专题02 长方体和正方体计算（拓展篇）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：长方体与正方体（拓展篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 知识点梳理 1 专题突破 2 突破点一：黏合后的表面积 3 突破点二：拼接后的表面积 5 突破点三：切割后的表面积 7 突破点四：挖走后的表面积 9 突破点五：拼接后的体积 10 突破点六：切割后的体积 12 突破点七：挖走后的体积 14 突破点八：物体变形之锻造 15 突破点九：物体变形之填补 17 突破点十：物体在水中的体积 18 突破点十一：展开图中的表面积和体积 20 突破点十二：涂色小正方体的个数 23 突破点十三：质数、自然数、因数倍数与长方体 24 突破点十四：不规则长方体的体积 26 突破点十五：捆扎彩带长度 27 综合突破 28 1.长方体和正方体相关计算公式 2.常用的体积和容积单位间的换算 3.正方体11种表面展开图 4.棱长与表面积与体积之间的关系 长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)同时扩大到原来的n倍,表面积就扩大到原来的n2倍,体积就扩大到原来的n3倍。如长方体的长、宽、高各扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的8倍,表面积就扩大到原来的4倍。 5.拼接表面积变化关系 n个相同的小正方体排成一排拼成一个长方体时,它们减少2(n-1)个面,每个面上有4条棱,则共减少8(n-1)条棱。 6.表面涂色的正方体相关规律 由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。 7.用排水法求不规则物体的体积 （1）被浸没物体的体积等于升高部分水的体积(水不溢出)。计算方法如下: ①容器的底面积×水面上升的高度; ②放入物体后水和物体的总体积-放入物体前水的体积。 （2）竖直插入未完全浸没时水高。计算方法如下: 水高=上升水的体积÷（容器底面积-插入的铁棒底面积）。 突破点一：黏合后的表面积 -----立体图形的表面积，是指露在外面的所有面的面积之和，黏合图形的表面积等于原图形的表面积减去黏合面的面积。 1.有一个零件如图所示，求它的表面积。（单位：厘米） 【分析】长方体表面积缺一个小正方形的面，可以用小正方体的一个面补齐，则小正方体剩下的表面积为4个小正方形的面。 【解答】(2×4+4×6+2×6)×2+2×2×4 =88+16 =104(平方厘米) 答:这个图形的表面积是 104平方厘米。 2.下图是由16个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。 【分析】此形状比较复杂，可以采用“三视图观察法”求解。 【解答】从前面看见的面是由7个小正方形组成的，前后面积相等； 从上面看见的面是由9个小正方形组成的，上下面积相等； 从右面看见的面是由7个小正方形组成的，左右面积相等； 表面积为1×1×[（7+9+7）×2]=46（平方厘米） 3.如图是用3个正方体木块堆成的多面体,其中最下面的正方体的棱长为10厘米,而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体上底面各边的中点。那么,这个多面体的表面积是多少平方厘米？ 【分析】此题也可以采用：三视图观察法求解，唯一困难的就是上面2个正方体的棱长必须先计算出来 【解答】因为4个顶点都在其下面正方体的底面的各边的中点上，所以中层正方体的底面积是下层大正方体底面积的一半，上层的正方体的底面积又是中层正方体的底面积的一半。如平面图所示 最下层的正方体看作是6个面齐全，则中上层正方体各剩下4个面的面积。 10×10×6=600（平方厘米） （10÷2）×（10÷2）×4=100（平方厘米） （10÷2÷2）2×4=25（平方厘米） 总表面积为600+100+25=725（平方厘米） 【综合点评】 (1)求组合图形的表面积时,先要观察是哪些图形黏合在一起,哪些地方是重合的,然后把规则图形的表面积加起来,减去重合部分的面积； (2)求比较复杂的黏合后图形的表面积时,可以分别找出此图形6个不同方向的视图,这6个不同方向的面积和就是所求的表面积。 突破点二：拼接后的表面积 -----当几个图形拼在一起时,组合后的表面积跟原来比会减少。拼成后的表面积,要使表面积最小,拼接面的总面积就要尽量大;要使表面积最大,拼接面的总面积就要尽量小。 1.把两块长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体物体拼成一个大的长方体,下面三种拼法中，得到的大长方体的表面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 【分析】共有三种拼法，不管哪种拼法，所得到的长方体比原来两个长方体的总表面积少两个面的面积。 【解答】拼掉的两个面的面积越大，得到的长方体的表面积就越小；否则就越大 答案：C、A 2.有三块完全一样的长方体木块,每块长8厘米,宽5厘米,高3厘米。要把它们拼合成一个大的长方体,这个长方体的表面积最大是多少?最小是多少? 【分析】方法同上 【解答】表面积最大（8×5+8×3+5×3）×2-3×5×2=128（平方厘米） 表面积最大（8×5+8×3+5×3）×2-8×5×2=78（平方厘米） 3.把3个完全相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是350平方厘米，每个正方体的表面积是多少平方厘米? 【分析】3个完全相同的正方体拼成一个长方体只有一种拼法，表面积减少了4个正方形的面积。 【解答】原来三个正方体共有的面的个数：6×3=18（个） 现在的长方体剩下的正方形的面的个数为18-4=14（个） 每个正方体的表面积=350÷14×6=150（平方厘米） 4.把一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体(如下图)。如果新的长方体的表面积比原长方体的表面积增加68平方分米,那么,这个正方体的表面积是多少平方分米? 【分析】拼成的长方体面积增加了4个正方形的面积。 【解答】68÷4×6=102（平方厘米） 5.用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体,拼成后得到的这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【分析】拼成表面积最小的长方体，就要形状接近正方体，我们算算体积，5×4×3×12=720（立方厘米），因为720=8×9×10=（2×4）×（3×3）×（2×5），显然就是拼成 8×9×10的表面积最小，由此利用长方体的表面积公式即可解答。 【解答】此时表面积是：（8×10+9×10+8×9）×2， =（80+90+72）×2， =242×2， =484（平方厘米）， 答：拼成的这个长方体的表面积是484平方厘米． 故答案为：484． 【综合点评】 (1)拼成的图形的表面积等于原图形表面积减去拼接面的面积; (2)拼成后,要使表面积最小,拼接面的总面积就要尽量大和多;要使表面积最大,拼接面的总面积就要尽量小和少。 突破点三：切割后的表面积 -----物体切割后的表面积跟原来比会增加，通常切一刀增加2个面。切割后的表面积,求切割后图形的表面积比原来多多少,可以转化成求增加的面的面积。 1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块,锯成两个完全相同的长方体后,表面积比原来大长方体表面积大多少平方厘米? 【分析】这类题旨在考查长方体的表面积计算公式，长方体的表面积等于长乘宽加长乘高加宽乘高的和乘2，此题中有三种不同的锯法，增加的两个面的面积也不同，所以有三种可能. 【解答】(10×8+10×6+8×6)×2 =(80+60+48)×2 =376(平方厘米) 10×8×2+376=536(平方厘米) 10×6×2+376=496(平方厘米) 8×6×2+376=472(平方厘米) 答：表面积之和可能是536平方厘米、496平方厘米、472平方厘米. 故答案为： 536平方厘米；496平方厘米；472平方厘米. 2 把一块12cm×9cm×18cm的长方体木块分割成三块同样大小的小长方体(不考虑分割过程的损耗),总的表面积最大为多少？ 【分析】最大的面是12cm×18cm,应在长为9厘米的棱上进行分割。 【解答】(12×9+12×18+9×18)×2+12×18×4 =(108+216+162)×2+216×4 =486×2+864 =972+864 =1836(平方厘米) 答:应在长为9厘米的棱上进行分割.总的表面积最大为1836平方厘米。 故答案为:9cm,1836cm2. 3.一个正方体的棱长是10分米,如果把正方体切割成棱长是2.5分米的小正方体。求: (1)小正方体的个数。 (2)切割后所有小正方体的表面积。 【分析】如下图所示。 【解答】 (1)10-2.5=4(个)。 小正方体共有:4×4×4=64(个) (2)解法一:一个小正方体的表面积:2.5×2.5×6=37.5(平方分米) 64个小正方体的表面积之和:37.5×64=2400(平方分米) 解法二:64个小正方体所有上、下面的总面积:10×10×8=800(平方分米) 同理,所有小正方体前、后面,左、右面的总面积也是800平方分米。 