一个直角边长为35的直角三角形，它的三边长能否是勾股数？若能，请 利用(1)中得出的等式算出这组勾股数：若不能，请说明理由。 (3)(1)中得出的等式是所有勾股数的表达式吗？若是，请利用该表达式再写出另外两 组勾股数：若不是，请举一个例子说明. 19.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,AD是边BC上的中线，AD=DE=2,求△ABC的 面积. 35 寒假提优集训20大。 20.(2023·杭州)如图，在R1△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM 上，EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. (1)求证：CE=CM. (2)若AB=4,求线段FC的长. 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC, DF∥BC,且DF分别与AB、AC交于点G、F. (1)求证：GE=GF. (2)若BD=1,求DF的长. 22.如图1，大正方形ABCD是由四个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形EFGH拼 成的，设直角三角形较长的直角边（如AF)为4，较短的直角边（如BF)为b. (1)用含a,b的代数式表示大正方形ABCD的面积S. (2)图2由图1变化而来，它是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形 MNKT拼接而成的.记图2中正方形ABCD、正方形MNKT的面积分别为S1、S. 若S,十S,=10,S1一S,=8,求一个直角三角形的面积与正方形EFGH的面积. D B 图1 图2 36●八年级数学 ∠CBE=2∠ABC.:EF∥BC,∠FEB=∠CBE, EC的中点，&DM=EC=MC,∴∠MDC- .∠FEB=∠FBE,∴.FB=FE.21.(1)△DEF ∠MCD,∴.BM=DM.,AB=BC,∠ABC=90°， 是等边三角形.理由如下：，AB=AD,∠A=60°， ∴.∠BCA=45°.：∠BME=∠MBC+∠BCM= .△ABD为等边三角形，·∠ADB=∠ABD=60 2∠BCM,∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD, CE∥AB,.∠DEF=∠A=6O°，∠EFD= ∴.∠BME+∠DME=2∠BCM+2∠MCD= ∠ABD=60°，.△DEF是等边三角形.(2)2 2∠BCA=90°，即∠BMD=90°.又BM=DM, 22.(1)由旋转得DE=DM,∠MDE=2a.∠C= .△BMD为等腰直角三角形.(2)当点E运动3s a,∴.∠DEC=∠MDE-∠C=2a-a=a,∴.∠C= 时，AE=3×1=3(cm),.BE=AB-AE=12-3= ∠DEC,∴.DE=DC,.DM=DC,即D是线段MC 9(cm).在Rt△EBC中，由勾股定理得EC= 的中点.(2)∠AEF=90°，证明如下：如图，延长FE √BE+BC=√/9+12=15(cm),.BM=DM= 到点H,使EH=FE,连接CH、AH、AF.,DF=DC, ∴.DE是△FCH的中位线，∴DE∥CH,CH=2DE. 由旋转得DE=DM,∠MDE=2a,∴.∠FCH=2a. 5=225(cm).24.(1)成立.理由如下：”AB= 28 ∠B=∠ACB=a,∴.AB=AC,∠ACH= AC,D是边BC的中点，.∠BAE=∠CAE.在 ∠FCH-∠ACB=2aa=a,.∠B=∠ACH.设 (AB=AC, DM=DE=m,DF=DC=n,则CH=2m,CM=m十 △ABE和△ACE中， ∠BAE=∠CAE,∴.△ABE≌ n,∴.FM=DF-DM=n-m.,AM⊥BC,∴.BM= LAE-AE. CM=m+n,..BF=BM-FM=m+n-(n-m)= △ACE(SAS),∴BE=CE.(2)成立.理由如下： 2m,∴.BF=CH.在△ABF和△ACH中， :∠BAC=45°，BF⊥AF,.∠AFE=∠BFC=90°， (AB=AC, △ABF为等腰直角三角形，∠C十∠CBF=90°， ∠B=∠ACH,.△ABF≌△ACH(SAS),.AF= .AF=BF.由(1)知AD⊥BC,.∠C+∠EAF= BF=CH, 90°，∴.∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中， AH.又，EH=FE,∴.AE⊥FH,即∠AEF=90°. ∠EAF=∠CBF, AF=BF, .△AEF≌△BCF(ASA), ∠AFE=∠BFC ..EF=CF. 23.(1),∠ABC=90°，M为EC的中点，.BM= 15期末专题复习三：勾股定理 合EC=MC,∠MBC=∠BCM:DE⊥AC,M为 1.B2.C3A4.A5.A6.A7.B 69 寒假提优集训20天。 8.D9. 7 10.411.13或512.513.5 ∠MCA=180°-50°-50°=80°.又：∠CEM=∠A+ ∠ACE=50°+30°=80°，∴.∠CME=∠CEM, 14.4815.3或35或3716.10117.如图， 连接AC.:∠B=90°，AB=BC=2,.AC=AB2十 :CE=CM.(2)由题意，得CE=CM=2AB= BC=22+22=8.又∠D=90°，CD=1,.AD= 是×4=2.：EFLAC,∠ACE=30,EF=2CE= √AC-CD=√8-1=7. 