专题01 长方体和正方体计算（基础篇）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：长方体与正方体（基础篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：长方体和正方体认识 3 突破点二：长方体和正方体表面积 8 突破点三：组合图形的表面积 16 突破点四：长方体和正方体体积 19 突破点五：组合图形体积 25 突破点六：长方体和正方体容积 28 突破点七：排水法测量不规则物体体积 32 突破点八：体积及容积单位 32 综合突破 37 1.长方体和正方体相关计算公式 2.常用的体积和容积单位间的换算 3.正方体11种表面展开图 4.棱长与表面积与体积之间的关系 长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)同时扩大到原来的n倍,表面积就扩大到原来的n2倍,体积就扩大到原来的n3倍。如长方体的长、宽、高各扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的8倍,表面积就扩大到原来的4倍。 5.拼接表面积变化关系 n个相同的小正方体排成一排拼成一个长方体时,它们减少2(n-1)个面,每个面上有4条棱,则共减少8(n-1)条棱。 6.表面涂色的正方体相关规律 由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。 7.用排水法求不规则物体的体积 （1）被浸没物体的体积等于升高部分水的体积(水不溢出)。计算方法如下: ①容器的底面积×水面上升的高度; ②放入物体后水和物体的总体积-放入物体前水的体积。 （2）竖直插入未完全浸没时水高。计算方法如下: 水高=上升水的体积÷（容器底面积-插入的铁棒底面积）。 专题突破一：长方体和正方体认识 一、填空。 1.(1)如图所示，这个纸巾盒的正面和后面是（ ）形，长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 (2)它的左面和右面是（ ）形，长 是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 (3)它的上面和下面是（ ）形，长 是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 【分析】长方体对边相等且平行，有8个顶点、6个面、12条棱（共有4组长、宽、高），每个面都是长方形，在特殊情况下，最多有2个面是正方形。 【解答】 （1）长方形，24，9 （2）长方形，12,9 （3）长方形，24,12 【点评】本题考查长方体的6个面的特点。 2.(1)长方体有( )条棱,每一组( )的棱的长度相等,相交于同一顶点的3条 棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 (2)如图,与a、b、h分别平行的棱各有( )条, 与h垂直并相交的棱有( )条。 【分析】长方体对边相等且平行，有8个顶点、6个面和12条棱，每个面都是长方形，在特殊情况下，最多有2个对面是正方形。 【解答】 （1）12，相对，长、宽、高 （2）4,4 【点评】考查长方体棱的特点 3.(1)正方体有( )个面,每个面都是( ),每个面的面积大小( )。 (2)正方体可以看成是( )、( )、( )都相等的特殊的( )。 (3)如图,大正方体是由棱长1cm的小正方体拼成的,它的棱长是( )cm,棱长总和是( )cm。 (4)用铁丝做一个长方体框架,若相交于同一顶点的3根铁丝分别是20cm、15cm和12cm,则一共用了( )cm长的铁丝。 【分析】正方体6个面都是正方形，有12条棱（长度都相等），有8个顶点。 【解答】 （1）6，正方形，相等 （2）长、宽、高，长方体 （3）4,4×12=48 （4）棱长总和=（长+宽+高）×4=（20+15+12）×4=188 【点评】本题考查正方体特征、正方体棱长和长方体棱长公式应用 二、选择 1.一个长方体有4个面完全相同,另外两个面是( )。 A.长方形 B.正方形 C.无法确定 【分析】特殊情况下，长方体有2个对面是正方形，其余4个面是相等的长方形。 【解答】答案为B 【点评】考查学生对长方体认识 2.一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h,这个长方体的棱长总和是( )。 A.a+b+h B.(a+b+h)×3 C.(a+b+h)×4 【分析】长方体棱长总和=（长+宽+高）×4 【解答】C 【点评】考查长方体棱长公式 3.用一根( )长的铁丝正好做一个长3cm、宽2cm、高2cm的长方体框架。 A.7cm B.28 cm C.42cm 【分析】长方体棱长总和=（长+宽+高）×4 【解答】（3+2+2）×4=28，答案为B 【点评】考查长方体棱长公式 4.一个长方体的棱长总和是132cm,相交于同一顶点的3条棱 的长度之和是( )cm。 A.66 B.44 C.33 【分析】相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 【解答】长+宽+高=棱长总和÷4=132÷4=33 【点评】考查学生对棱长公式的灵活应用 5.至少用( )个棱长1cm的小正方体才能拼成一个大正方体。 A.9 B.4 C.8 【分析】正方体的长宽高相等，要摆一个大正方体，必须抓住、宽、高相等，长、宽、高都摆2个。 【解答】2×2×2=8，答案：C 【点评】考查“最少”的理解和学生计算能力。 6.一个正方体的棱长总和是108cm,它的棱长是( )。 A.9 cm B.8cm C.7cm 【分析】正方体的棱长总和公式：棱长总和=棱长×12，棱长=棱长总和÷12 【解答】108÷12=9，答案：A 【点评】熟练掌握并灵活运用正方体棱长公式进行计算。 7.小芳同学要给小童同学送一个生日礼物,用彩带捆扎盒如下图所示,为了美观要留出12厘米的彩带来打结。捆扎这个盒子需要彩带（ ）厘米。 A.112 B.152 C.312 D.332 【解析】采用三视图法，观察得出彩带每个面捆扎的方法及条数。上面彩带的条数为1条长+1条宽，正面为1条高，右面为1条高。相对的面的彩带的长度相等，外加打结长度即可。彩带长度=2条长+2条宽+4条高+结长 【解答】70×2+20×2+30×4+12=312，答案：C 【点评】考查学生观察能力，抓住对面彩带长度一样，采用三视图法即可以解答。 三、综合运用 1.老师为同学们准备了一些小棒,试着用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框架。 (1)相交于同一顶点的3条棱分别长多少厘米? (2)这个长方体框架的棱长总和是多少? 【分析】抓住长方体棱长的特点：长宽高个4条，且每组长度相等。所以9cm的小棒只有3个，不满足4条，可以排除。从剩下的7cm的小棒中选择8根，作为4条长，4条宽，4cm的小棒选择4根作为长方体的4条高。相交于同一顶点的4条棱的长度之和就是长+宽+高；棱长总和=（长+宽+高）×4 【解答】 （1）9×8+4×4=88（厘米） （2）88×4=352（厘米） 【点评】重点考查学生对长方体特征的理解和棱长公式的运用。 2.用一根长20dm的铁丝做一个棱长是整分米数的长方体框架,这个长方体框架的长,宽、高可能是多少分米? 【分析】长方体框架即为长方体12条棱长之和，长+宽+高=棱长总和÷4=20÷4=5（分米），长宽高为整数，所以长宽高长度为2分米、2分米、1分米。 【解答】20÷4=5=2+2+1，答：长宽高可能是2、2、1分米。 【点评】加深学生对长方体棱长公式的理解，能熟练运用棱长相关的公式进行计算。 3.两根同样长的铁丝,一根正好围成一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架,另一根正好围成一个正方体框架。这个正方体的棱长是多少厘米?(接头忽略不计) 【分析】长方体棱长计算公式为：棱长总和=（长+宽+高）×4，正方体棱长=棱长总和÷12。本题重点抓住“同样长的铁丝”，可以得出长方体的棱长总和等于正方体棱长总和，先求出长方体的棱长总和，在利用正方体棱长=棱长总和÷4即可以求出正方体棱长。 【解答】（7+5+3）×4÷12=5（厘米） 【点评】本题是综合考查长方体和正方体棱长公式的理解及运用。 4.把一块长方体黄元米果切成两个完全相同的正方体,这两个正方体的棱长总和比原来长方体的棱长总和增加了64cm,原来长方体黄元米果的长是多少厘米? 【分析】把长方体切成了2个相同的正方体，增加了2个正方形的面，2个正方形的面共8条棱。所以棱长总和增加的长度即8条相同的棱长，在求出长方体的长。 【解答】64÷8×2=16（厘米） 【点评】切开后增加了2个面，8条棱。考查学生空间想象和理解能力。 5.小卖部要做一个长2.2m、宽40cm、高80cm的玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁? 【分析】柜台各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁?就是求解长方体的棱长总和。 【解答】2.2m=220cm，角铁长度=（220+40+80）×4=680（厘米） 【点评】考查长方体棱长公式的理解和运用 6.正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与 A、E、I相对的面分别是哪个面? 【分析】与正方体相邻的面有4个，另一个面是相对的面。通过相邻的面找到相对的面。 【解答】与I相邻的面有A、E、F、C，所以与I相对的面是B；与A相邻的面有I、E、F，排除B，所以与A相对的面是C；从而又可以得出与E与F相对。 ∴A与C，E与F，I与B相对 【点评】考查正方体面的相对性的特点，通过排除相邻的4个面，得出相对的面。考查了学生对知识的理解和运用。 专题突破二：长方体和正方体表面积 一、填空 1.长方体或正方体( )个面的面积之和,叫作它的表面积。 【分析】表面积是立体图形6个面的面积之和 【解答】6 【点评】考查表面积的意义理解 2.一个正方体的棱长是2dm,它每个面的面积是( )dm2。 【分析】正方体是由6个面积相等的正方形组成的 【解答】2×2=4（平方分米） 【点评】考查正方体面的特点。 3.将右面的展开图围成长方体后,A和( )相对，B和（ ）相对，C和（ ）相对。 【分析】长方体对的面相等 【解答】F,D,E 【点评】考查长方体表面展开图，利用长方体对面相等的特点解答即可。 4.