所以,切割后所有小正方体的表面积之和为:800×3=2400(平方分米) 4.一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又按任意尺寸锯成4条,每条又按任意尺寸锯成5块,共得到大大小小的长方体60块,如下图。求这60块长方体的表面积之和是多少平方米? 【分析】根据题意可得：每锯一刀，就增加两个1平方米的表面，只要求出一共锯了几刀，即可求出一共增加了多少面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和；沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9(刀)；表面积一共增加了（9×2）平方米，至此，问题不难得解。 【解答】这60个小长方体的表面积之和是： 1×1×6+9×2×1×1 =6+18 =24（平方米） 答：这60块长方体表面积的和是24平方米。 【综合点评】 (1)解决此类题目的关键是理清切割成的几个立体图形的长、宽、高、表面积及体积相对于原立体图形发生了哪些变化; (2)立体图形切割后改变的是表面积,体积与原来比不会改变。 突破点四：挖走后的表面积 -----在一个正方体(长方体)上挖去一个比它小的正方体(长方体)时,若在8个顶角处挖去一个角时表面积不变,若在6个面上各挖去一个(没有挖穿)时,表面积增加。挖走后的表面积,关键在于找出挖走后的图形增加了哪些面,减少了哪些面,进而判断表面积是不变，还是增加或减少。 1. 一个正方体挖去一个长方体后(如图,单位:厘米),剩下的图形的表面积是多少? 【分析】一个长方体从顶角处挖去一个长方体后，表面积不变（减少三个面又增加了相同的三个面，相互抵消，所以表面积不变） 【解答】15×15×6=1350（平方厘米） 2.有一个长方体形状的零件,中间挖去一个长方体的孔(如图),你能算出它的表面积吗?(单位:厘米) 【分析】长方体挖去一个2×3×2的长方体后，表面积减少三个面积，增加两 3个面。 【解答】（6×3+6×4+3×4）×2+2×3×2-2×2×2=112（平方厘米） 3.立体图形中的每个面的中间,有一个截面边长为2厘米的正方形通孔。求这个立体图形的表面积。 【分析】每个面都增加了4个面（每个面都是2×2的） 【解答】表面积=6×6×6+2×2×24=312（平方厘米） 【综合点评】 把一个立体图形挖走一部分后,原来的表面积或体积都会发生变化,表面积可能增加、减少或者不变,体积往往不断减少。 突破点五：拼接后的体积 ----正方体的体积=棱长×棱长×棱长,长方体的体积=长×宽×高。拼接后的体积,拼接前后原物体的体积不变,可以通过变化的表面积求体积。 1.将两个完全一样的正方体拼成一个新的长方体,其表面积比原来两个正方体的表面积和减少了72平方厘米,求原正方体的体积。 【分析】总体表面积减少了2个面。（每个面都是正方形） 【解答】72÷2×（6×2-2）=360（平方厘米） 2.将3个宽的表面积小长方体如图所示拼接在一起得到一个新的长方体,其表面积比3个小长方体的表面积和减少了16平方米。求小长方体的体积。 【分析】总体表面积减少了4个面的面积。 【解答】体积=横截面积×长=16÷4×（2+2+2）=24（立方米） 3.一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加 90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。原长方体的表面积与体积各是多少? 【分析】由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米，长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 【解答】长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米． 同理可知长×高=90÷3=30平方厘米，长×宽=96÷4=24平方厘米， （长×宽+长×高+宽×高）×2 =（24+30+20）×2， =74×2， =148（平方厘米）； 答：原长方体的表面积是148平方厘米。 【综合点评】 (1)学会灵活运用和转换公式:长方体的体积=长×宽×高=底面积×高=横截面积×长;正方体的体积=棱长×棱长×棱长; (2)拼接后的新立体图形的表面积,与原立体图形的表面积和相比,少了每个连接处的两个连接面的面积; (3)解决此类题目的关键是弄清增加一个立体图形后,原立体图形的长宽、高、表面积及体积将如何变化。 突破点六：切割后的体积 ----立体图形切割后的体积与原体积比，不会发生改变；切割后的体积,关键是理清切割后的几个立体图形的长、宽、高、表面积及体积相对于原立体图形发生了哪些变化,增加的表面积对应的哪些面。 1.如图所示，将一个长为9厘米的长方体截成任意的3段,截后三个小长方体的表面积之和比原长方体的表面积增加了24平方厘米。求原长方体的体积是多少立方厘米? 【分析】整体表面积比原来增加了4个横截面积。 【解答】体积=横截面积×长=24÷4×9=54（立方厘米） 2.一个长方体木块,从上部和下部分别裁去高为4厘米和高为3厘米的长方体后(如下图),便成为一个正方体,表面积减少了140平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米? 【分析】这个小长方形的宽实际上就是原长方体的长和宽，原长方体的高就是裁去的长方形的长再加上5厘米。 【解答】根据题意，因为长方体的高减少了(4+3)厘米后，得到了一个正方体，可得原长方体的底面是一个正方形。为了便于计算，我们可以把上下两部分裁去的小长方体合在一起，看成从一端裁去了(4+3)厘米。这样，表面积减少的140平方厘米，实际上就是长为(4+3)厘米的小长方体的4个侧面积之和。因此，裁去的每个小长方形的面积为:140÷4=35(平方厘米) 由题目可知，这些小长方形的长为:3+4=7(厘米)， 因此，小长方形的宽为:35÷7=5(厘米) 裁去的小长方形的宽为:140÷4÷（3+4）=5(厘米) 原长方体的体积为:5×5×(4+3+5) =300(立方厘米) 答:原长方体的体积是300立方厘米。 3.把一个长方体的小木块切成两段,就成了两个完全相等正方体,于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体棱长之和增加80厘米。原来那个长方体的体积是多少呢? 【分析】涨价了2个正方形的面，即增加了8条宽或高。 【解答】正方体的棱长:40÷8=5(厘米)长方体的高:5×2=10(厘米)长方体的体积:5×5×10=250(立方厘米) 答:原来那个长方体的体积是250立方厘米。 4.一个长方体,我们打算把它切割,如果切面与前后面平行,则表面积增加174平方厘米;如果切面与左、右面平行,则表面积增加138平方厘米;如果切面与上、下面平行,则表面积增加1334平方厘米;那么这个长方体的体积是多少? 【分析】切割一个长方体时，切面与前后面平行，则表面积增加两个与前后面平行的面 同理，上下两个面及左右两个面也各增加了2个面的面积。 【解答】长×高=174÷2=87平方厘米， 同理:宽×高=138÷2=69平方厘米， 长×宽=1334÷2=667平方厘米， ∴这个长方体的体积是: （长×宽×高）2=87×69×667=3×29×23×3×29×23=（3×23×29）2 ∴体积为3×23×29=2784（立方厘米） 【综合点评】 (1)解决此类题目的关键是理清切割成的几个立体图形的长、宽、高、表面积及体积相对于原立体图形发生了哪些变化; (2)立体图形切割后改变的是表面积,体积与原来比不会改变。 突破点七：挖走后的体积 ----一个立体图形，如果被挖走一部分,体积一定会减少；挖走后的体积,剩下的图形的体积可以由原体积减去挖走的体积；或者把剩下的图形又分割成几个图形,分别求出再相加,计算时一定要注意是否有重叠的情况。 1.一个正方体木块,棱长为10厘米,第一次在上面挖去一个棱长为3厘米的正方体小洞;第二次再在第一个小洞顶部中心挖去一棱长为2厘米的正方体小洞,第三次再在第二个小洞的底部中心挖去一个棱长为1厘米的正方体小洞。所得几何体表面积和体积各是换个角度想一想多少? 【分析】第1次挖后表面积增加:3×3×4 第2次挖后表面积增加:2×2×4 第3次挖后表面积增加:1×1×4 【解答】所得几何体的表面积为: 10×10×6+3×3×4十2×2×4+1×1×4 =544(平方厘米) 体积为:10×10×10-3×3×3-2×2×2-1×1×1=964(立方厘米) 答:所得图形的表面积为 544 平方厘米,体积为 964 平方厘米。 2.工厂要对一种零件进行加工,这个零件为长方体,长为1米,宽为0.6米,高为0.6米。要在这个长方体上挖走一个棱长为0.2米的正方体,再在这个小洞的底部挖一个棱长为0.1米的正方体。加工后的零件体积是多少? 【分析】每次都减少一个正方体的体积。 【解答】1×0.6×0.6=0.36(m3) 0.2×0.2×0. 2=0.08 (m3) 0.1×0.1×0.1=0.001(m3) 0.36-0.008-0.001=0.351(m3) 3.