合X2=1在R△EFC中，由勾殷定理得FC= √CE-EF=√22-1=3.21.(1)：DF∥ BC,∠ACB=90°，∠CFD=∠AFD=90°.CD⊥ AB,∴∠AEC=∠DEG=90°.∴.∠AEC=∠CFD, 18.(1)(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n为正整数，且 ∠DEG=∠AFD.在△AEC和△DFC中， n>1).证明如下：左边=n-22+1+4x2=n+2+ 「∠AEC=∠DFC, 1,右边=n+22+1,.左边=右边.(2)它的三边 ∠ACE=∠DCF,.△AEC≌△DFC(AAS), 长能为勾股数，理由如下：，35=62一1，把n=6代人 LAC=DC, (1)中等式，得(62-1)2十(2×6)2=(62+1)2，即 .CE=CF.又，CD=AC,∴CD-CE=AC-CF,即 352+122=37,.它的三边长可以是勾股数，这组勾 DE=AF.又：∠DGE=∠AGF,∠DEG=∠AFG, 股数为12、35,37.(3)(1)中得出的等式不是所有勾 ∴.△DEG≌△AFG(AAS),∴GE=GF.(2)CD⊥ 股数的表达式，如5、12、13是一组勾股数，但不符合 AB.ZA-30CE-AC-CD,CE-ED, (1)中的表达式.19.，AD是边BC上的中线， .BC=BD=1.又，∠ECB+∠ACE=90°，∠A+ CD-BD, ∠ACE=90°，.∠ECB=∠A=30°.，∠CEB= .CD=BD.在△ECD和△ABD中，{∠CDE=∠BDA, ED=AD, 90,∴BE-2BC=BD=2X1=2在R△ABC ∴，△ECD≌△ABD(SAS),.∠E=∠BAD,EC= 中，∠A=30°，则AB=2BC=2,∴.AE=AB-BE= AB=3.又：AC=5,AE=AD+ED=2十2=4， 是.又由(I)知△ABC≌△DFPC.DF=AE=是 ∴.AC=AE十EC,∴.△AEC是直角三角形且 22.(1)由勾股定理知AB=AF2+BF=a2+b2,则 ∠E=90°，∴∠BAD=90°，∴.SAA=S△D十SAAD 正方形ABCD的面积S=AB=a2十b.(2)设八 2AB·AD+2AD.CE=2×3X2+×2X3=6. 个全等的直角三角形的面积均为a,则SE方哪oH= 20.(1):∠ACB=90°，M为边AB的中点，.MA= S1一4a,SE方彩cH=S十4a.两式相加，得2SE方形cH= MC,∴.∠MCA=∠A=50°，.∠CMA=180°-∠A S+S=10,∴.S正方形rcH=5;两式相减，得S1一S: 0 。●八年级数学 8a=0.,S1-S=8,.a=1,故一个直角三角形的 的平方根是士8. 25.15.36÷24=0.64(m2). 面积为1，正方形EFGH的面积为5. ,0.64的算术平方根是0.8，∴.每块地砖的边长是 16期末专题复习四：实数 0.8m.26.,x、y为有理数，y≠0，.x2十2y=17, 1.D2.B3.D4.B5.C6.C7.C8.D √2y=-4W2,.y=-4,x=士5.27.a=5十 9.C10.D11.±0.06312.2或313.> √5-7=√5-2，b=2,∴.a+b=(W5-2)+2=√5. 14.-元15.0.0416.717.3（答案不唯一） 17期末专题复习五：平面直角坐标系、一次函数 18.2-E19.)(-万=，(-3号)广 1.C2.D3.C4.C5.C6.C7.C8.C 9.(2,-1)(答案不唯一)10.y=10-2x(2.5< ()”=号，且7<g-万>-3号 x<5)11.112.-51113.y=-2x-2 23≥5-12.45-5+7g45-+7-6 8 8 8 14115.2,D1624,2)1771888 7=49.45=807-45<0325<毫 19.(1)设这个一次函数的表达式为y=kx十b,将 -2k+b=3, 20.(1),9<15<16,.3</15<4,.绝对值小于 A(-2,-3)、B(1,3)的坐标代入，得 解 +b=3, √/15的所有整数为一3、一2、一1、0、1、2、3，.绝对值 k=2, 所以这个一次函数的表达式为y=2x十1. 小于√/15的所有整数之和为(-3)十（一2）+(-1)十0+ b=1, 1+2+3=0.(2):8=2,.绝对值小于8的所有 (2)当x=-1时，y=2×(-1)+1=-1≠1， 整数为-1.01.21.(1)x=± 2)x=司 故点P(一1,1)不在这个一次函数的图像上. 20.(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b,将 (3)x=1(④五-1=522.(：()）广-1g5 80=b, (0,80)、(150,50)的坐标代人，得 解得 号的立方根是多.(2：(-广=-动 50=150k+b, b=80, ÷一动的立方根是-子 (3),0.93=0.729, .y与x之间的函数表达式为y= k=-0.2, .0.729的立方根是0.9.(4)4=64，.64的立 -0.2x+80.(2)当x=240时，y=-0.2×240+ 方根是4.23.(1)原式=1×号十2-号=2. 80=32,则该车的剩余电量占“满电量”的百分比为 (2)原式=2-3+1=0.(3)原式=2+1-4=-1. 器×100%=32%.21.1如图，△ABG为所 (4)原式=5-1一6=-2.24.由题意得5.x-2= 求.(2)①如图，作∠BAC的平分线、边AB的垂直 (-3)3,.x=-5,x+69=-5+69=64,.x+69 平分线，交于点P,则点P即为所求.②如图，作点