如图,2个棱长1cm的小正方体拼成了一个长方体,这个长方体的长是（ ）cm,宽是( )cm,高是( )cm,它的表面积比2 个小正方体的表面积之和减少了( )cm2。 【分析】两个正方体拼成了一个长方体，长为正方体棱长的2倍，宽和高不变；表面积减少了2个正方形面积。 【解答】2,1,1；1×1×2=2（平方厘米） 【点评】考查学生的观察能力和理解能力。 5.一个正方体的棱长是2dm,现在把它的棱长扩大到原来的3倍,现在这个正方体的表面积就是( )dm2。 【分析】正方体棱长扩大3倍后的棱长为2×3=6（分米），表面积公式是：棱长×棱长×6=6×6×6=216（平方分米）；或者理解为棱长扩大3倍，则正方体的表面积扩大32倍，得出2×2×6×32=216（平方分米） 【解答】2×3=6（分米），6×6×6=216（平方分米）；或者2×2×6×32=216（平方分米） 【点评】规律：正方体的棱长扩大n倍，表面积扩大n2倍。 6.一个长方体的长是8cm,宽是6cm,高是5cm,若把它放在桌子上,桌面被遮住的最大面积是( )cm2。 【分析】桌面被遮住的最大面积指的是长方体的底面积或占地面积。 【解答】8×6=48（平方厘米） 【点评】考查学生对占地面积理解。 二、选择题 1.下面图形沿虚线折叠,能围成正方体的是( )。 【分析】正方体表面展开图有11种类型，参考正方体和长方体“知识梳理”部分内容。141型有6种，231型有3种，222型有1种，33型有1种。B为5个正方形面连在一起，不能围成一个正方体图形。 【解答】答案：B 【点评】考查正方体表面展开图。 2.下面图形沿虚线折叠,能围成长方体的是( ) 【分析】参照正方体11种表面展开图，可以得出A选项中只有5个面，不能围成一个长方体图形；C选项有5个面成一条线连接在一起，不能围成一个长方体图形。 【解答】B 【点评】考查学生对长方体表面展开图的理解。 3.一个长方体长6dm,宽2.5dm,高4dm,在这个长方体的6个面中,面积最大的是（ ）dm2。 A.24 B.15 C.60 【分析】长方体的上面和下面相等，面积为长×宽；左右两个面的面积为宽×高；前后两个面的面积为长×高。上面的面积为6×2.5=15（平方分米），左面面积为2.5×4=10（平方分米），前面面积为6×4=24（平方分米），所以面积最大为24品牌方面。 【解答】2.5×4＜6×2.5＜6×4，所以答案为A。 【点评】考查学生对长方体各个面积的计算方法的运用。 4.一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,这个正方体的表面积就扩大到原来的( )倍。 A.2 B.4 C.6 【分析】正方体棱长扩大n倍，表面积就扩大n2倍。 【解答】22=4，答案为B 【点评】考查正方体棱长的变化，表面积变化规律。 5.右面是江西狗牯脑茶叶包装盒的展开图(单位:dm),这个包装盒的表面积是( )dm2。 A.50 B.80 C.100 【分析】长方体相交于同一顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高。长为7分米、宽为4分米、高为2分米。表面积公式为（长×宽+长×高+宽×高）×2 【解答】（7×4+7×2+4×2）×2=100（平方分米），答案：C 【点评】考查长方体表面展开图，学生要理解长、宽、高的意义，先找出长、宽、高，然后运用长方体表面积计算公式求出其表面积。 6.一个长方体鱼缸的长是40cm,宽是10cm,高是55cm,这个鱼缸的占地面积是( ) cm2。 A.400 B.550 C.2200 【分析】占地面积就是长方体的底面积 【解答】40×10=400（平方厘米） 【点评】考查学生对占地面积的理解和计算公式的运用。 三、综合运用，能力提升 1.弋阳年糕是江西省上饶市弋阳县的特色食品。请在下面的方格中涂色,使涂色的图形能围成一块长3cm、宽1cm、高1cm的长方体弋阳年糕的形状,其中相对的面要涂上相同的颜色。(每个小方格的边长是1cm) 【分析】抓住长方体相对的面积相等的特点和展开图类型；左右面是2个相等正方形，其余4个面是相等的长方形。 【解答】见图解（答案不唯一） 【点评】考查学生对长方体表面展开图的理解，培养学生的空间理解能力和操作能力。 2.用2个长10cm,宽5cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最大是多少?最小是多少? 【分析】不管怎样拼，两个长方体的总表面积都要减少2个面的面积。当减少的2个面积最小时，得到的长方体表面积为最大值；当减少的2个面的面积为最大时，得到的长方体的表面积为最小值。 【解答】2个长方体原来的总表面积为（10×5+10×3+5×3）×2×2=380（平方厘米） 拼成长方体后表面积最大值为380-5×3×2=350（平方厘米）；最小值为380-10×5×2=280（平方厘米） 【点评】考查拼成的图形表面积的变化情况，通过练习锻炼学生的理解和分析能力。 3.如图,用8个棱长2cm的小正方体搭成一个大正方体。这个大正方体的表面积是多少?取走一个小正方体后,表面积有无变化?现在几何体的表面积是多少? 【分析】搭成的正方体的棱长为2×2=4（厘米）。正方体表面积计算公式为S=6a2=6×42=96（平方厘米）；取走一个正方体表面积没有变化，即减少3个正方形的面积，但是又增加了3个正方形面积，相互抵消，正方体的表面积不变。 【解答】2×2=4（厘米），4×4×6=96（平方厘米），没有变化，表面积为96平方厘米 【点评】考查正方体表面积计算公式和表面积的变化情况的理解和分析，通过练习保养了学生对计算公式的理解和运用，即对图形表面积的变化情况的分析和理解，提高了计算能力和观察分析能力。 4.如图所示，做一个微波炉的包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板? 【分析】包装箱的纸板就是求解表面积 【解答】（0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4）×2=1.66（平方米） 【点评】考查硬纸板的理解就是求解表面积，锻炼了学生对表面积的理解和计算能力。 5.明明家要给一个长0.75m、宽0.5 m、高 1.6 m的简易衣柜换布罩(如图，没有底面)。至少需要用布多少平方米? 【分析】布罩，即生活中的长方体的表面积，没有底面积。 【解答】0.75×0.5+（0.75×1.6+1.6×0.5）×2=4.375（平方米） 【点评】考查生活布罩的表面积，在解决实际生活中的问题时，要根据实际情况去分析理解，在正确运用数学知识去解决生活问题，培养了学生对生活问题的理解，加深了是对长方体表面积计算实际应用能力。 四、思维拓展 1.把两块长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体物体拼成一个大的长方体,有几种拼法?每种拼法的大长方体的表面积各是多少? 【分析】根据长方体相对的面相等的特点，把6个面分成三组，∴共有三种不同的拼法。拼成的长方体的面积比原来2个长方体的总表面积减少了2个长方形面积。 【解答】原来2个长方体的总表面积：（5×3+5×2+3×2）×2×2=144（平方厘米） 第一种拼法：减少两个A面面积144-5×3×2=104（平方厘米）； 第二种拼法：减少两个B面面积144-5×2×2=124（平方厘米） 第三种拼法：减少两个C面面积144-3×2×2=132（平方厘米） 【点评】考查拼成后的组合图形表面积变化情况，培养学生空间思维能力。 2.把一个长、宽、高分别是8、7、4厘米的长方体截成两个长方体,使这两个长方体表面积之和最大是多少？最小是多少？ 【分析】与上面题型相反，截成2个长方体后总表面积会增加2个长方形面积。当增加的两个长方形面积最大时，得到的2个长方体总表面积为最大值，反之为最小值。 【解答】原来长方体的表面积：（8×7+8×4+7×4）×2=232（平方厘米） 得到的两个长方体的总表面积有三种情况： （1）232+8×7×2=344（平方厘米） （2）232+8×4×2=296（平方厘米） （3）232+4×7×2=288（平方厘米） 答：最大为344平方厘米，最小是288平方厘米、 【点评】考查切开后长方体总表面积变化情况，切一次增加的面积为2个长方形面积。当增加的2根据最大时，总表面积为最大值，反之为最小值。 3.如下图所示的正方体的展开图是（ ）。(请填写符合题意的字母) 【分析】正方体展开图的特点，通过相邻与相对可以判定。 【解答】通过相邻图形特点排除B、D，∵三块有图形的面为相邻的面，不能相对。答案：C 【点评】考查正方体展开图，锻炼了学生的观察能力和分析判断能力。 4.把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个? 【分析】由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。三个面涂色的在8个顶点上，2个面涂色的面在每一条棱上，1个面涂色的面在每一个面上。 【解答】三面涂色：8个； 两面涂色：2×12=24个； 1面涂色：4×6=24个； 0面涂色：2×2×2=8个。 【点评】考查涂色小正方体个数的计算，通过练习加深理解，让学生掌握个数计算的规律并在练习中熟练计算。 专题突破三：组合图形的表面积 1.这个颁奖台是由3个长方体合并而成的。它的前后两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少? 【分析】采用“三视图法”计算更便捷。 【解答】前后面：[40×（65-10）+65×40+40×40]×2=12800（平方厘米）（黄色油漆） 左右面：65×40×2=5200（平方厘米） 上面：40×3×40=4800（平方厘米） 红色油漆面积：5200+4800=10000（平方厘米） 【点评】考查组合图形表面积的求解方法，培养学生的观察和思考能力。 2.学校要粉刷新教室。已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗的面积是11.4m2。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱? 【分析】教室需要粉刷的面积是4个侧面积和天花板面积，最后减去门窗面积即可 【解答】8×6+（8×3+6×3）×2-11.4=120.6（平方米） 120.6×4=482.4（元） 【点评】考查生活中的长方体表面积，根据实际情况算出需要粉刷的面积即可，锻炼了学生数学分析和计算能力。 3.某古建筑景点定做了25个宫灯形的垃圾桶(如右图)。垃圾桶外侧有一层外饰面。如果外饰面每平方米180元，这些垃圾桶的外饰面一共要花多少钱? 