有一个长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体,先从中尽可能大地切下第一个正方体,再从剩余部分中尽可能大地切下第二个正方体,再从残余部分中尽可能大的切下第三个正方体。至少还剩下多少立方厘米? 【分析】如图所示 【解答】7-4=3(厘米)，5-3=2(厘米) 7×5×4-43-33-23=41(立方厘米) 答:剩下的体积是41立方厘米。 【综合点评】 在挖的过程中,由于面会逐步增多所以表面积通常会增加,但体积却会不断减少。 突破点八：物体变形之锻造 ----将一个物体变形成为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变。 1.把一个棱长6分米的正方体钢材,锻造成一段宽3分米、高2分米的长方体钢材。这段钢材的长是多少米? 【分析】在锻造的过程中，体积没变，据此可列方程求，也可采用算术方法解。 1、解法一：设钢件长为x分米。 3×2×x=63 6x=216 x=36 答：这个长是36分米。 解法二：6×6×6÷(3×2) =216÷6 =36(分米) 答：这个长是36分米。 【点评】从一种形状锻造成另一种形状，此过程中体积不变。 2.将一个长 15 厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铁块和一个棱长10厘米的正方体铁块和铸成一个长20厘米。宽14厘米的长方体铁块(不考虑损耗),新得到的长方体的高是多少厘米? 【分析】要求新得到的长方体的高是多少厘米，必须先求出这个长方体的体积是多少； 新得到的长方体的体积等于长15厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铁块和一个棱长10厘米的正方体的体积；然后再根据长方体的体积计算公式，用新得到的长方体的体积除以它的长和宽的积即可解答。 【解答】 15×12×10+10×10×10 =1800+1000 =2800（立方厘米） 2800÷(20×14) =2800÷280 =10（厘米） 3.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗)。求这个大正方体的体积。 【分析】 正方体表面积=正方形面积×6，由此可分别求出三个小正方体的一个面的面积，进而得到其棱长；正方体体积=边长×边长×边长，由此可分别求出三个小正方体体积，根据熔铸前后体积不变，再求和即就是大正方体的体积。 【解答】 24÷6=4（平方厘米）， 因为2的平方是4，所以棱长是2厘米； 54÷6=9（平方厘米）， 因为3的平方是9，所以棱长是3厘米； 216÷6=36（平方厘米）， 因为6的平方是36，所以棱长是6厘米； 23+33+63 =8+27+216 =251（立方厘米）； 答：这个大正方体的体积是251立方厘米。 【点评】本题考查了有关正方体表面积和体积的计算，关键是熟练掌握正方体表面积和体积的计算公式。 【综合点评】 （1）锻造类问题的核心是锻造前后的体积不变,常常可以利用锻造前的体积去求锻造后的长、宽、高等问题。 （2）解答锻造问题的关键是抓住锻造前后的体积完全一样,锻造前的体积或锻造后的体积往往是解题的钥匙。 突破点九：物体变形之填补 ----一个物体要放进一个容器中,它的体积必须比容器的体积小，且这个物体长、宽、高必须分别小于容器的长、宽、高。 1.长2米,宽1米,高0.5米的长方体箱子,放人棱长为10厘米的正方体小盒,最多可以放人多少个? 【分析】要注意比较棱的长度，在解决实际问题的时候，要考虑有剩余的空间。本题长方体的长宽高都是正方体棱长的倍数，所以可以用两种方法解决。 【解答】2米=200厘米 1米=100厘米 0.5米=50厘米 方法一：200×100×50÷（10×10×10）=1000（个） 方法二：（200÷10）×（100÷10）×（50÷10）=20×10×5=1000（个） 2.长40厘米、宽32厘米、高30厘米的长方体木箱内,放入棱长4厘米的正方体小木块,最多可以放几块? 【分析】考虑到有剩余空间不能占满的问题，此题只能用棱的倍数关系解决。。 【解答】40÷4=10 32÷4=8 30÷4≈7 10×8×7=560（个） 3.有一个长方体盒子,从里面量长40厘米、宽12厘米、高7厘米,在这个盒子里面放长,宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米的长方体木块,最多可以放到多少块?怎样放? 【分析】尽量把空间占满，所放的块数就多。 【解答】分上下两层来分析：上层高3厘米，可放 (40÷5)×(12÷4) =8×3 =24(块) 下层高4厘米，可放 (40÷5)×(12÷3) =8×4 =32(块) 24+32=56(块) 答：最多可以放56块 【综合点评】 （1）填补是一个综合性很强的类型,需要我们同时考虑长、宽、高都是否满足要求,不仅是总体积相等,还要考虑形状是否吻合。 （2）填补问题不仅要考虑体积,同时要考虑边长,要善于在变化中抓住不变。 突破点十：物体在水中体积 ----在一个装有水的容器中放入一个物体,水面会上升;取出一个物体,水面会下降。物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。 1.把棱长为10厘米的正方体放人一个长25厘米、宽20厘米的装有水的长方体玻璃缸内,求这个玻璃缸内水面上升多少厘米?(玻璃缸内水不溢出,且正方体完全浸没) 【分析】完全浸没的物体的体积=排开水的体积 【解答】103÷（25×20）=2（厘米） 2.在一只长50厘米、宽40厘米的长方体玻璃缸中放人一块棱长10厘米的正方体铁块,这时水深20厘米。若把这个铁块从长缸中取出,缸中的水面高多少厘米? 【分析】水深20厘米，正方体的铁块棱长为10厘米，所以铁块完全浸没在水中。取出铁块体积=下降水的体积。 【解答】103÷（50×40）=0.5（厘米） 水高20-0.5=19.5（厘米） 3.一个长方体水箱,从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米,放进一个棱长20厘米的正方体的铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米? 【分析】未完全浸没在水中的物体，容积的水高=水的体积÷水的底面积 【解答】40×30×10÷（40×30-20×20） =12000÷800 =15（厘米） 4.如图,有一个空的长方体容器A和一个盛有水的长方体容器B.水深24厘米。将容器B中的水倒一部分到容器A中,使两个容器中水的高度相等,这时水深多少厘米？ 【分析】采用整体思想，求出水的高度。 【解答】30×20×24÷（30×20+40×30） =14400÷1800 =8（厘米） 【综合点评】 (1)一个容器中的水倒入另一个容器中,倒入前后水的体积不变; (2)将一个物体浸在水中,完全浸入时,底面积为原来物体的底面积;部分浸入时,底面积为原来的减去被浸入物体的底面积。 突破点十一：展开图中的表面积和体积 1. 如图所示,将它折成-个正方体,相交于同一顶点的三个面点的数之和最大的值是多少？ 【分析】利用相对于相邻排除。 【解答】因为5和6相对，所以相交于同一顶点的三个数字是3、4、6，其和为3+4+6=13 2.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如图1,从正面看这个立体,如图2,则这个立体表面积和体积最多是多少？ 【分析】由图1可得最底层正方体的个数及正方体摆放的基本形状，由图2可得第2层摆放几何体最多把俯视图中从左边数1，2，4列的正方体上都摆放几何体，进而按照上下，左右，前后方向计算该组合几何体的表面积即可。 【解答】图1可得最底层正方体有8个正方体； 由图2可得第2层摆放几何体最多把俯视图中从左边数1，2，4列的正方体上都摆放几何体，共有5个正方体， ∴从上面看可得到8个正方体，面积为8×12=8， 从正面看可得到8个正方体，面积为8×12=8， 从左面看露出正方体的面有8个，面积为6×12=6， ∴这个立体的表面积最多为（8+8+6）×2+4=48 故答案为：48． 【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积． 【考点点评】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数即为最底层正方体的个数；求组合几何体的面积应按照一定的规律求解。 3. 如图是一个长方体的平面展开图,求这个长方体的表面积。 【分析】长方体展开图及表面积 【解答】高为（40-15×2）÷2=5（厘米） 长为15厘米，宽为10厘米 表面积为（10×15+15×5+10×5）×2=550（平方厘米） 4.聪聪想做一个正方体纸盒,展开图如下图所示。想想,折起来会是( )。 【分析】考查正方体展开图 【解答】有圆的两个面是相对面，通过相对面排除选项A、B；答案为C 5.有一块宽为16厘米的长方形铁皮在它的四角上分别剪去边长为4厘米的正方形,将它焊成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的体积是768立方厘米,原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米? 【分析】由题干得到，高为4厘米，宽为16-4×2=8（厘米），在通过体积公式求出长方体的长即可。 