4 线段、角的轴对称性-【寒假提优集训】2024-2025学年八年级数学20天（苏科版）

◆八年级1数学 线段、角的轴对称性 零础儿国 1.给出下列说法：①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等：②角是轴对称图形； ③线段不是轴对称图形；①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.其 中正确的是 () A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.②③④ 2.如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在边AB上的点E处，折 痕为BD.下列结论一定正确的是 A.AD-BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB 3.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB,交BC于点D.若 △ACD的周长为50cm,则AC+BC= () A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm F.cm (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD,交AB于点E,则 下列结论一定成立的是 () A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC 5.(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按如图所示的位置摆放，直尺边缘的 交点P在∠AOB的平分线上，则 () A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.1与l2一定相等 D.1与l2一定不相等 能力提优 6.如图，P是∠AOB外的一点，M、N分别是∠AOB的两边上的点，点P关 于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在 MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的o 长为 ( A.4.5 cm B.5.5 cm C.6.5 cm D.7 cm 寒假提优集训20大 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，D为BC的中点，过点D作BC的垂线， 交AB于点E,连接CE,作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于 点F,则∠F的度数为 A.30° B.35 C.40 D.55 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D.若△ABC 和△BCD的周长分别为21cm和13cm,求△ABC的各边长. 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点 E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接DE.求证：DE平分∠ADC 10.作△ABC的两内角∠A、∠B的平分线，设交点为O,点O在∠C的平分线上吗？试说明 你的猜想.你有什么新的发现？再作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点 为O,点O在∠C的平分线上吗？试说明你的猜想.你又有什么新的发现？你能用你的 发现解决下面的实际问题吗？ 直线1、2、l表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离 相等，请画出符合要求的点的位置，这样的点共有几个？寒假提优集训20天。 (SAS),∴.BE=CE.(2)∠BAC=45°，BF⊥AC 居民区B ·∠AFB=∠BFC=90°，△ABF为等腰直角三角 居民区 形，∠C十∠CBF=90°，∴.AF=BF.由(1)知AD⊥ 2街道 BC,∴.∠C+∠EAF=90°，.∠EAF=∠CBF.在 I∠EAF=∠CBF, 4线段、角的轴对称性 △AEF和△BCF中， AF-BF. ∴.△AEF≌ 1.C2.D3.C4.C5.A6.A7.B ∠AFE=∠BFC, 8.由题意知AB+AC+BC=21cm,BD+CD+ △BCF(ASA). BC=13cm.:DE垂直平分AB,∴.BD=AD, 3轴对称图形及其性质 ..BD+CD=AD+CD=AC,..AB=21-13= 1.A2.B3.B4.B5.8100766.(1)如图， 8(cm).又，'AC=AB,,.AC=8cm,,.BC=21-8- 四边形ABCD即为所求.(2)如图，六边形ABNCDM 8=5(cm).9.如图，过点E作EG⊥AD于点G,作 的周长为25+10. EH⊥BC于点H.:EF⊥AB,∠AEF=50°， .∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=180°-90°- 50°=40.又∠BAD=100°，.∠EAD=180° ∠BAD-∠EAF=180°-100°-40°=40°，∴.∠EAD= ∠EAF,∴EG=EF.又，点E在∠ABC的平分线 7.58.A或C9.(1)120°(2)点P关于l1、l2 上，EH=EF,∴EH=EG,∴点E在∠ADC的平 的对称点分别为P1、P2,.OP1=OP=OP2=3. 分线上，即DE平分∠ADC. P1P=5,△P1OPa的周长为OP1+OP+PP2= 3+3+5=11.10.答案均不唯一，例如：(1)如图1 D H 所示.(2)如图2所示.(3)如图3所示. 10.点O在∠C的平分线上.发现：①三角形三个内 角的平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相 等：②三角形两个外角平分线和第三个角的内角平分 图1 图2 图3 线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等.根 11.如图，作点A关于直线“街道”的对称点A',连接 据上述规律：要在三条公路旁建一个加油站，使它到 AB,交“街道”于点C,则点C就是所求作的点. 三条公路的距离相等，这样的点有4个，如图，其中点 62 ●八年级数学 P为△ABC的三个内角平分线的交点，点P,P2、P 50°+28°=78.12.(1)：AB=AC,∴.∠B= 为△ABC的外角平分线的交点， ∠ACB.设∠ACD=B,∠DCB=x,则 B+a=45°， 解得x=号+45，即∠DCB= 2(x+)+a=180°， 受十45、(2)如图，延长DB交AC于点F,过点A 作AE⊥BC于点E.:∠ABD十∠BAC=180°， 5等腰三角形的轴对称性 ∠ABD+∠ABF=180°，∴.∠ABF=∠BAC=a.又 1.C2.B3.A4.C5.D6.14cm7.75 :AB=BD,∠D=∠DAB=号∠ABF=7a, 8.459.C10.△APQ是等边三角形.证明如下： ,△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°.在 :AB=AC,∴∠BAE=∠BAF=2,BE= (AB=AC, 2BC,∠DAB=∠BAE.又：BH⊥AD,BEL △ABP和△ACQ中，{∠ABP=∠ACQ,∴，△ABP≌ BP=CQ, AE,'.BH-BE.'.BH-BC. △ACQ(SAS),∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ ∠BAP+∠PAC=60°，∠CAQ+∠PAC=60°， 即∠PAQ=60°.又，AP=AQ,∴.△APQ是等边三 角形.11，(1)：线段AC绕点A旋转到AF的位 置，.AF=AC.∠CAF=∠BAE,.∠CAF+ ∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在 6勾股定理及其逆定理 (AE=AB, 1.B2.D3.C4.D5.C6.B7.m2 △AEF和△ABC中， ∠EAF=∠BAC,.△AEF≌ 8.∠B=90°，AB=3,BC=4,AC= LAF-AC, √AB+BC=√32+4F=5.CD=12,AD=13, △ABC(SAS),∴.EF=BC.(2),AE=AB,∠ABC= AC=5,.CD+AC=52+122=132=AD, 65°，∴.∠AEB=∠ABC=65°.△ABC≌△AEF, ∴.△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，四边形 ∴.∠AEF=∠ABC=65°，·∠FEC=180°-∠AEF- ABCD的面积为2BC·AB+2DC·AC-2×4× ∠AEB=180°-65°-65=50°.，∠FGC是△EGC的 外角，且∠ACB=28°，∴.∠FGC=∠FEC+∠ACB= 3+号×12×5=36.9，△ABC是等腰三角形.理 63