【分析】需要装饰的面积为上、下两个长方体的侧面积。侧面积=底面周长×高 46×4×80+66×4×20=20000（平方厘米）=2平方米 2×180=360（元） 【点评】考查生活中的组合长方体表面积计算。 4.棱长为4厘米的正方体,在各面的正中央都挖去一个棱长为1厘米的小正方体,剩下多面体的表面积是多少平方厘米？ 【分析】每个面都挖去一个深1厘米的小正方体，1+1＜4，所以没有挖穿。正方体的每一个面都增加了4个棱长为1厘米的小正方形面积。 【解答】原来正方体的表面积为4×4×6=96（平方厘米） 增加面积1×1×4×6=24（平方厘米） 现在几何体表面积为96+24=120（平方厘米） 【点评】考查学生观察和分析思考能力，培养了学生空间和计算能力。 5.如下图,图形的表面积为多少平方厘米？(单位:厘米) 【分析】方法同上，减少了2个长方形，增加了4个侧面积 【解答】原来长方体表面积：15×15×6=1350（平方厘米） 现在几何体表面积：1350+（10+5）×2×15-10×5×2=1700（平方厘米） 【点评】【点评】考查学生观察和分析思考能力，培养了学生空间和计算能力。 6.下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的小立方体组成的，求这个立体图形的表面积。 【分析】采用“三视图法”求解表面积 前后面积5×5×6×2=300（平方厘米） 上下面积5×5×9×2=450（平方厘米） 左右面积300平方厘米 总表面积300×2+450=1050（平方厘米） 【点评】考查组合图形的表面积求解方法和计算。 7.6个棱长是1cm的小正方体摆成一个长方体，这个长方体表面积最大（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。 【分析】表面积最大应该把6个小正方体摆一排，总表面积为一个长为6厘米，宽和高为1厘米的长方体的表面积。最小应高摆2层，表面积为一个长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米的长方体的表面积。 【解答】最大：6×1×4+1×1×2=26（平方厘米） 最小：（3×1+3×2+2×1）×2=22（平方厘米） 【点评】考查拼成的组合图形的表面积的最大值和最小值，发展学生空间思维能力和计算能力。 8.一个正方体和一个长方体刚好拼出一个新的长方体，其表面积比原来减少了60平方厘米，求原来正方体的表面积。 【分析】通过题意可知原来的长方体有2个面是正方形。拼成的长方体比原来减少了2个正方形的面积。 【解答】正方形面积60÷2=30（平方厘米） 正方体面积30×6=180（平方厘米） 【点评】考查拼成的长方体的表面积变化情况求解正方体的表面积。 专题突破四：长方体和正方体体积 一、填空。 1.一个长方体的长是6m,宽是4m,高是2m,它的体积是( )m3。 2.一个正方体的棱长是9dm,它的体积是( )dm3。 3.一个正方体的棱长总和是24cm,这个正方体的体积是( )cm3。 4.一个长方体的体积是60 dm3,长是10dm,宽是3dm,它的高是( )dm。 5.一个长方体长8dm,宽6dm,高4dm,它的占地面积最大是( )dm2,最小是( )dm2. 6.把一根长5m的长方体木料截成3段,表面积增加了60dm2,原来这根木料的体积是（ ） dm3。 【分析】长方体体积公式：V=abh，正方体体积公式：V=a3，占地面积即为底面积。 【解答】（1）6×4×2=48（立方厘米） （2）9×9×9=729（立方厘米） （3）棱长为24÷12=2（厘米），体积为23=8（立方厘米） （4）长方体高=体积÷长÷宽=60÷10÷3=2（分米） （5）占地面积8×6=48（平方厘米），最小是6×4=24（平方厘米） （6）表面积增加了4个横截面。5m=50dm 长方体体积=横截面×长=60÷4×50=750（立方分米） 【点评】考查学生长方体、正方体的体积计算公式及其灵活运用。 二.选择。 1.a3表示( ）。 A.a×3 B,a×a×a C.a+a+a 【分析】表示3个a相乘， 【解答】答案：B 【点评】考查字母表示数的意义。 2.把一块石头放人装有水的杯子里,水面( )。 A.降低 B.不变 C.升高 【分析】石头放入水中会排开水的体积，水面会上升 【解答】答案：C 【点评】考查物体在水中会排开水，水面会上升。 3.正方体的棱长扩大为原来的2倍,体积就( ) A.扩大为原来的8倍 B.扩大为原来的6倍 C.不变 【分析】正方体的棱长扩大n倍，表面积就扩大n2倍，体积就扩大n3倍。 【解答】2×2×2=8，答案：A 【点评】考查正方体棱长变化，体积的变化规律。 4.一个正方体的体积是125cm3,它的棱长是( )cm。 A.10 B.5 C.15 【分析】正方体体积：V=a3 【解答】125=5×5×5，所以正方体的路程为5厘米 答案：B 【点评】考查正方体的体积计算公式理解。 5.表面积是24cm2的正方体,它的体积是（ ）cm3。 A.8 B.4 C.24 【分析】先求出正方体的棱长，再求出体积。 【解答】a2=24÷6=4=22，正方体的路程为2厘米，体积为2×2×2=8（立方厘米） 答案：A 【点评】综合考查正方体表面积和体积计算方法。 6.一个长方体的长扩大到原来的2倍,宽扩大到原来的4倍,高不变,这个长方体的体积（ ） A.扩大到原来的8倍 B.扩大到原来的6倍 C.扩大到原来的2倍 【分析】根据题意，长方体的体积会扩大4×2=8倍。 【解答】答案：A 【点评】考查长方体棱的扩大或缩小，正方体体积的变化规律。 三、综合运用，能力提升 1.修路队要给一段长200m、宽20m的路面铺一层6cm厚的沥青混凝土,一共需要沥青混凝土多少立方米? 【分析】铺成的水泥路是一个长方体。 【解答】6cm=0.06m 200×20×0.06=240（立方米） 【点评】考查长方体体积计算公式。 2.把一个棱长6dm的正方体铁块铸造成一个长9dm、宽8dm的长方体,这个长方体的高是多少分米? 【分析】正方体熔铸成长方体后体积不变，在利用长方体体积公式求出高。 【解答】6×6×6÷9÷8=3（分米） 【点评】考查学生灵活运用体积计算公式求高。 3.聪聪设计了一个九江茶饼的包装盒,包装盒是一个长方体,三个相邻的面的面积分别是15dm2、20dm2、12dm2。聪聪设计的这个包装盒的体积是多少立方分米? 【分析】三个相邻面面积即为长×宽，长×高，宽×高，所以15×20×12=（长×宽）×（长×高）×（宽×高）=3600，即（长×宽×高）×（长×宽×高）=60×60 【解答】15×20×12=3600=60×60，体积为60立方厘米 【点评】通过长方体三个相邻面面积求解长方体的体积，重点是学生要理解长方体的三个面积的面积计算公式，通过分析思考得出三个面面积之积就是2个长方体的体积之积，从未求解。考查学生分析思考能力，锻炼的学生思维和计算能力。 4.一根长方体钢材,它的横截面的面积是25cm2,长是4m,这根钢材的体积是多少立方分米?如果每立方分米钢材重7.8kg,这根钢材重多少千克? 【分析】体积计算公式=底面积×高=横截面积×长 【解答】4m=400cm 25×400=10000（立方厘米）=10立方分米 质量：7.8×10=78（千克） 【点评】考查长方体体积计算公式的应用。 5.一种饼干的包装盒长20cm,宽15cm,高7cm。把100盒这样的饼干叠放在一起能占多大空间? 【分析】求100个长方体的体积之和。 【解答】20×15×7×100=210000（立方厘米）=210立方分米 【点评】考查体积计算公式。 6.建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm 的长方体土坑，一共要挖出多少方的土? 【分析】土坑的体积 【解答】50×30×0.5=750（方） 【点评】考查长方体体积计算方法和生活中砂石体积单位“方”的意义。 7.家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是 2.4dm2，长是3m。这些木料一共是多少方? 【分析】同上 【解答】2.4dm3=0.0024m2 0.0024×3=0.072（方） 【点评】同上 8.计算下面图形的体积。（单位：cm） 【分析】长方体体积及正方体体积公式 【解答】 （1）8×4×5=160（立方厘米） （2）6×6×6=216（立方厘米） （3）64×7=448（立方厘米） 【点评】考查基本图形：长方体、正方体的体积计算公式。 9.一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6dm、5 dm、4dm,那么正方体的棱长是多少分米?它们的体积相等吗? 【分析】长方体、正方体体积。直接应用公式求出长方体的体积，通过长方体的棱长之和（正方体的棱长之和），在求出正方体的两车体积，再比较它们的体积大小。 【解答】长方体棱长之和：（6+4+5）×4=60（分米） 长方体体积：6×5×4=120（立方分米） 正方体棱长：60÷12=5（厘米） 正方体体积：5×5×5=125（立方分米） 120＜125 答：正方体棱长是5厘米，它们的体积不相等。 【点评】通过以上计算得出规律，棱长之和相等的长方体和正方体，正方体的体积大于长方体的体积。 10.茶厂工人要将长、宽各为20cm，高为10cm的长方体茶盒装入棱长为30cm的正方体纸箱，最多能装几盒?怎样才能装下? 【分析】先靠近一个角以长方体茶盒的长和宽为底面装3盒,然后在空的两边各竖着装1盒,最多能装5盒 【解答】 30÷10 =3(盒) 30÷20=1(盒)……10(cm) 30÷20= 1(盒)……10(cm) 3×1×1+2=3+2=5(盒) 所以先靠近一个角以长方体茶盒的长和宽为底面装3盒,然后在空的两边各竖着装1盒,最多能装5盒。 【点评】考查学生的空间想象能力和计算能力。 专题突破五：组合图形体积 1.求下列图形的体积。（单位：cm） 【分析】组合图形的体积计算方法：最常用的是加法 【解答】 （1）8×6×4+4×3×2=216（立方厘米） （2）（12-4）×4×12+43=448（立方厘米） （3）5×12×4+（12-5-5）×5×4+4×5×8=440（立方厘米） 【点评】考查学生计算能力。 2.求下列图形的体积。（单位：dm） 【分析】加减法求组合图形体积。 【解答】 （1）43+10×4×5=264（立方分米） （2）63-33=191（立方分米） 【点评】考查学生体积计算。 3.一个长为20dm的长方体截成三段，表面积增加了60平方分米，则原来长方体的体积是（ ）dm3。 【分析】正方体体积=横截面积×长，截成三段，表面积增加了4个横截面积。