【解答】长方体的高为4厘米，宽为16-4×2=8（厘米） 长为768÷4÷8=24（厘米） 长方体表面积为（24×8+24×4+8×4）×2=640（平方厘米） 6.把长为16厘米、宽为10厘米的长方形厚纸的四个角上各剪去一个边长为整厘米的小正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子。当剪掉小正方形的边长为（ ）厘米时,这个盒子的容积最大为多少立方厘米? 【分析】长方体的体积=长×宽×高，我们在计算长方体的体积或是容积时，只要找出相应的长和宽以及高的数据，根据公式来解答此题中我们找出长方体的高即笑正方形的边长是关键. 【解答】正方形的边长可以是1厘米，2厘米，3厘米，4厘米 ﹙16－2×1﹚×﹙10－2×1﹚×1＝112﹙立方厘米﹚； ﹙16－2×2﹚×﹙10－2×2﹚×2＝144﹙立方厘米﹚； ﹙16－3×2﹚×﹙10－2×3﹚×3＝120﹙立方厘米﹚； ﹙16－2×4﹚×﹙10－2×4﹚×4＝64﹙立方厘米﹚. 正方形边长是2厘米时容积最大 【综合点评】（1）此类题型重点考查学生的空间思维能力 （2）能正确确定长方体的长宽高，正确运用体积公式进行计算 突破点十二：涂色小正方体的个数 1.把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色,然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中,三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个? 【分析】由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。 【解答】三面涂色：8个 两面涂色：（4-2）×12=24（个） 一面涂色：（4-2）2×6=24（个） 0面涂色：（4-2）3=8（个） 2.将一个棱长为5厘米的立方体的六个面都涂上红色,然后将这个立方体切成125个棱长为1厘米的小立方体,至少有一个面是红色的小立方体有多少个？ 【分析】关键是求出小正方体的棱长，在利用规律求出一面涂色小正方体的个数即可。 【解答】125=53 大正方体棱长为5厘米，小正方体的棱长为1厘米 一面涂色个数为（5-2）2×6=54（个） 3.下图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体,它的底层由5×4个小正方体构成。如果把它的外表面(包括底面)全部涂成红色,那么当这个几何体被拆开后,有3个面是红色的小正体有多少块？ 【分析】可以按照从上至下顺序求出 【解答】三层3面涂色的小正方体的个数为角上的4个 下层3面涂色的是四个侧面个3个 一共4+3×4=16（个） 【综合点评】 （1）能理解并熟练运用正方体分割后涂色面的个数的规律进行计算 （2）不同的题型要仔细观察，按一定的顺序加以计算 突破点十三：质数、自然数、因数倍数与长方体 1.一个长方体的相邻两个面的面积之和为77平方厘米,它的长、宽、高都是整数厘米,且都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【分析】考查分解因数、和的奇偶性，化曲为直数学思想 【解答】77=7×11 分两种情况讨论： ①当a=7时，则（b+h）=11，因为a、b、h都为质数，根据和的奇偶性得出b和h中一定有个偶质数2，即a、b、h三个数为7,2,9；由于9是合数，不符合题意舍去 ②当a=11时，则b+h=7=2+5 所以a、b、h三个数为11,2,5，体积为2×5×11=110（立方厘米） 2.下图是-个长16厘米的长方体的示意图,已知它的正面和上面的面积之和为240平方厘米。若宽和高的厘米数均为质数,则它的体积是多少? 【分析】因为长已知，所以b+h=240÷16=15（厘米） 【解答】15=2+13 所以长、宽、高分别为15厘米、13厘米、2厘米 体积为15×13×2=390（立方厘米） 3.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是90,如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数,那么这个长方体的体积是多少？ 【分析】上面与正面的面积为a×（b+h），90可以分解为9×10，2×45,3×30,5×18,6×15，其中符合题意的是6×15=6×（7+8） 【解答】90=6×（7+8） 所以长方体的体积为6×7×8=336 4.一个长方体的正面和上面的面积之和为 91平方厘米,已知长、宽、高的厘来数均为质数,则这个长方体的体积是（ ）立方厘米或者（ ）立方厘米。 【分析】考查分解因数、和的奇偶性，化曲为直数学思想 【解答】 ①第一种情况：91=7×13=7×（2+11），体积为2×7×11=154（立方厘米） ②第二种情况：91=13×7=13×（2+11），体积为2×11×13=286（立方厘米） 5.把一个长 75厘米、宽30厘米、高45厘米的长方体木块切成大小相等的小正方体木块而没有剩余,小正方体木块的棱长最长是多少?可切成多少个小正方体木块? 【分析】求三个数的最大公因数 【解答】（75,30，45）=15 小正方体的棱长最长为15厘米，个数为（75÷15）×（30÷15）×（45÷15）=30（个） 6.用长为4厘米、宽为3厘米、高为2厘米的长方体木块拼成一个实心正方体,至少需要（ ）个这样的长方体。 A.4 B.24 C.48 D.72 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，再求出长方体的长、宽、高的最小公倍数，也就是拼成正方体的棱长，最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积是长方体体积的多少倍即可解答。 【解答】[4,3,2,]=12 拼成的正方体的棱长至少是12厘米 个数为（12÷4）×（12÷3）×（12÷2）=3×4×6=72（个） 【综合点评】此类题型是考查学生的各方面知识素养和解题能力，能采用化曲为直的数学思想和数的分解和组合方法进行解题。 突破点十四：不规则长方体体积 1.计算下面几何体的体积。（单位：cm） 【分析】可以采用横截面积×长的方法解决 【解答】（1）前面面积为梯形面积（4+6）×4÷2=20（平方厘米），长为3厘米 体积为20×3=60（立方厘米） （2）前面面积：6×2+2×2=16（平方厘米），长为3厘米 体积为16×3=48（立方厘米） 2.有一个深5分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形，当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。容器内的水有多少升？（不考虑容器的厚度） 【分析】同上 【解答】（2+5）×3÷2×3=31.5（立方分米） 【综合点评】计算此类不规则长方体的体积，就是用横截面积×长的计算方法正确计算。 突破点十五：捆扎彩带长度 1.聪聪要个明明同学送一个生日礼物,用彩带捆扎盒如下图所示,为了美观要留出12厘米的彩带来打结。捆扎这个盒子需要彩带多少厘米？ 【分析】采用三视图法解决即可。彩带的总长度包含2条长、2条宽、4条高的长度再加上彩带打结部分的长度。 【解答】 彩带的总长度为: 70×2+20×2+30×4+12=312(厘米) 所以,捆扎这个盒子需要彩带312厘米。 2.某快递公司把一个正方体形状的物体用纸箱包装好，再用包装绳以如图所示的方式捆起来，一共要用多少厘米长的包装绳?(接头处共用了20cm长的包装绳) 【分析】彩带长度为16条高的长度加上结的长度。 【解答】 40×16+20 =640+20 =660（㎝） 答：一共要用20厘米长的包装绳。 3.李老师从国外买回一些特产,到机场将其打包成如下图所示的长方体纸箱，每个结口处有3厘米重叠，一共用了多少米打包带? 【分析】打包带的长度包含4条长、4条宽、8条高及4个重叠结口长度。 【解答】28×4+20×4+15×8+3×4=324(厘米) 324厘米=3.24米 答:一共用了3.24米打包带。 【综合点评】关键是找到捆扎带是由几条棱组合而成，并能熟练运用棱长的相关计算公式正确计算。 1.把一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体(如图)。如果新长方体的表面积比原长方体的表面积增加64平方分米,那么这个正方体的体积是多少? 【分析】增加了4个正方形的面积 【解答】64÷4=16=4×4 正方体的旅程为4厘米 体积为4×4×4=64（立方厘米） 【点评】能够正确判断增加的面积是哪些面的面积，在利用体积公式正确计算 2.将3个长为4米的完全一样的小长方体拼成一个大的长方体,表面积比原来减少了16平方米。求原来每个小长方体的体积是多少立方米? 【分析】拼接后的表面积减少了4和面的面积（横截面积） 【解答】16÷4×4×3=48（立方米） 【点评】考查拼接图形表面积，要抓住减少的面积是几个面的面积，求出横截面积，在利用横截面积÷长求出体积 3.一个长方体大木块,从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为个正方体,表面积减少了120平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米? 