6 勾股定理及其逆定理-【寒假提优集训】2024-2025学年八年级数学20天（苏科版）

●八年级数学 P为△ABC的三个内角平分线的交点，点P,P2、P 50°+28°=78.12.(1)：AB=AC,∴.∠B= 为△ABC的外角平分线的交点， ∠ACB.设∠ACD=B,∠DCB=x,则 B+a=45°， 解得x=号+45，即∠DCB= 2(x+)+a=180°， 受十45、(2)如图，延长DB交AC于点F,过点A 作AE⊥BC于点E.:∠ABD十∠BAC=180°， 5等腰三角形的轴对称性 ∠ABD+∠ABF=180°，∴.∠ABF=∠BAC=a.又 1.C2.B3.A4.C5.D6.14cm7.75 :AB=BD,∠D=∠DAB=号∠ABF=7a, 8.459.C10.△APQ是等边三角形.证明如下： ,△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°.在 :AB=AC,∴∠BAE=∠BAF=2,BE= (AB=AC, 2BC,∠DAB=∠BAE.又：BH⊥AD,BEL △ABP和△ACQ中，{∠ABP=∠ACQ,∴，△ABP≌ BP=CQ, AE,'.BH-BE.'.BH-BC. △ACQ(SAS),∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ ∠BAP+∠PAC=60°，∠CAQ+∠PAC=60°， 即∠PAQ=60°.又，AP=AQ,∴.△APQ是等边三 角形.11，(1)：线段AC绕点A旋转到AF的位 置，.AF=AC.∠CAF=∠BAE,.∠CAF+ ∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在 6勾股定理及其逆定理 (AE=AB, 1.B2.D3.C4.D5.C6.B7.m2 △AEF和△ABC中， ∠EAF=∠BAC,.△AEF≌ 8.∠B=90°，AB=3,BC=4,AC= LAF-AC, √AB+BC=√32+4F=5.CD=12,AD=13, △ABC(SAS),∴.EF=BC.(2),AE=AB,∠ABC= AC=5,.CD+AC=52+122=132=AD, 65°，∴.∠AEB=∠ABC=65°.△ABC≌△AEF, ∴.△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，四边形 ∴.∠AEF=∠ABC=65°，·∠FEC=180°-∠AEF- ABCD的面积为2BC·AB+2DC·AC-2×4× ∠AEB=180°-65°-65=50°.，∠FGC是△EGC的 外角，且∠ACB=28°，∴.∠FGC=∠FEC+∠ACB= 3+号×12×5=36.9，△ABC是等腰三角形.理 63 寒假提优集训20天。 由如下：BD=8cm,AD=15cm,AB=17cm, ∴.BD+AD2=AB2,.△ABD为直角三角形， AD⊥BC.,AD是边BC上的中线，∴.AD垂直平分 BC,∴，AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形.10.在 8.(1):∠B=∠AED,.180°-∠B=180°- Rt△ACD中，由勾股定理得AC=AD2一CD.同 ∠AED,即∠BEA十∠BAE=∠BEA+∠CED, 理，AE=AD2-DE,BE=BD2-DE,∴AE- ,∠BAE=∠CED.在△BAE和△CED中， BE=AD:-DE2-(BD:-DE)=AD:-BD:. I∠BAE=∠CED, AD是边BC上的中线，.CD=BD,.CD= ∠B=∠C, ∴.△BAE≌△CED(AAS), BD,.AC=AE-BE.11.△AEF是直角三角 BE=CD, 形.理由如下：，四边形ABCD是正方形，.AB=BC= ∴.AE-=ED,∴∠EAD=∠EDA. (2)如图，过点E CD=AD=4.E是边BC的中点，∴.BE=EC=2. 作EF⊥AD于点F.由(1)知AE=ED.:∠AED= 又，DF=3CF,.DF-3,CF=1.在Rt△ABE中， ∠C=60°，.∠AEF=∠DEF=30°.DE=4, 由勾股定理得AE=AB十BE=20.同理可得EF= DF=2DE-号×4=2，AD=2DF=2X2=4, 5,AF=25,.AE+EF=AF2,.△AEF是直角 EF=√DE-DF=√4-2=2√3，.SAAD= 三角形且∠AEF-90°.12.(1)1：5(2)大正 2AD:EF=是×4X25=45, 方形的面积=c2=13,a=2,.b=c2-a2=13-22= 13一4=9，∴.b=3(负值含去)，小正方形的面积= (b-a)2=(3-2)2=1. 7勾股定理的应用 9.如图，连接AP,过点A作AF⊥BC于点F.,AB= 1.B2.B3.号4.245.x+6=(x+3 AC=5,BC=6,BF=CF=号BC=号×6=3.在 6.547.如图，连接AM.在Rt△ANM中，由勾股 Rt△AFB中，由勾股定理得AF=√AB一BF= 定理得AN-Af-MN.同理BN=BMf一MN严， √5-3=4.由图可得S△C=S△AB脚十S△r.PD⊥ AC=AM-CM,.AN:-BN AM-MN- AB,PELAC,∴2BC·AF=2AB·PD+2AC· (BMP-MN)=AMP-BMP.又，M为边BC的中 点，∴.BM=CM,∴.BM=CM,∴.AN-BN2= PE,即号×6X4=7×5PD+7×5PE,24= AM-CM=AC. 5(PD+PE),..PD+PE=4.8. 64八年级1数学 6 勾股定理及其逆定理 型础儿国 1.观察下列几组数据：①8、15、17：②7、12、15：③12、15、20：④7、24、25.其中能作为直角三 角形三边长的有 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2.下列各组数中，是勾股数的是 Ag号5 B.1、2、3 C.1.5、2、2.5 D.9、40、41 3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 () A.48 B.60 C.76 D.80 图1 图2 (第3题) (第4题) (第5题) 4.(2024·眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的 “弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的 面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 () A.24 B.36 C.40 D.44 5.(2023·日照)已知直角三角形的三边长a、b、c满足c>a>b,分别以a、b、c为边作三个正 方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形里，如图所示.设三个正方形未重叠部分 的面积为S,均重叠部分的面积为S2,则 () A.S>S2 B.S<S2 C.S=S2 D.S、S2的大小无法确定 能力提优 6.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,点D在AB的延长线上，且CD=AB, 则BD的长是 () A.10-√2 B.√6-2 C.22-2 D.2√2-6 (第6题) (第7题 7.如图，在△ABC中，AB=AC=m,P为边BC上任意一点，则PA+PB·PC的值为 寒假提优集训20大 8.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,D是R1△ABC外一点，连接CD, AD,且CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. 9.已知△ABC中，AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,请你判断△ABC 的形状，并说明理由， 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是边BC上的中线，DE⊥AB,垂足为E.请说明： AC=AE2-BE2. 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F在CD上，且DF=3CF, 试判断△AEF的形状，并说明理由. 12.我国古代数学家赵爽对勾股定理进行了证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示的 “弦图”，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面积=小正 方形的面积十4个直角三角形的面积，化简可证得勾股定理a2+b=c2, (1)若b=2a,则S小正有形：S大正方形= (2)如果大正方形的面积是13，a-2,求小正方形的面积. 应