先求出求出横截面积，在求出体积。20 【解答】60÷4×20=300（立方分米） 【点评】通过切割，抓住表面积变化关系，求出横截面积即可求解。考查学生理解和计算能力。 4.一个棱长为1dm的正方体可以分成（ ）个棱长1cm的小正方体，如果把这些小正方体排成一排，长度是（ ）m。 【分析】先求出正方体的体积，在求出小正方体体积，通过体积相除得出小正方体的个数。 【解答】1dm=10cm 103÷13=1000（个） 1000个小正方体排成一排，长度为1000个1cm，1×1000=1000（厘米）=10米 【点评】考查体积计量单位之间的换算，或体积的包含问题。 5.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 【分析】正面面积为ah，上面面积为ab。ah+ab=a（b+h）=209=11×19=11×（2+17） 所以长方体的长宽高为11、2、17厘米。 【解答】209=11×（2+17），体积为=11×2×17=374（立方厘米） 【点评】考查数的分解及和的奇偶性、长方体体积计算方法。可以利用“化曲为直”的数学思想，把两个面转化为一个平面来观察思考。如图所示 6.一个长方体，前面和上面的两个面的面积之和是275平方厘米，且长、宽、高都是质数。求这个长方体表面积和体积。 【分析】同上 【解答】275=5×55=5×（53+2） 或275=11×25=11×（23+2） ∴答案有两种： （1）5×2×53=530（立方厘米） （2）23×2×11=506（立方厘米） 【点评】多角度思考问题，要注意答案多样性。通过练习，可以锻炼思维能力，多角度思考问题，提高解题能力。 7.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。 【分析】熔铸后问题的体积不变是解题关键。 【解答】24÷6=22，54÷6=32，216÷6=62。 三个正方体的体积之和为为23+33+63=251（立方厘米）。 ∴答正方体的体积为251立方厘米。 【点评】熔铸问题体积不变。通过正方体的表面积求出正方体的棱长和体积即可。 学生容易出现误解处是：表面积÷6后误解为两个正方形面积去除以2，得出边长，造成错误！ 表面积除以6后是得出的是一个正方形的面积，面积=边长×边长，把面积分解为两个相同数相乘，这个数就是边长。 专题突破六：长方体和正方体容积 1.一个长方体鱼缸,能容水14L。鱼缸的高是20cm,其底面积是多少平方分米? 【分析】已知鱼缸体积，求底面积。直接利用公式即可求解，底面积=体积÷高 【解答】14mL=14立方分米，20cm=2dm 底面积：14÷2=7（平方分米） 【点评】考查容器相关的体积计算公式的灵活运用。 2.一种微波炉，产品说明书上标明:炉腔内部尺寸400×225×300(单位:mm)。这个微波炉的容积是多少升? 【分析】计算长方体的体积和单位换算 【解答】400×225×300=27000000（mm3）=27dm3=27L 【点评】考查体积计算公式和单位换算。 3.某海岛战士为解决岛上淡水缺乏问题，和当地居民共同修建了一个长22m、宽10m、深1.8m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水多少立方米? 【分析】求解蓄水池的容积，直接运用体积计算方法求解 【解答】22×10×1.8=396（m3） 【点评】考查容积计算方法。 4.某邮政运货车的车厢是长方体，从里面量长3m，宽2.5m，高2m。它的容积是多少立方米? 【分析】求解车厢容积 【解答】3×2.5×2=15（立方米） 【点评】考查体积计算公式。 5.在一个长8m、宽5m、高2m的水池中注满水,然后把两条长3m、宽2m、高4m的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少? 【分析】排水法求解石柱体积，水池水是满的，所以石柱浸在水中的高度是2m。排开水的体积等于两根石柱浸在水中2m部分体积。 【解答】溢出水的体积：3×3×（4÷2）×2=36（立方米） 【点评】考查排水法求解问题体积方法。 6.哈尔滨冰雪大世界每年用的冰大约能融化成8万立方米的水，它们相当于多少个长50 m、宽25 m、深1.2m的水池的储水量? 【分析】长方体体积计算和包含问题 【解答】 8万=80000 80000÷（50×25×1.2）≈53（个） 【点评】考查长方体的体积计算方法。 7.把2块棱长为1.5dm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积、表面积分别是多少?如果是用3块正方体拼的图形呢? 【分析】考查拼成后图形表面积和体积。2个拼成一个减少2个面的面积，3个平成一个长方体表面积减少4个长方形面积；拼成后几何体的体积不变。 【解答】拼成的长方体表面积：1.5×1.5×（6×2-2）=22.5（平方厘米） 平成的长方体的体积：1.5×1.5×1.5×2=6.75（立方厘米） 3块拼成的几何体的表面积：1.5×1.5×（6×3-4）=47.25（平方厘米） 体积：1.5×1.5×1.5×3=101.25（立方厘米） 【点评】考查拼图后几何体的表面积和体积求解方法，考查学生运用计算公式正确计算和分析能力。 8.右图是新疆吐鲁番的一种长方体土坯房，其中一间的底面积是18.6m,高是2.1m。它的容积是多少呢? 【分析】长方体体积（容积）=底面积×高 【解答】18.6×2.1=39.06（立方米） 【点评】考查体积（容积）计算方法。 9.一个长方体鱼缸,从里面量长50cm,宽40cm,高35cm。往鱼缸里倒人35L水,水深多少厘米? 【分析】水的体积÷水的底面积=水高 【解答】35L=35000立方厘米 35000÷（50×40）=175（厘米）=1.75米 【点评】考查长方体高的求解方法，培养学生灵活运用知识解决问题能力。 10.一个正方体容器从里面量,棱长总和是144cm。如果把这个正方体容器盛满水,再把水全部倒人从里面量长12cm、宽6cm的长方体容器中,长方体容器里的水深多少厘米? 【分析】先求出正方体的棱长和体积，在求出水高 【解答】 正方体棱长：144÷12=12（厘米） 正方体的容积：12×12×12 长方体容器中水高：12×12×12÷（12×6）=24（厘米） 【点评】综合考查正方体棱长、容积及长方体的高求解方法。倒入的水的体积不变，先求出水的体积，再计算出水高。 11.花园小区为居民新安装了50个休息的凳子,凳面的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm，凳腿的长、宽、高分别是45cm、5cm、35 cm。做这些凳子至少用了混凝土多少方? 【分析】求解长方体的体积。每条凳子有两条腿和一条凳面，先求出一条凳子的体积，在求出50条凳子体积即可。 【解答】（100×45×4.5+45×5×35×2）×50=1125000（立方厘米）=0.001125（方） 【点评】考查生活中数学问题：凳子的体积和单位换算。 12.有一长方体容器，从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝前竖起来，里面的水深是多少厘米？ 【分析】竖起来水的体积不变，底面积和高发生变化。水高=水的体积÷水的底面积 【解答】水的体积=底面积×水高=30×20×6=3600（立方厘米） 竖起来后水高=3600×（20×10）=18（厘米） 【点评】灵活运用体积计算方法解决问题。竖起来水的体积不变，底面积和高发生变化。 13.有一个长方体包装盒，长25厘米、宽20厘米，体积5立方分米，妈妈想用它放置一件长22厘米，宽0.8厘米，高11厘米的工艺品能否装下？ 【分析】装得下不能完全利用体积的包含问题解决。要先比较它们棱的长度。 5立方分米=5000立方厘米 高=5000÷（25×20）=10（厘米） 依次比较棱的长度：25＞22,20＞11，10＞0.8 所以能装得下 【点评】这种题型时易错题，有的题不能直接比较体积，因为要考虑空隙问题。所以要比较棱的长度才能确定放得放不下。 14.有一个密封的长方体水箱，从里面测得长是6分米、宽是4分米、高是10分米，箱内水的高度是8分米。如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面，求这时箱内水的高度是多少分米？ 【分析】与上面第12题方法一样 【解答】6×4×8÷（10×6）=3.2（厘米） 【点评】不管怎样放，水的体积始终不变，这是解决问题的关键。 专题突破七：排水法测量不规则物体容积 1.珊瑚石的体积是多少? 【分析】求解不规则问题的方法是排水法。排开水的体积=物体的体积 【解答】8×8×（7-6）=64（立方厘米） 【点评】排开水的体积=水的底面积×上升的水高。 2.求下图中大圆球的体积。 【分析】通过图2和图3，很容易求解圆球体积。 【解答】小圆球体积=（24-12）÷3=4（立方厘米） 大圆球体积=12-4=8（立方厘米） 【点评】考查不规则圆球的体积的计算方法（排水法），通过观察分析可以得出小圆球和大圆球体积。 3.爸爸在一个底面积为51dm2的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3cm。这个假山石的体积有多大? 【分析】考查排水法求解不规则物体体积。 【解答】51×3=153（立方厘米） 【点评】熟练掌握排水法求解问题体积的方法。 4.一个长方体玻璃容器,从里面量得长、宽、高分别是12dm、8dm、5dm。在里面盛满水,放人2个棱长4cm的正方体铁块,完全浸没在水中。容器里溢出的水的体积是多少? 【分析】完全浸没在水中问题体积=排开水的体积 溢出水的体积等于2个正方体铁块体积 【解答】4×4×4×2=128（立方厘米） 【点评】关键是：由于容器装满水，所以放入的体积是多大，溢出的水与问题体积相等。 5.一个棱长8cm的正方体容器,里面水深6.5cm。把一个物体放入后(物体完全浸没在水中),从容器里溢出45mL水。这个物体的体积是多少立方厘米? 【分析】由于容器未装满水，所以物体体积等于上升水体积+溢出水的体积 物体体积=8×8×（8-6.5）+45=141（立方厘米） 【点评】水面上升水的体积加上溢出的水的体积就是问题体积。考查学生的理解能力和计算能力。 6.下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：cm） （1）计算土豆和红薯的体积。 【分析】排水法测量办公桌土豆和红薯体积。上升水的体积就是土豆（红薯）体积 【解答】 土豆体积：12×8×（9.5-8）=144（立方厘米） 红薯体积：12×8×（12-9.5）=240（立方厘米） 【点评】注意加入后水面上升高度，这部分水的体积就是物体体积。