【分析】此题与第一题类似，可以把3厘米和2里面的长方体组合成一个大长方体，减少的面积是5厘米高的长方体的侧面积，再求出底面正方形的边长即可 【解答】底面周长=侧面积÷高=120÷（3+2）=24（厘米） 底面正方形的边长为24÷4=6（厘米） 原来长方体的体积为6×6×（2+3+6）=396（立方厘米） 【点评】关键要要把上下两个长方体组合起来进行分析思考，判断减少的面积是什么面积，从而利用相关公式正确计算 4.小东做了一个长方体模型,表面积是160平方厘米,这个长方体恰好能够分割成两个完全一样的正方体。那么:(1)其中一个正方体的体积是多少?(2)原来这个长方体的体积是多少? 【分析】有题意可知，可以把这个长方体看作是由两个正方体组成的，其表面积是由10个正方形的面组成的 【解答】160÷10=16=4×4 （1）正方体体积为4×4×4=64（立方厘米） （2）原来长方体的体积是64×2=128（立方厘米） 【点评】抓住正方体去分析是解题关键，只要得出正方体的棱长在利用体积公式正确计算即可 5.有一个棱长是12厘米的正方体木块,从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 【分析】考查挖穿后的体积，用正方体的体积减去挖掉的体积 【解答】12×12×12-12×4×4×3+4×4×4×2=1728-576+128=1280（立方厘米） 【点评】考查学生的空间思维能力，把三个面挖掉的长方体看成一样的几何体，减去这三个长方体的体积后加上2个重复减去的核心部分的正方体的体积。 6.一个长、宽、高分别为19厘米、14厘米和10厘米的长方体,现在从它上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再以第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体。剩下的体积是多少? 【分析】如图所示，切下的第一个正方体的棱长为10厘米，第二个棱长为19-10=9厘米，第三个棱长为14-9=5厘米 【解答】19×14×10-10×10×10-9×9×9-5×5×5=806（立方厘米） 【点评】考查学生空间思维能力，通过练习能得出题型解题思路：第一个正方体棱长长度为长方体最短的一条的棱的长度，第二个正方体的棱长长度为长方体最长边减去第一个正方体的棱长长度，第三个正方体的棱长长度为第二长边减去第二个正方体的棱长长度。 7.将一个长 28cm、宽18cm 的长方形铁片的四个角各截去一个边长为4cm的正方形。再将此铁片折成一个无盖的长方体容器。容器的容积为（ ）cm2。 【分析】求出长方体的长、宽、高即可。 【解答】长为28-4×2=20（厘米） 宽为18-4×2=10（厘米） 高为4厘米 容积为20×10×4=800（立方厘米） 【点评】考查长方体的表面展开图，会看图计算出长方体的长、宽、高，再利用体积公式正确计算即可。 8.用四块同样的长方形和两块同样的正方形纸板做成一个长方体形状的纸箱,它的表面积是266平方分米,长方体的长、宽、高的长度都是整数分米,并且使纸盒的容积尽可能大。求这个纸箱的容积最大是多少。 【分析】根据长方体的表面积的意义，长方体的表面积是指6个面的总面积，要使这个纸箱的容积最大，也就是长方体的长、宽、高的差越小体积就越大．因此，可以设长方体的长（长和宽相等）为a分米，长方体的高为h分米，根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，已知它的表面积是266平方分米，由此可以求出长、宽、高；再根据长方体的体积（体积）公式： v=abh，把数据代入公式解答． 【解答】设长方体的长（长和宽相等）为a分米，长方体的高为h分米， 由表面积公式得： a×a×2+a×h×4=266，利用乘法分配律   2（a×a+2ah）=266， 2（a×a+2ah）÷2=266÷2，     a×a+2ah=133，    a（a+2h）=133， 把133分解质因数133=7×19，19=7+2×6， 所以，a=7，h=6． 这个纸箱的容积是： 7×7×6=294（立方分米）． 答：这个纸箱的容积是294立方分米． 【点评】此题解答关键是根据长方体的表面积公式，列分解求出长、宽、高，再根据长方体的容积（体积）公式解答。 9.某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别是235厘米、445厘米 515厘米的尼龙带进行加固(如下图)。若每根尼龙带加固时带头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装的体积是多少立方米? 【分析】三根尼龙带长度分别是：（长+宽）×2+带头，（宽+高）×2+带头，（长+高）×2+带头 【解答】长+宽+高=（235-5+445-5+515-5）÷2÷2 =1180÷4 =295厘米 长=295-（235-5）÷2=180厘米 宽=295-（445-5）÷2=75厘米 高=295-（515-5）÷2=40厘米 这个长方体包装箱的体积是： 180×75×40=540000立方厘米=0.54立方米 答：这个长方体包装箱的体积是0.54立方米． 【点评】此题关键就是先求出一组长、宽、高之和，再分别求出长、宽、高即可。 10.将一个长20厘米、宽12厘米、高15厘米的长方体铁块和一个棱长10厘米的正方体铁块合铸成一个长23厘米、宽10厘米的长方体铁块(不考虑损耗)。新得到的长方体的高是多少厘米? 【分析】熔铸问题主要抓住体积不变 【解答】20×12×15+10×10×10=4600(cm3) 4600÷23÷10=20(cm) 【点评】抓住体积不变，熟练利用体积相关公式正确计算 11.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体。已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高是多少? 【分析】关键是通过正方体的表面积求出棱长，通过体积不变，再求出长方体的高。 【解答】因为216÷6=36(平方厘米) 36=6×6 384-6=64(平方厘米) 64=8×8 所以两个正方体铁块的边长分别是6厘米和8厘米，两个正方体铁块的体积分别为 6×6×6=216(立方厘米) 8×8×8=512(立方厘米) 两个正方体的体积和就是这个新铸成的长方体的体积，即216+512=728(立方厘米) 这个长方体的高是 728÷13÷7 =56÷7 =8(厘米) 答:这个长方体的高是8厘米。 【点评】通过正方体的表面积求出棱长，后求出正方体的体积，利用体积公式求出长方体的高；考查学生对公式的灵活运用和计算的能力 12.用棱长为13分米的正方体纸箱装糖果盒,已知糖果盒的棱长是4分米的正方体,那么这个纸箱最多可以装多少个糖果盒? 【分析】利用棱的倍数关系正确计算 【解答】13÷4≈3 3×3×3=27（个） 【点评】此题要考虑空隙，所以只能利用棱的倍数关系计算个数，切记不能利用体积的倍数关系计算。 13.将长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米的小长方体放入长、宽、高分别是40厘米、12厘米、7.5厘米的大长方休盒子内,最多可以放多少个? 【分析】把大长方体分成40、12、4 和 40、12、3.5两部分来放小长方体。 【解答】（40÷5）×（12÷3）×（4÷4）=32（个） （40÷5）×（12÷4）×（3.5÷3）≈24（个） 一共32+24=56（个） 【点评】关键是根据棱的长度进行适当分组即可 14.有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米如果把一块棱长2分米的正方体物块浸入水中,水面上升多少分米? 【分析】完全浸没在水中的物体，体积为上升水的体积 【解答】2×2×2÷（5×4）=0.4（厘米） 【点评】浸没在水中的物体体积等于排开水的体积 15.有一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中,放入一个棱长为10厘米的正方体石块,鱼缸内水的高度达到( )厘米。这时鱼缸内的水上升了（ ）厘米。 【分析】上升的水的体积等于正方体石块的体积，先求正方体石块体积，再除以玻璃鱼缸的底面积，得出上升的高度，再加原水深可得现在水的高度． 【解答】10×10×10÷50÷40， =1000÷50÷40， =0.5（厘米）， 0.5+20=20.5（厘米）， 答：这时鱼缸内的水上升了0.5厘米，鱼缸水的高度达到20.5厘米． 故答案为：0.5，20.5． 【点评】考查排水法球不规则物体体积，根据物体的体积=排开水的体积，求出上升水高即可解决问题 16.有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为6米、3米、2米,把两堆碎石分别沉人中小池里,两个水池水面分别上升了4厘米和6厘米。如果将这两堆碎石都沉入大水池里面,那么大水池的水面将上升多少厘米? 【分析】分别求出两堆碎石的体积即可 【解答】4厘米=0.04米，6厘米=0.06米 第一堆碎石的体积=3×3×0.04=0.36（立方米） 第二堆碎石的体积=2×2×0.06=0.24（立方米） 放在大水池水面升高=（0.36+0.24）÷(6×6)≈0.017 米=1.7厘米 【点评】考查体积公式的相关计算，要求学生要灵活运用公式计算体积和高 17.