涂2上升水高要与图2水高进行比较。 7.在一个长6米，宽4米的水池里注入2米深的水，现在将两块长2米，宽2米，高1.5米的长方体石块浸入水池中，水面会上升多少？ 【分析】上升水的体积=物体体积÷水的底面积 【解答】2×2×1.5×2÷（6×4）=0.5（米） 【点评】考查学生理解能力和计算能力。关键是抓住上升水的体积=物体体积。 8.在一只长50厘米、宽40厘米的长方体玻璃缸中放入一块长10厘米的正方体铁块，这时水深20厘米。若把这个铁块从长缸中取出，缸中的水面高都是厘米？ 【分析】铁块体积=水面下降部分体积 【解答】正方体体积=103=1000（立方厘米） 下降高度=1000÷（50×40）=0.5（厘米） 【点评】关键抓住“问题体积=排开水的体积”。 9.一个长6厘米、宽2厘米、高12厘米的长方体盒子牛奶，小文在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了，洒出了一些牛奶，也就是图中空白部分，盒子里还剩下牛奶多少毫升？ 【分析】可以采用“转化法”求解，可以把水的体积看作是高12-4÷2=10厘米的长方体体积。或者可以把正面梯形面积作为水的底面积，2cm作为水高。 6×2×（12-4÷2）=120（立方厘米） 或（12+12-4）×6÷2×2=120（立方厘米） 【点评】利用转化法把不规则长方体化成规则长方体来求解体积。 10.如图所示，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？ 【分析】排开水的体积等于下降水的体积 【解答】5×5×（5-2）÷50=1.5（厘米） 【点评】排开水的体积=物体体积。 11.一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米，先倒入82升水，再浸入一个棱长2分米的正方体铁块，这时水面离箱口还有1分米，这个水箱的容器是多少升？ 【分析】求出水箱容器，必须求出水箱的高度。先求出水箱容积即可 【解答】 水箱容积=82+6×5×1+2×2×2=120（立方分米）=120（L） 【点评】水箱里加入的水的体积+正方体铁块体积+1分米高的容积=容器总容积。 12.四块相同的正方形纸板,在四个角各剪去一个相同的正方形,然后分别做成没有盖的纸盒,在A、B、C、D中哪块纸板做出的纸盒容积最大?它们的容积各是多少?(单位:厘米) 【分析】纸板是长方体容器的表面积，利用的纸板越多，体积应该最大。 【解答】 A的体积：长=宽=12-1×2=10（厘米），体积=10×10×2=200（立方厘米）（最大） B的体积：长=宽=12-2×2=8（厘米），体积=8×8×2=128（立方厘米） C的体积：长=宽=12-3×2=6（厘米），体积=6×6×2=72（立方厘米） D的体积：长=宽=12-4×2=4（厘米），体积=4×4×2=32（立方厘米）（最小） 【点评】通过长方体表面展开图的数据求解做成的长方体容器的计算。 13.一个长方体水槽(如图1所示)，长为10dm,宽为8dm,水深3dm。将一个棱长为4dm的正方体铁块放进水槽后(如图2所示),这时水槽的水深是多少 dm? 【分析】此题要考虑铁块有没有完全浸没在水中。 【解答】加入没有完全浸没在水中，则水高=水的体积÷水的底面积，水现在的底面积变为容器底面积-铁块底面积。 水高=10×8×3÷（10×8-4×4）=240÷64=3.75（厘米）＜4厘米，所以铁块没有完全浸没在水中 【点评】此题稍难，求解水高时，学生容易把铁块完全浸没在水中来解决问题，造成错误。在解决此类问题时要先考虑是否完全浸没，要先使用未完全浸没再水中求解方法求出水高，再与铁块高度进行比较，如果水高超过铁块高度就表示完全浸没，反之则不然。 14.一个底面是正方形的容器里盛有水,从里面量边长是13厘米,水的高度是6厘米,把一个15厘米高的铁质长方体直立在容器里,水的高度上升到10厘米。长方体的体积是多少立方厘米? 【分析】此题铁质长方体高度大于水高，表示为未完全浸没在水中。求解方法为：水高=水的体积÷（容器底面积-铁质长方体的底面积） 或铁质底面积=容器底面积-水的体积÷水高 【解答】铁质长方体底面积为13×13-13×13×6÷10=67.6（平方厘米） 铁质长方体的体积=底面积×高=67.6×15=1014（立方厘米） 【点评】考查未未完全浸没在水中物体的体积。锻炼了学生的思维和计算能力。 专题突破八：体积和容积单位 一、填空。 1.相邻两个体积单位之间的进率是( )。 2.4.25m3=( ) dm3 390cm3=( ) dm3 1.02dmª=( )cm3 60dm3=( )m3 84000cm3=( )m3 0.5dm3=( )cm3 2800mL=( )L 930mL=( )L 1.2L=（ ）dm3=（ ）mL 1.05 L=( )mL 0.7L=（ ）mL 700cm3=( )mL=（ ）L 【分析】单位的换算计算方法。大单位转化小单位方法是乘以进率，反正除以进率。 4.25m3=( 4250 ) dm3 390cm3=( 0.39 ) dm3 1.02dmª=( 1020)cm3 60dm3=( 0.06)m3 84000cm3=(0.084)m3 0.5dm3=(500)cm3 2800mL=(2.8)L 930mL=( 0.93)L 1.2L=（1.2 ）dm3=（1200）mL 1.05 L=(1050)mL 0.7L=（700 ）mL 700cm3=(700)mL=（ 0.7）L 【点评】单位的换算，必须过好两关：第一是必须记住单位之间的进率；第二必须判断是高级单位化低级单位，还是低级单位转化高级单位，从而确定是×进率，还是÷进率。 3.一个棱长1dm的正方体可以切成( )个棱长1cm的小正方体。 【分析】1dm=10cm 10×10×10÷（1×1×1）=1000个 或1×1×1=1（立方分米），1×1×1=1（立方厘米），1立方分米=1000立方厘米 【点评】考查单位换算。 4.在横线上填上适当的容积单位。 【分析】考查单位的大小 5.物体所占空间的大小叫作物体的( 体积 )。 6.常用的体积单位有(立方米) 、(立方分米) 和 (立方厘米)。 7.棱长1dm的正方体,体积是( 1 )dm3。 8.用10个棱长1cm的小正方体拼成的任意立体图形,其体积都是（10）cm3。 9.在括号里填上合适的单位。 (1)一个信丰脐橙的体积约是1(立方分米)；(2)一台电脑主机的体积约是18(立方分米) (3)一个集装箱的体积约是30(立方米)；(4)一块橡皮擦的体积约是8( 立方厘米 ) 【分析】考查单位的换算和应用 【点评】要熟练掌握单位之间的进率和单位换算求解方法，能知道1立方厘米、1立方分米、1立方米的大小。 二、综合应用 1.一桶 200L小儿退热药液用250mL的瓶子装,可装多少瓶? 【分析】单位包含关系 【解答】200L=200000mL 200000÷250=800（瓶） 【点评】考查量的包含关系。 2.下面的立体图形是由棱长1cm的小正方体搭成的,它们的体积各是多少? 【分析】每一个小正方体的体积为1立方厘米，所以算出每个图形小正方体的个数即可。 【解答】见下图 【点评】算出小正方体的个数即可。 3.一团橡皮泥,明明第一次把它捏成一个球,第二次把它捏成一个正方体。捏成的两个物体,哪个的体积大?为什么? 【分析】体积不变，都相等 【解答】一样大 【点评】形状改变，但是体积不变。 一、填空。 1.2.5 L=( )mL， 3L=( )mL， 360mL=( )L 4.2dm3 =( )L =( )mL， 40cm3=( )dm3， 6.08 m3=( )dm3 【分析】单位换算方法。 【解答】 2.5 L=(2500)mL， 3L=(3000)mL， 360mL=( 0.36)L 4.2dm3 =(4.2)L =(4200)mL， 40cm3=(0.04)dm3， 6.08 m3=(6080)dm3 【点评】要掌握单位换算的计算方法即可。 2.一个长12cm、宽16cm、高18cm 的长方体木块,锯成棱长4cm 的小正方体木块,最多可以锯成( )个。 【分析】要考虑浪费，不能用体积包含关系解决，只能比较棱的长度。 【解答】12÷4=3 16÷4=4 18÷4≈4 个数为3×4×4=48（个） 【点评】此种类型学生容易出错。不能比较体积，只能比较棱的长度。 3.一个长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是4.5厘米， 他的占地面积最大是（ ）cm²，最小是（ ）cm²，它的棱长总和是（ ）cm，表面积是（ ）cm²。 【分析】综合考查长方体的认识和占地面积，棱长总和即表面积的计算方法。 【解答】最大10×5=50（平方厘米），最小5×4.5=22.5（平方厘米） 棱长总和(10+5+4.5)×2=39（厘米） 表面积（10×5+10×4.5+5×4.5）×2=235（平方厘米） 【点评】考查长方体有关知识点，要熟练掌握相关的计算公式正确进行计算。 4.一个棱长为6分米的正方体，它的占地面积是（ ）dm²，它的棱长总和是（ ）dm，它的表面积是（ ）dm²。 【分析】综合考查消正方体的占地面积、棱长总和及表面积计算。 【解答】 占地面积6×6=36平方厘米 路程总和6×12=72厘米 表面积6×6×6=216平方厘米 【点评】考查正方体有关知识点，要熟练掌握相关的计算公式正确进行计算。 5.一个长方体的棱长总和是92cm，它的长是10cm，高是8cm，宽是（ ）cm，它的表面积是（ ）cm²。 【分析】高=棱长总和÷4-长-宽，表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 【解答】 高：92÷4-10-8=5（厘米） 表面积：（10×8+10×5+8×5）×2=340（平方厘米） 【点评】考查学生熟练运用棱长和表面积计算公式，正确进行计算。 6.一个正方体的底面周长是16m，它的表面积是（ ）m²。 【分析】表面积=棱长×棱长×6 【解答】棱长=16÷4=4厘米 表面积=4×4×6=96平方厘米 【点评】熟练运用公式进行计算。 7.一个正方体的表面积是24cm²，它的底面积是（ ）cm²。 【分析】正方体底面积=表面积÷6 【解答】24÷6=4平方厘米 【点评】理解和掌握正方体的表面积的意义。 8.一个长方体4m，宽是长的一半，高是3m，这个长方体的棱长总和是（ ）m，表面积是（ ）m²。 【分析】长方体棱长总和=（长+宽+高）×4， 表面积=表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 【解答】 棱长总和=（4+4÷2+3）×4=36（米） 表面积=（4×2+4×3+2×3）×2=52（平方米） 【点评】熟练运用公式计算长方体棱长总和及表面积。 