有一长方体容器,从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝前竖起,里面的水深是多少厘米? 【分析】水的体积不变，先求出水的体积再除以后来水的底面积即可。 【解答】30×20×6÷（10×20）=18（厘米） 【点评】抓住体积不变，利用体积公式求出高，要求学生灵活运用公式正确计算 18.一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作: 第一次,沉入小球; 第二次,取出小球,沉入中球; 第三次,取出中球,沉入大球; 已知第一次溢出的水量是第二次的3倍,第三次溢出的水量是第一次的2倍。大球是中球的多少倍。 【分析】可解设第二次溢出的水量，再分别求出第一次和第三次溢出的水量即可 【解答】设第二次操作溢出水的量是1， 那么，第一次的溢水量就是:1×3=3; 第三次的溢水量就是:3×2=6 小球的体积就是3；中球的体积就是3+1=4；大球的体积就是:4+6=10。 所以大球是中球的10÷4=2.5 【点评】巧妙利用设数法进行求解 19.有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块,棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米。如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的正方体且每种至少用一块,那么这三种木块至少共需要多少块? 【分析】 （1）甲的体积1立方厘米，乙的体积是8立方厘米，丙的体积是27立方厘米，则甲棱长为1厘米，则乙棱长为2厘米，丙棱长为3厘米；因为每种木块至少用一块，因此大正方体棱长不小于2+3=5厘米，因此大正方体棱长最小为5厘米； （2）为使体积尽可能小，丙只能用一块，并且要把它放在角落位置；其次乙使用的越多，那么三种木块一共使用的最少．反之，乙用的越秒，甲用的越多，则三种木快用的最多． 有上述理论，可以动手操纵，得出答案． 【解答】由题意可知，甲棱长为1厘米，则乙棱长为2厘米，丙棱长为3厘米， 根据题意可得拼组后的大正方形的棱长最小是：3+2=5， 则拼组后的正方形的体积最小是：5×5×5=125（平方厘米）， 根据分析实际操作可得，丙用一块时，乙最多用7块， 125-3×3×3-2×2×2×7， =125-27-56 =42（块） 所以甲要用42块， 所以最少用42+1+7=50（块）． 丙用一块时，乙用一块时： 125-3×3×3-2×2×2 =125-27-8 =90（块） 所以最少用90+1+1=92（块）． 答：最少需要这三种木块一共50块． 【点评】抓住大正体的体积是这些小正方体体积之和，求得大正方体的最小棱长，然后动手操作，找出排列规律解答即可。 20.求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【分析】表面积增加了4个面减少了2个面，总体增加了2个面；体积用原来体积减去挖掉正方体的体积即可。 【解答】表面积： 6×6×2+4×6×4+2×2×2=72+96+8=176（平方厘米） 体积：6×6×4-2×2×2=136（立方厘米） 【点评】本题考查挖掉后的表面积和体积，表面积要考虑增加的面积，体积用原体积减去挖掉部分的体积即可。锻炼学生观察和分析理解能力 21.下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的小立方体组成的,求这个立体图形的表面积。 【分析】三视图计算 【解答】侧面各看到6和小正方形，上下各看到9个小正方形的面 【解答】5×5×（6×4+9×2）=25×42=1050（平方厘米） 【点评】通过三视图观察法进行计算很简单 22.一个长方体， 如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少48平方厘米,求原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【分析】减少的面积为3厘米高的长方体的侧面积 【解答】底面边长=48÷4÷3=4（厘米），高为4+3=7（厘米） 原来长方体的表面积：4×4×2+4×7×4=32+112=144（平方厘米） 【点评】通过分析判断出减少的面积是哪些面的面积，然后求出长方体的底面边长 23下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 【分析】考查分解因数、和的奇偶性，化曲为直数学思想 【解答】209=19×11 分两种情况讨论： ①当a=19时，则（b+h）=11，因为a、b、h都为质数，根据和的奇偶性得出b和h中一定有个偶质数2，即a、b、h三个数为19,2,9；由于9是合数，不符合题意舍去 ②当a=11时，则b+h=19=2+17 所以a、b、h三个数为11,2,17，体积为2×17×11=374（立方厘米） 【点评】采用化曲为直把两个面合二为一个长方形去思考，通过分解因数，利用和的奇偶性进行判断，得出长方体的长、宽、高即可。 24.一长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形。容器里直立着一个高1米、底面边长都是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米。现在把铁块轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 【分析】铁块被水浸湿的部分的长度为提起的高度加上水面下降的高度 【解答】24×15×15÷（60×60-15×15）=5400÷3375=1.6（厘米） 1.6+24=25.6（厘米） 【点评】提起的空间由上面的水进行填充，上面的水的底面积是容积的底面积减去铁块的底面积，求出下降的水高后，再加上提起的高度就是浸湿部分的长度。 25. 如图是一个长方体的平面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 【分析】考查长方体的表面展开图，关键是计算出长方体的长宽高即可 【解答】长15厘米，高（40-15×2）÷2=5厘米，宽为15-5=10厘米 表面积为（15×10+15×5+10×5）×2=550（平方厘米） 体积为15×10×5=750（立方厘米） 【点评】考查学生的理解和观察能力，能正确利用长方体的表面积和体积公式进行计算。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：长方体与正方体（拓展篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 知识点梳理 1 专题突破 2 突破点一：黏合后的表面积 3 突破点二：拼合后的表面积 4 突破点三：切割后的表面积 7 突破点四：挖走后的表面积 7 突破点五：拼接后的体积 8 突破点六：切割后的体积 6 突破点七：挖走后的体积 9 突破点八：物体变形之锻造 10 突破点九：物体变形之填补 11 突破点十：物体在水中的体积 11 突破点十一：展开图中的表面积和体积 13 突破点十二：涂色小正方体的个数 15 突破点十三：质数、自然数、因数倍数与长方体 16 突破点十四：不规则长方体的体积 17 突破点十五：捆扎彩带长度 17 综合突破 18 1.长方体和正方体相关计算公式 2.常用的体积和容积单位间的换算 3.正方体11种表面展开图 4.棱长与表面积与体积之间的关系 长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)同时扩大到原来的n倍,表面积就扩大到原来的n2倍,体积就扩大到原来的n3倍。如长方体的长、宽、高各扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的8倍,表面积就扩大到原来的4倍。 5.拼接表面积变化关系 n个相同的小正方体排成一排拼成一个长方体时,它们减少2(n-1)个面,每个面上有4条棱,则共减少8(n-1)条棱。 6.表面涂色的正方体相关规律 由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。 7.用排水法求不规则物体的体积 （1）被浸没物体的体积等于升高部分水的体积(水不溢出)。计算方法如下: ①容器的底面积×水面上升的高度; ②放入物体后水和物体的总体积-放入物体前水的体积。 （2）竖直插入未完全浸没时水高。计算方法如下: 水高=上升水的体积÷（容器底面积-插入的铁棒底面积）。 突破点一：黏合后的表面积 -----立体图形的表面积，是指露在外面的所有面的面积之和，黏合图形的表面积等于原图形的表面积减去黏合面的面积。 1.有一个零件如图所示，求它的表面积。（单位：厘米） 2.下图是由16个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。 3.如图是用3个正方体木块堆成的多面体,其中最下面的正方体的棱长为10厘米,而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体上底面各边的中点。那么,这个多面体的表面积是多少平方厘米？ 