9.如图，一个长方体的三条棱，它的棱长总和是（ ）cm，表面积是（ ）cm²。 【分析】长方体棱长总和=（长+宽+高）×4， 表面积=表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 【解答】 棱长总和=（4+8+6）×4=72（厘米） 表面积=（8×6+8×4+6×4）×2=208（平方厘米） 【点评】相交于同一顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高。熟练运用公式计算长方体棱长总和及表面积。 10.一根长20dm的长方体木料，沿横截面锯成两段后，表面积增加了1.6dm²，这段长方体木料的表面积是（ ）dm²。 【分析】截成两段后表面积增加了2个横截面积。长方体体积=横截面积×长。 1.6÷2×20=16（立方分米） 【点评】考查体积计算方法，要熟练运用长方体体积公式正确计算。 二、选择。 1.一个水桶装满水后,水是15L,这个水桶的( )是15L。 A.质量 B.容积 C.体积 【解析】容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。 【解答】B 【点评】要熟练容积的意义，不要与体积的意义弄混淆。 2.一个仓库的容积是280( )。 A.L B.m3 C.mL 【解析】要熟练理解单位的意义和大小 【解答】B 【点评】仓库容积较大应该选择较大的单位名称。 【点评】能熟悉各容积单位的大小，并能正确选择合适的容积单位。 3.一个长方体水槽的容积是20L,底面长25cm,宽20cm。水槽的高是( )cm。 A.400 B.4 C.40 【解析】20L=20000立方厘米 2000÷（25×20）=4 答案：B 4.把一个棱长5dm的正方体平均分成两个完全一样的长方体后（如图），表面积（ ）， 体积（ ）。 A、不变 B、变大 C、变小 【分析】切开后表面积增加了两个正方形面积，总体积不变 【解答】B、A 【点评】切开表面积增加，合并表面积减少。 5.有一个长方体，若用三个不同的方法切成两个完全一样的长方体，表面积分别增加30平方厘米、20平方厘米、12平方厘米．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．62 B．124 C．248 【分析】每次增加的面积分别是上下两个长方形面积，左右两个长方形面积，前后两个长方形面积。 【解答】30+20+12=62（平方厘米） 【点评】从三个不同的方向切开后增加的6个面的面积就是长方体的表面积。 6.下面图形沿虚线折叠后不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 【分析】正方体表面展开图有1种类型。 【解答】B（没有411型） 【点评】熟悉掌握正方体表面展开图11种类型。 三、综合运用 能力提升 1.王大爷家的猪圈要用砖砌一道长15m、宽25cm、高2.8m的墙。如果每立方米用砖500块,这道墙一共用砖多少块? 【分析】先求出猪圈的体积，在求出用砖的块数。 【解答】25cm=0.25m 猪圈的体积：15×0.25×2.8 砖的块数：15×0.25×2.8×500=5250（块） 【点评】综合考查长方体的体积计算方法和砖的块数。 2.一个长方体木块,从上部和下部截去高分别是2cm和3cm的长方体后,变成一个正方体表面积减少了160cm。原来长方体木块的体积是多少立方厘来? 【分析】减少的面积为3+2=5cm的长方体的侧面积，从同一看出长方体的底面积是正方形。 底面周长=侧面积÷高=160÷（3+2）=32（厘米） 底面边长=32÷4=8（厘米） 长方体体积=底面积×高=8×8×（8+3+2）=832（立方厘米） 【点评】熟练掌握截去后长方体减少的面积就是侧面积，通过的侧面积计算方法求出底面积和长方体的体积。 3.一个长方体，如果高增加3cm，就变成棱长为8cm的正方体。原长方体的体积是多少cm？ 【解答】8×8×（8-3）=320（立方厘米） 4.一个密闭的长方体容器,从里面量得相交于同一顶点的3条棱的长度分别为10cm、10cm和16cm,容器内装了一些水。如果用相邻两边都是10cm的面作底面,这时水深12cm。如果用相邻两边分别是16cm、10cm的面作底面,这时水深多少厘米? 【分析】抓住水的体积不变，用水的体积÷容器底面积=水高求解即可 【解答】10×10×12÷（16×10）=7.5（厘米） 【点评】熟练运用长方体的体积公式计算水高。 5.一个长方体和一个正方体的棱长和相等，已知长方体的长是15cm，宽是12cm，高是3cm，这个正方体的表面积是多少？ 【分析】通过求出正方体的棱长总和求出棱长即可 【解答】正方体棱长：（15+12+3）×4÷6=20（厘米） 正方体表面积=棱长×棱长×6=20×20×6=2400（平方厘米） 【点评】熟练利用正方体棱长总和求出棱长，再求出正方体表面积。考查了学生理解和去运用公式计算能力。 6.一个长方体罐头，长13厘米，宽5厘米，高4厘米，如果在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 【分析】求解长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之和） 【解答】（13×4+5×4）×2=144（平方厘米） 【点评】正确理解商标纸的意义，正确求出侧面积。考查学生对侧面积的理解和公式运用。 7.求下列图形的表面积和体积。（单位：cm） 【分析】考查长方体的表面积和体积计算公式的应用 【解答】表面积=（8×4+8×5+4×5）×2=184（平方厘米） 体积=8×4×5=160（立方厘米） 【点评】熟练运用长方体的表面积和体积计算公式正确计算。 8.下面是一个长方体的展开图，分别求出这个长方体的表面积和体积。 【分析】长方体的展开图，从图中看出长宽高分别为10厘米、7厘米、4厘米。 【解答】表面积=（7×10+10×4+7×4）×2=276（平方厘米） 体积=10×7×4=208（立方厘米） 【点评】从图中找出长方体的长、宽、高，并正确运用公式计算。 9.如图，一个长方体礼品盒。如果实际用纸是表面积的1.5倍，包装这个礼品盒至少需要用多少平方厘米的包装纸？（长12cm、宽6cm、高4cm） 【分析】表面积的计算 （12×6+12×4+6×4）×2×1.5=432（平方厘米） 【点评】熟练运用公式求解长方体表面积。 10.如图，一个底面为正方形的长方体饼干盒，底面周长是36厘米，高22厘米．如果在它的侧面贴满一圈包装纸，包装纸的面积至少有多少平方厘米？饼干盒的体积是多少立方厘米？ 【分析】求解长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之和） 【解答】侧面积=底面周长×高=36×22=792（平方厘米） 底面边长：36÷4=9（厘米） 体积：9×9×22=1782（平方厘米） 【点评】正确理解商标纸的意义，正确求解长方体的侧面积和体积。 11.有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面会发生不断变化。当有一组相对的面形成正方形时，鱼缸内有多少升的水？ 【分析】水面有一组对面形成正方形的面是左右两个面，所以水面高为20cm。 【解答】水的体积=50×20×20=20000（立方厘米）=20立方分米=20L 【点评】考查学生对水面有一组对边形成正方形的理解，从而正确运用体积公式计算。 12.计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米） 【分析】观察图2和图3，看出5个小球的体积就是长方体中水高为10-5=5厘米的水的体积。 【解答】小球体积=5×5×（10-5）÷5=25（立方厘米） 大球体积=（5×5×5-25）÷2=50（立方厘米） 【点评】考查学生观察和分析能力。通过图3发现增加的5个小球的体积为5厘米水高部分的体积。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：长方体与正方体（基础篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：长方体和正方体认识 3 突破点二：长方体和正方体表面积 6 突破点三：组合图形的表面积 9 突破点四：长方体和正方体体积 10 突破点五：组合图形体积 13 突破点六：长方体和正方体容积 14 突破点七：排水法测量不规则物体体积 17 突破点八：体积及容积单位 19 综合突破 21 1.长方体和正方体相关计算公式 2.常用的体积和容积单位间的换算 3.正方体11种表面展开图 4.棱长与表面积与体积之间的关系 长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)同时扩大到原来的n倍,表面积就扩大到原来的n2倍,体积就扩大到原来的n3倍。如长方体的长、宽、高各扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的8倍,表面积就扩大到原来的4倍。 5.拼接表面积变化关系 n个相同的小正方体排成一排拼成一个长方体时,它们减少2(n-1)个面,每个面上有4条棱,则共减少8(n-1)条棱。 6.表面涂色的正方体相关规律 由n3(n为大于1的自然数)个小正方体拼成的大正方体,3面涂色的小正方体有8个,2面涂色的小正方体有12(n-2)个,1面涂色的小正方体有6(n-2)2个,没有涂色的小正方体有(n-2)3个。 7.用排水法求不规则物体的体积 （1）被浸没物体的体积等于升高部分水的体积(水不溢出)。计算方法如下: ①容器的底面积×水面上升的高度; ②放入物体后水和物体的总体积-放入物体前水的体积。 （2）竖直插入未完全浸没时水高。计算方法如下: 水高=上升水的体积÷（容器底面积-插入的铁棒底面积）。 专题突破一：长方体和正方体认识 一、填空。 1.(1)如图所示，这个纸巾盒的正面和后面是（ ）形，长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 (2)它的左面和右面是（ ）形，长 是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 (3)它的上面和下面是（ ）形，长 是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 2.