突破点二：拼接后的表面积 -----当几个图形拼在一起时,组合后的表面积跟原来比会减少。拼成后的表面积,要使表面积最小,拼接面的总面积就要尽量大;要使表面积最大,拼接面的总面积就要尽量小。 1.把两块长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体物体拼成一个大的长方体,下面三种拼法中，得到的大长方体的表面积最大的是（ ），最小的是（ ）。 2.有三块完全一样的长方体木块,每块长8厘米,宽5厘米,高3厘米。要把它们拼合成一个大的长方体,这个长方体的表面积最大是多少?最小是多少? 3.把3个完全相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是350平方厘米每个正方体的表面积是多少平方厘米? 4.把一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体(如下图)。如果新的长方体的表面积比原长方体的表面积增加68平方分米,那么,这个正方体的表面积是多少平方分米? 5.用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体,拼成后得到的这个长方体的表面积是多少平方厘米? 突破点三：切割后的表面积 -----物体切割后的表面积跟原来比会增加，通常切一刀增加2个面。切割后的表面积,求切割后图形的表面积比原来多多少,可以转化成求增加的面的面积。 1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块,锯成两个完全相同的长方体后,表面积比原来大长方体表面积大多少平方厘米? 2 把一块12cm×9cm×18cm的长方体木块分割成三块同样大小的小长方体(不考虑分割过程的损耗),总的表面积最大为多少？ 3.一个正方体的棱长是10分米,如果把正方体切割成棱长是2.5分米的小正方体。求: (1)小正方体的个数。 (2)切割后所有小正方体的表面积。 4.一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又按任意尺寸锯成4条,每条又按任意尺寸锯成5块,共得到大大小小的长方体60块,如下图。求这60块长方体的表面积之和是多少平方米? 突破点四：挖走后的表面积 -----在一个正方体(长方体)上挖去一个比它小的正方体(长方体)时,若在8个顶角处挖去一个角时表面积不变,若在6个面上各挖去一个(没有挖穿)时,表面积增加。挖走后的表面积,关键在于找出挖走后的图形增加了哪些面,减少了哪些面,进而判断表面积是不变，还是增加或减少。 1. 一个正方体挖去一个长方体后(如图,单位:厘米),剩下的图形的表面积是多少? 2.有一个长方体形状的零件,中间挖去一个长方体的孔(如图),你能算出它的表面积吗?(单位:厘米) 3.立体图形中的每个面的中间,有一个截面边长为2厘米的正方形通孔。求这个立体图形的表面积。 突破点五：拼接后的体积 ----正方体的体积=棱长×棱长×棱长,长方体的体积=长×宽×高。拼接后的体积,拼接前后原物体的体积不变,可以通过变化的表面积求体积。 1.将两个完全一样的正方体拼成一个新的长方体,其表面积比原来两个正方体的表面积和减少了72平方厘米,求原正方体的体积。 2.将3个宽的表面积小长方体如图所示拼接在一起得到一个新的长方体,其表面积比3个小长方体的表面积和减少了16平方米。求小长方体的体积。 3.一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加 90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。原长方体的表面积与体积各是多少? 突破点六：切割后的体积 ----立体图形切割后的体积与原体积比，不会发生改变；切割后的体积,关键是理清切割后的几个立体图形的长、宽、高、表面积及体积相对于原立体图形发生了哪些变化,增加的表面积对应的哪些面。 1. 如图所示，将一个长为9厘米的长方体截成任意的3段,截后三个小长方体的表面积之和比原长方体的表面积增加了24平方厘米。求原长方体的体积是多少立方厘米? 2.一个长方体木块,从上部和下部分别裁去高为4厘米和高为3厘米的长方体后(如下图),便成为一个正方体,表面积减少了140平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米? 3.把一个长方体的小木块切成两段,就成了两个完全相等正方体,于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体棱长之和增加80厘米。原来那个长方体的体积是多少呢? 4.一个长方体,我们打算把它切割,如果切面与前后面平行,则表面积增加174平方厘米;如果切面与左、右面平行,则表面积增加138平方厘米;如果切面与上、下面平行,则表面积增加1334平方厘米;那么这个长方体的体积是多少? 突破点七：挖走后的体积 ----一个立体图形，如果被挖走一部分,体积一定会减少；挖走后的体积,剩下的图形的体积可以由原体积减去挖走的体积；或者把剩下的图形又分割成几个图形,分别求出再相加,计算时一定要注意是否有重叠的情况。 1.一个正方体木块,棱长为10厘米,第一次在上面挖去一个棱长为3厘米的正方体小洞;第二次再在第一个小洞顶部中心挖去一棱长为2厘米的正方体小洞,第三次再在第二个小洞的底部中心挖去一个棱长为1厘米的正方体小洞。所得几何体表面积和体积各是换个角度想一想多少? 2.工厂要对一种零件进行加工,这个零件为长方体,长为1米,宽为0.6米,高为0.6米。要在这个长方体上挖走一个棱长为0.2米的正方体,再在这个小洞的底部挖一个棱长为0.1米的正方体。加工后的零件体积是多少? 3.有一个长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体,先从中尽可能大地切下第一个正方体,再从剩余部分中尽可能大地切下第二个正方体,再从残余部分中尽可能大的切下第三个正方体。至少还剩下多少立方厘米? 突破点八：物体变形之锻造 ----将一个物体变形成为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变。 1.把一个棱长6分米的正方体钢材,锻造成一段宽3分米、高2分米的长方体钢材。这段钢材的长是多少米? 2. 将一个长 15 厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铁块和一个棱长10厘米的正方体铁块和铸成一个长20厘米。宽14厘米的长方体铁块(不考虑损耗),新得到的长方体的高是多少厘米? 3.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗)。求这个大正方体的体积。 突破点九：物体变形之填补 ----一个物体要放进一个容器中,它的体积必须比容器的体积小，且这个物体长、宽、高必须分别小于容器的长、宽、高。 1.长2米,宽1米,高0.5米的长方体箱子,放人棱长为10厘米的正方体小盒,最多可以放人多少个? 2.长40厘米、宽32厘米、高30厘米的长方体木箱内,放入棱长4厘米的正方体小木块,最多可以放几块? 3.有一个长方体盒子,从里面量长40厘米、宽12厘米、高7厘米,在这个盒子里面放长,宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米的长方体木块,最多可以放到多少块?怎样放? 突破点十：物体在水中体积 ----在一个装有水的容器中放入一个物体,水面会上升;取出一个物体,水面会下降。物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。 1.把棱长为10厘米的正方体放人一个长25厘米、宽20厘米的装有水的长方体玻璃缸内,求这个玻璃缸内水面上升多少厘米?(玻璃缸内水不溢出,且正方体完全浸没) 2.在一只长50厘米、宽40厘米的长方体玻璃缸中放人一块棱长10厘米的正方体铁块,这时水深20厘米。若把这个铁块从长缸中取出,缸中的水面高多少厘米? 3.一个长方体水箱,从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米,放进一个棱长20厘米的正方体的铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米? 4.如图,有一个空的长方体容器A和一个盛有水的长方体容器B.水深24厘米。将容器B中的水倒一部分到容器A中,使两个容器中水的高度相等,这时水深多少厘米？ 突破点十一：展开图中的表面积和体积 1. 如图所示,将它折成-个正方体,相交于同一顶点的三个面点的数之和最大的值是多少？ 2.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如图1,从正面看这个立体,如图2,则这个立体表面积和体积最多是多少？ 3. 如图是一个长方体的平面展开图,求这个长方体的表面积。 4.聪聪想做一个正方体纸盒,展开图如下图所示。想想,折起来会是( )。 5.有一块宽为16厘米的长方形铁皮在它的四角上分别剪去边长为4厘米的正方形,将它焊成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的体积是768立方厘米,原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米? 6.把长为16厘米、宽为10厘米的长方形厚纸的四个角上各剪去一个边长为整厘米的小正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子。当剪掉小正方形的边长为（ ）厘米时,这个盒子的容积最大为多少立方厘米? 突破点十二：涂色小正方体的个数 1.把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色,然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中,三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个? 2.将一个棱长为5厘米的立方体的六个面都涂上红色,然后将这个立方体切成125个棱长为1厘米的小立方体,至少有一个面是红色的小立方体有多少个？ 3.下图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体,它的底层由5×4个小正方体构成。如果把它的外表面(包括底面)全部涂成红色,那么当这个几何体被拆开后,有3个面是红色的小正体有多少块？ 突破点十三：质数、自然数、因数倍数与长方体 1.一个长方体的相邻两个面的面积之和为77平方厘米,它的长、宽、高都是整数厘米,且都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2.下图是-个长 16厘米的长方体的示意图,已知它的正面和上面的面积之和为240平方厘米。若宽和高的厘米数均为质数,则它的体积是多少? 3.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是90,如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数,那么这个长方体的体积是多少？ 4.一个长方体的正面和上面的面积之和为 91平方厘米,已知长、宽、高的厘来数均为质数,则这个长方体的体积是（ ）立方厘米或者（ ）立方厘米。 5.把一个长 75厘米、宽30厘米、高45厘米的长方体木块切成大小相等的小正方体木块而没有剩余,小正方体木块的棱长最长是多少?可切成多少个小正方体木块? 6.用长为4厘米、宽为3厘米、高为2厘米的长方体木块拼成一个实心正方体,至少需要（ ）个这样的长方体。 A.4 B.24 C.48 D.72 突破点十四：不规则长方体体积 1.计算下面几何体的体积。（单位：cm） 2.有一个深5分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形，当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。容器内的水有多少升？（不考虑容器的厚度） 突破点十五：捆扎彩带长度 1.聪聪要个明明同学同学送一个生日礼物,用彩带捆扎盒如下图所示,为了美观要留出12厘米的彩带来打结。捆扎这个盒子需要彩带多少厘米？ 2.某快递公司把一个正方体形状的物体用纸箱包装好，再用包装绳以如图所示的方式捆起来，一共要用多少厘米长的包装绳?(接头处共用了20cm长的包装绳) 3.李老师从国外买回一些特产,到机场将其打包成如下图所示的长方体纸箱，每个结口处有3厘米重叠，一共用了多少米打包带? 1.把一个正方体和一个长方体拼成一个新的长方体(如图)。如果新长方体的表面积比原长方体的表面积增加64平方分米,那么这个正方体的体积是多少? 2.将3个长为4米的完全一样的小长方体拼成一个大的长方体,表面积比原来减少了16平方米。求原来每个小长方体的体积是多少立方米? 3.一个长方体大木块,从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为个正方体,表面积减少了120平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米? 4.小东做了一个长方体模型,表面积是160平方厘米,这个长方体恰好能够分割成两个完全一样的正方体。那么:(1)其中一个正方体的体积是多少?(2)原来这个长方体的体积是多少? 5.有一个棱长是12厘米的正方体木块,从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是多少立方厘米? 6.一个长、宽、高分别为19厘米、14厘米和10厘米的长方体,现在从它上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再以第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体。剩下的体积是多少? 7.将一个长 28cm、宽18cm 的长方形铁片的四个角各截去一个边长为4cm的正方形。再将此铁片折成一个无盖的长方体容器。容器的容积为（ ）cm2。 8.用四块同样的长方形和两块同样的正方形纸板做成一个长方体形状的纸箱,它的表面积是266平方分米,长方体的长、宽、高的长度都是整数分米,并且使纸盒的容积尽可能大。求这个纸箱的容积最大是多少。 9.某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别是235厘米、445厘米 515厘米的尼龙带进行加固(如下图)。若每根尼龙带加固时带头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装的体积是多少立方米? 10.将一个长20厘米、宽12厘米、高15厘米的长方体铁块和一个棱长10厘米的正方体铁块合铸成一个长23厘米、宽10厘米的长方体铁块(不考虑损耗)。新得到的长方体的高是多少厘米? 11.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体。已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高是多少? 12.用棱长为13分米的正方体纸箱装糖果盒,已知糖果盒的棱长是4分米的正方体,那么这个纸箱最多可以装多少个糖果盒? 13.将长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米的小长方体放入长、宽、高分别是40厘米、12厘米、7.5厘米的大长方休盒子内,最多可以放多少个? 14.有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米如果把一块棱长2分米的正方体物块浸入水中,水面上升多少分米? 15.有一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘米的玻璃鱼缸中,放入一个棱长为10厘米的正方体石块,鱼缸内水的高度达到( )厘米。这时鱼缸内的水上升了（ ）厘米。 16.有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为6米、3米、2米,把两堆碎石分别沉人中小池里,两个水池水面分别上升了4厘米和6厘米。如果将这两堆碎石都沉入大水池里面,那么大水池的水面将上升多少厘米? 17.有一长方体容器,从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝前竖起,里面的水深是多少厘米? 18.一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作:第一次,沉入小球;第二次,取出小球,沉入中球;第三次,取出中球,沉入大球;已知第一次溢出的水量是第二次的3倍,第三次溢出的水量是第一次的2倍。大球是中球的多少倍。 19.有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块,棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米。如果用甲乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的正方体且每种至少用一块,那么这三种木块至少共需要多少块? 20.求下面几何体的表面积和体积。（单位：cm） 21.下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的小立方体组成的,求这个立体图形的表面积。 22.一个长方体， 如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少48平方厘米,求原来长方体的表面积是( )平方厘米。 23下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 24.一长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形。容器里直立着一个高1米、底面边长都是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米。现在把铁块轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 25. 如图是一个长方体的平面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$