(1)长方体有( )条棱,每一组( )的棱的长度相等,相交于同一顶点的3条 棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 (2)如图,与a、b、h分别平行的棱各有( )条, 与h垂直并相交的棱有( )条。 3.(1)正方体有( )个面,每个面都是( ),每个面的面积大小( )。 (2)正方体可以看成是( )、( )、( )都相等的特殊的( )。 (3)如图,大正方体是由棱长1cm的小正方体拼成的,它的棱长是( )cm,棱长总和是( )cm。 (4)用铁丝做一个长方体框架,若相交于同一顶点的3根铁丝分别是20cm、15cm和12cm,则一共用了( )cm长的铁丝。 二、选择 1.一个长方体有4个面完全相同,另外两个面是( )。 A.长方形 B.正方形 C.无法确定 2.一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h,这个长方体的棱长总和是( )。 A.a+b+h B.(a+b+h)×3 C(a+b+h)×4 3.用一根( )长的铁丝正好做一个长3cm、宽2cm、高2cm的长方体框架。 A.7 cm B.28 cm C.42cm 4.一个长方体的棱长总和是132cm,相交于同一顶点的3条棱 的长度之和是( )cm。 A.66 B.44 C.33 5.至少用( )个棱长1cm的小正方体才能拼成一个大正方体。 A.9 B.4 C.8 6.一个正方体的棱长总和是108cm,它的棱长是( )。 A.9 cm B.8cm C.7cm 7.小芳同学要给小童同学送一个生日礼物,用彩带捆扎盒如下图所示,为了美观要留出12厘米的彩带来打结。捆扎这个盒子需要彩带（ ）厘米。 A.112 B.152 C.312 D.332 三、综合运用 1.老师为同学们准备了一些小棒,试着用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框架。 (1)相交于同一顶点的3条棱分别长多少厘米? (2)这个长方体框架的棱长总和是多少? 2.用一根长20dm的铁丝做一个棱长是整分米数的长方体框架,这个长方体框架的长,宽、高可能是多少分米? 3.两根同样长的铁丝,一根正好围成一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架,另一根正好围成一个正方体框架。这个正方体的棱长是多少厘米?(接头忽略不计) 4.把一块长方体黄元米果切成两个完全相同的正方体,这两个正方体的棱长总和比原来长方体的棱长总和增加了64cm,原来长方体黄元米果的长是多少厘米? 5.小卖部要做一个长2.2m、宽40cm、高80cm的玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁? 6.正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与 A、E、I相对的面分别是哪个面? 专题突破二：长方体和正方体表面积 一、填空 1.长方体或正方体( )个面的面积之和,叫作它的表面积。 2.一个正方体的棱长是2dm,它每个面的面积是( )dm2。 3.将右面的展开图围成长方体后,A和( )相对，B和（ ）相对，C和（ ）相对。 4.如图,2个棱长1cm的小正方体拼成了一个长方体,这个长方体的长是（ ）cm,宽是( )cm,高是( )cm,它的表面积比2 个小正方体的表面积之和减少了( )cm2。 5.一个正方体的棱长是2dm,现在把它的棱长扩大到原来的3倍,现在这个正方体的表面积就是( )dm2。 6.一个长方体的长是8cm,宽是6cm,高是5cm,若把它放在桌子上,桌面被遮住的最大面积是( )cm2。 二、选择题 1.下面图形沿虚线折叠,能围成正方体的是( )。 2.下面图形沿虚线折叠,能围成长方体的是( ) 3.一个长方体长6dm,宽2.5dm,高4dm,在这个长方体的6个面中,面积最大的是（ ）dm2。 A.24 B.15 C.60 4.一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,这个正方体的表面积就扩大到原来的( )倍。 A.2 B.4 C.6 5.右面是江西狗牯脑茶叶包装盒的展开图(单位:dm),这个包装盒的表面积是( )dm2。 A.50 B.80 C.100 6.一个长方体鱼缸的长是40cm,宽是10cm,高是55cm,这个鱼缸的占地面积是( ) cm2。 A.400 B.550 C.2200 三、综合运用，能力提升 1.弋阳年糕是江西省上饶市弋阳县的特色食品。请在下面的方格中涂色,使涂色的图形能围成一块长3cm、宽1cm、高1cm的长方体弋阳年糕的形状,其中相对的面要涂上相同的颜色。(每个小方格的边长是1cm) 2.用2个长10cm,宽5cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最大是多少?最小是多少? 3.如图,用8个棱长2cm的小正方体搭成一个大正方体。这个大正方体的表面积是多少?取走一个小正方体后,表面积有无变化?现在几何体的表面积是多少? 4.如图所示，做一个微波炉的包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板? 5.明明家要给一个长0.75m、宽0.5 m、高 1.6 m的简易衣柜换布罩(如图，没有底面)。至少需要用布多少平方米? 四、思维拓展 1.把两块长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体物体拼成一个大的长方体,有几种拼法?每种拼法的大长方体的表面积各是多少? 2.把一个长、宽、高分别是8、7、4厘米的长方体截成两个长方体,使这两个长方体表面积之和最大是多少？最小是多少？ 3.如下图所示的正方体的展开图是（ ）。(请填写符合题意的字母) 4.把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个? 专题突破三：组合图形的表面积 1.这个颁奖台是由3个长方体合并而成的。它的前后两面涂上黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少? 2.学校要粉刷新教室。已知教室的11.长是8m，宽是6m，高是3m，门窗的面积是11.4m2。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱? 3.某古建筑景点定做了25个宫灯形的垃圾桶(如右图)。垃圾桶外侧有一层外饰面。如果外饰面每平方米180元，这些垃圾桶的外饰面一共要花多少钱? 4.棱长为4厘米的正方体,在各面的正中央都挖去一个棱长为1厘米的小正方体,剩下多面体的表面积是多少平方厘米？ 5.如下图,图形的表面积为多少平方厘米？(单位:厘米) 6.下图中的立体图形是由14个棱长为5cm的小立方体组成的，求这个立体图形的表面积。 7.6个棱长是1cm的小正方体摆成一个长方体，这个长方体表面积最大（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。 8.一个正方体和一个长方体刚好拼出一个新的长方体，其表面积比原来减少了60平方厘米，求原来正方体的表面积。 专题突破四：长方体和正方体体积 一、填空。 1.一个长方体的长是6m,宽是4m,高是2m,它的体积是( )m3。 2.一个正方体的棱长是9dm,它的体积是( )dm3。 3.一个正方体的棱长总和是24cm,这个正方体的体积是( )cm3。 4.一个长方体的体积是60 dm3,长是10dm,宽是3dm,它的高是( )dm。 5.一个长方体长8dm,宽6dm,高4dm,它的占地面积最大是( )dm2,最小是( )dm2. 6.把一根长5m的长方体木料截成3段,表面积增加了60dm2,原来这根木料的体积是（ ）dm3。 二.选择。 1.a3表示( ）。 A.a×3 B,a×a×a C.a+a+a 2.把一块石头放人装有水的杯子里,水面( )。 A.降低 B.不变 C.升高 3.正方体的棱长扩大为原来的2倍,体积就( ) A.扩大为原来的8倍 B.扩大为原来的6倍 C.不变 4.一个正方体的体积是125cm3,它的棱长是( )cm。 A.10 B.5 C.15 5.表面积是24cm2的正方体,它的体积是（ ）cm3。 A.8 B.4 C.24 6.一个长方体的长扩大到原来的2倍,宽扩大到原来的4倍,高不变,这个长方体的体积（ ） A.扩大到原来的8倍 B.扩大到原来的6倍 C.扩大到原来的2倍 三、综合运用，能力提升 1.修路队要给一段长200m、宽20m的路面铺一层6cm厚的沥青混凝土,一共需要沥青混凝土多少立方米? 2.把一个棱长6dm的正方体铁块铸造成一个长9dm、宽8dm的长方体,这个长方体的高是多少分米? 3.聪聪设计了一个九江茶饼的包装盒,包装盒是一个长方体,三个相邻的面的面积分别是15dm2、20dm2、12dm2。聪聪设计的这个包装盒的体积是多少立方分米? 4.一根长方体钢材,它的横截面的面积是25cm2,长是4m,这根钢材的体积是多少立方分米?如果每立方分米钢材重7.8kg,这根钢材重多少千克? 5.一种饼干的包装盒长20cm,宽15cm,高7cm。把100盒这样的饼干叠放在一起能占多大空间? 6.建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm 的长方体土坑，一共要挖出多少方的土? 7.家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是 2.4dm2，长是3m。这些木料一共是多少方? 8.计算下面图形的体积。（单位：cm） 9.一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6dm、5 dm、4dm,那么正方体的棱长是多少分米?它们的体积相等吗? 10.茶厂工人要将长、宽各为20cm，高为10cm的长方体茶盒装入棱长为30cm的正方体纸箱，最多能装几盒?怎样才能装下? 专题突破五：组合图形体积 1.求下列图形的体积。（单位：cm） 2.求下列图形的体积。（单位：dm） 3.一个长为20dm的长方体截成三段，表面积增加了60平方分米，则原来长方体的体积是（ ）dm3。 4.一个棱长为1dm的正方体可以分成（ ）个棱长1cm的小正方体，如果把这些小正方体排成一排，长度是（ ）m。 5.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 6.一个长方体，前面和上面的两个面的面积之和是275平方厘米，且长、宽、高都是质数。求这个长方体表面积和体积。 7.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。 专题突破六：长方体和正方体容积 1.一个长方体鱼缸,能容水14L。鱼缸的高是20cm,其底面积是多少平方分米? 2.一种微波炉，产品说明书上标明:炉腔内部尺寸400×225×300(单位:mm)。这个微波炉的容积是多少升? 3.某海岛战士为解决岛上淡水缺乏问题，和当地居民共同修建了一个长22m、宽10m、深1.8m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水多少立方米? 4.某邮政运货车的车厢是长方体，从里面量长3m，宽2.5m，高2m。它的容积是多少立方米? 5.在一个长8m、宽5m、高2m的水池中注满水,然后把两条长3m、宽2m、高4m的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少? 6.哈尔滨冰雪大世界每年用的冰大约能融化成8万立方米的水，它们相当于多少个长50 m、宽25 m、深1.2m的水池的储水量? 7.把2块棱长为1.5dm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积、表面积分别是多少?如果是用3块正方体拼的图形呢? 8.右图是新疆吐鲁番的一种长方体土坯房，其中一间的底面积是18.6m,高是2.1m。它的容积是多少呢? 9.一个长方体鱼缸,从里面量长50cm,宽40cm,高35cm。往鱼缸里倒人35L水,水深多少厘米? 10.一个正方体容器从里面量,棱长总和是144cm。如果把这个正方体容器盛满水,再把水全部倒人从里面量长12cm、宽6cm的长方体容器中,长方体容器里的水深多少厘米? 11.花园小区为居民新安装了50个休息的凳子,凳面的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm，凳腿的长、宽、高分别是45cm、5cm、35cm。做这些凳子至少用了混凝土多少方? 12.有一长方体容器，从里面量长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝前竖起来，里面的水深是多少厘米？ 13.有一个长方体包装盒，长25厘米、宽20厘米，体积5立方分米，妈妈想用它放置一件长22厘米，宽0.8厘米，高11厘米的工艺品能否装下？ 14.有一个密封的长方体水箱，从里面测得长是6分米、宽是4分米、高是10分米，箱内水的高度是8分米。如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面，求这时箱内水的高度是多少分米？ 专题突破七：排水法测量不规则物体容积 1.珊瑚石的体积是多少? 2.求下图中大圆球的体积。 3.爸爸在一个底面积为51dm2的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3cm。这个假山石的体积有多大? 4.一个长方体玻璃容器,从里面量得长、宽、高分别是12dm、8dm、5dm。在里面盛满水,放人2个棱长4cm的正方体铁块,完全浸没在水中。容器里溢出的水的体积是多少? 5.一个棱长8cm的正方体容器,里面水深6.5cm。把一个物体放入后(物体完全浸没在水中),从容器里溢出45mL水。这个物体的体积是多少立方厘米? 6.下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：cm） （1）计算土豆和红薯的体积。 （2）土豆的体积是红薯体积的几分之几？ 7.在一个长6米，宽4米的水池里注入2米深的水，现在将两块长2米，宽2米，高1.5米的长方体石块浸入水池中，水面会上升多少？ 8.在一只长50厘米、宽40厘米的长方体玻璃缸中放入一块长10厘米的正方体铁块，这时水深20厘米。若把这个铁块从长缸中取出，缸中的水面高都是厘米？ 9.一个长6厘米、宽2厘米、高12厘米的长方体盒子牛奶，小文在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了，洒出了一些牛奶，也就是图中空白部分，盒子里还剩下牛奶多少毫升？ 10.如图所示，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？ 11.一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米，先倒入82升水，再浸入一个棱长2分米的正方体铁块，这时水面离箱口还有1分米，这个水箱的容器是多少升？ 12.四块相同的正方形纸板,在四个角各剪去一个相同的正方形,然后分别做成没有盖的纸盒,在A、B、C、D中哪块纸板做出的纸盒容积最大?它们的容积各是多少?(单位:厘米) 13.一个长方体水槽(如图1所示)，长为10dm,宽为8dm,水深3dm。将一个棱长为4dm的正方体铁块放进水槽后(如图2所示),这时水槽的水深是多少 dm? 14.一个底面是正方形的容器里盛有水,从里面量边长是13厘米,水的高度是6厘米,把一个15厘米高的铁质长方体直立在容器里,水的高度上升到10厘米。长方体的体积是多少立方厘米? 专题突破八：体积和容积单位 一、填空。 1.相邻两个体积单位之间的进率是( )。 2.4.25m3=( ) dm3 390cm3=( ) dm3 1.02dmª=( )cm3 60dm3=( )m3 84000cm3=( )m3 0.5dm3=( )cm3 2800mL=( )L 930 mL=( )L 1.2L=（ ）dm3=（ ）mL 1.05 L=( )mL 0.7L=（ ）mL 700cm3=( )mL=（ ）L 3.一个棱长1dm的正方体可以切成( )个棱长1cm的小正方体。 4.在横线上填上适当的容积单位。 5.物体所占空间的大小叫作物体的( )。 6.常用的体积单位有( ) 、( ) 和 ( )。 7.棱长1dm的正方体,体积是( )dm3。 8.用10个棱长1cm的小正方体拼成的任意立体图形,其体积都是（ ）cm3。 9.在括号里填上合适的单位。 (1)一个信丰脐橙的体积约是1( )；(2)一台电脑主机的体积约是18( ) (3)一个集装箱的体积约是30( )；(4)一块橡皮擦的体积约是8( ) 二、综合应用 1.一桶 200L小儿退热药液用250mL的瓶子装,可装多少瓶? 2.下面的立体图形是由棱长1cm的小正方体搭成的,它们的体积各是多少? 3.一团橡皮泥,明明第一次把它捏成一个球,第二次把它捏成一个正方体。捏成的两个物体,哪个的体积大?为什么? 一、填空。 1.2.5 L=( )mL， 3L=( )mL， 360mL=( )L 4.2dm3 =( )L =( )mL， 40cm3=( )dm3， 6.08 m3=( )dm3 2.一个长12cm、宽16cm、高18cm的长方体木块,锯成棱长4cm 的小正方体木块,最多可以锯成( )个。 3.一个长方体的长是10厘米，宽是5厘米，高是4.5厘米， 他的占地面积最大是（ ）cm²，最小是（ ）cm²，它的棱长总和是（ ）cm，表面积是（ ）cm²。 4.一个棱长为6分米的正方体，它的占地面积是（ ）dm²，它的棱长总和是（ ）dm，它的表面积是（ ）dm²。 5.一个长方体的棱长总和是92cm，它的长是10cm，高是8cm，宽是（ ）cm，它的表面积是（ ）cm²。 6.一个正方体的底面周长是16m，它的表面积是（ ）m²。 7.一个正方体的表面积是24cm²，它的底面积是（ ）cm²。 8.一个长方体4m，宽是长的一半，高是3m，这个长方体的棱长总和是（ ）m，表面积是（ ）m²。 9.如图，一个长方体的三条棱，它的棱长总和是（ ）cm，表面积是（ ）cm²。 10.一根长20dm的长方体木料，沿横截面锯成两段后，表面积增加了1.6dm²，这段长方体木料的表面积是（ ）dm²。 二、选择。 1.一个水桶装满水后,水是15L,这个水桶的( )是15L。 A.质量 B.容积 C.体积 2.一个仓库的容积是280( )。 A.L B.m3 C.mL 3.一个长方体水槽的容积是20L,底面长25cm,宽20cm。水槽的高是( )cm。 A.400 B.4 C.40 4.把一个棱长5dm的正方体平均分成两个完全一样的长方体后（如图），表面积（ ）， 体积（ ）。 A、不变 B、变大 C、变小 5.有一个长方体，若用三个不同的方法切成两个完全一样的长方体，表面积分别增加30平方厘米、20平方厘米、12平方厘米．这个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．62 B．124 C．248 6.下面图形沿虚线折叠后不能围成正方体的是（　　）。 A． B． C． D． 三、综合运用 能力提升 1.王大爷家的猪圈要用砖砌一道长15m、宽25cm、高2.8m的墙。如果每立方米用砖500块,这道墙一共用砖多少块? 2.一个长方体木块,从上部和下部截去高分别是2cm和3cm的长方体后,变成一个正方体表面积减少了160cm。原来长方体木块的体积是多少立方厘来? 3.一个长方体，如果高增加3cm，就变成棱长为8cm的正方体。原长方体的体积是多少cm3？ 4.一个密闭的长方体容器,从里面量得相交于同一顶点的3条棱的长度分别为10cm、10cm和16cm,容器内装了一些水。如果用相邻两边都是10cm的面作底面,这时水深12cm。如果用相邻两边分别是16cm、10cm的面作底面,这时水深多少厘米? 5.一个长方体和一个正方体的棱长和相等，已知长方体的长是15cm，宽是12cm，高是3cm，这个正方体的表面积是多少？ 6.一个长方体罐头，长13厘米，宽5厘米，高4厘米，如果在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 7.求下列图形的表面积和体积。（单位：cm） 8.下面是一个长方体的展开图，分别求出这个长方体的表面积和体积。 9.如图，一个长方体礼品盒。如果实际用纸是表面积的1.5倍，包装这个礼品盒至少需要用多少平方厘米的包装纸？（长12cm、宽6cm、高4cm） 10.如图，一个底面为正方形的长方体饼干盒，底面周长是36厘米，高22厘米．如果在它的侧面贴满一圈包装纸，包装纸的面积至少有多少平方厘米？饼干盒的体积是多少立方厘米？ 11.有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面会发生不断变化。当有一组相对的面形成正方形时，鱼缸内有多少升的水？ 12.计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$