（新课衔接站）专题05 圆锥的体积-2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题05 圆锥的体积 （导图+6个知识点+4个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆锥的体积定义 2 知识点02：圆锥的体积公式 2 知识点03：圆锥体积的计算步骤 2 知识点04：圆锥体积的单位 3 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 3 知识点06：圆锥体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆锥的体积 4 考点2：组合图形的体积 6 考点3：探索某些实物体积的测量方法 7 考点4：规则立体图形的体积 9 真题汇编拔尖练 11 知识点01：圆锥的体积定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，它是三维几何中的一个重要概念。 知识点02：圆锥的体积公式 圆锥的体积V可以通过其底面积S底和高h来计算。由于圆锥的底面是一个圆，其面积S底可以用公式πr²来表示（其中r是底面半径）。因此，圆锥的体积公式为： V=×S底×h=×πr²×h 这个公式表明，圆锥的体积是其底面积与高的乘积的三分之一。 知识点03：圆锥体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆锥的底面半径rrr和高hhh。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr2S_{底} = \pi r^{2}S底​=πr2计算圆锥的底面积。 3. 计算体积： 将底面积S底和高h代入圆锥体积的公式V=×S底×h，计算出圆锥的体积。 知识点04：圆锥体积的单位 圆锥的体积单位与圆柱相同，通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，表示三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位。 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。这意味着，如果一个圆锥与一个圆柱有相同的底面半径和高，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。 知识点06：圆锥体积的应用 圆锥体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆锥形容器的容量、估算圆锥形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆锥的体积，我们可以更好地理解和利用圆锥这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆锥的体积 【典例精讲】（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，已知圆锥的底面积是39平方厘米，那么圆柱的底面积是　　平方厘米。 A．39 B．13 C．117 D．156 【变式1】（2024•盐湖区）“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变，但是面积或体积不变。如图运用了“等积变形”这一思想方法的有　　 A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（2024•广汉市）一根圆柱形木料，长0.5米。如果把它沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，这根木料的体积是 　 　立方厘米；如果把它削成一个最大的圆锥，要削去 　　立方厘米。取值为 【变式3】（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　　分米。取 图1 图2 【变式4】（2024•玉溪）学习了圆柱和圆锥的体积后，王华做了一个圆柱形和一些圆锥形容器，并进行了下面两个实验。（单位： （1）实验一：王华在圆柱形容器里装了一些水（如图1所示），再将这些水全部倒入下面圆锥 　丙　容器中能恰好倒满且无溢出。 （2）实验二：王华按照图2步骤测量了一个土豆的体积。请你求出这个土豆的体积。（取出土豆的过程中沾的水忽略不计） 考点2：组合图形的体积 【典例精讲】（2024•昌平区）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一，小刚有一个木制陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•龙岗区期中）一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，其体积是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•怀化）如图，梯形以为轴旋转一周得到了一个几何体，已知分米，，分米，那么这个几何体的体积是 　 　立方分米。 【变式3】（2024•埇桥区）如图所示的零件模具是由一个圆锥和一个长方体组成的。已知圆锥的底面半径是，高是；长方体的底面是正方形，边长是，高是底面边长的。要铸这个零件需要铁块多少立方分米？ 【变式4】（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 考点3：探索某些实物体积的测量方法 【典例精讲】（2024•诸城市）我们可以采用“排水法”来测量物体的体积，根据如下实验，可知水面下降了　　。 A．2.4 B．1.5 C．3.6 D．7.2 【变式1】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【变式2】（2024•本溪）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个试验。（单位： （1） 试验一：王华在圆柱形容器里面装了一些水（如图），再将这些水倒入下面一个圆锥形容器中，倒入 　 　圆锥形容器中能恰好倒满。 （2）试验二：王华按照下面的步骤测量了一个土豆的体积。 根据上面的测量结果，你能求出这个土豆的体积是多少立方厘米吗？ 【变式3】（2024•湛江）根据实验过程求小圆锥体教具的体积是多少？ 实验材料：一个底面半径为的圆柱形玻璃杯、1个小圆锥体教具、水。 实验过程： ①往玻璃杯里加水，测量水面高度； ②放入一个小圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度。 考点4：规则立体图形的体积 【典例精讲】（2020•偃师市）两个大小相同的量杯中都盛有水。将等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱的体积是　　，乙量杯中水面刻度应是　　。 【变式1】（2024•陕州区）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？ 【变式2】（2017•宁波模拟）如图是直角梯形，以为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是多少立方厘米？ 【变式3】（2020•新蔡县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱．量得圆柱的底面周长是，高，圆锥的高是．这个粮围能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重750千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？（得数保留一位小数） 【变式4】（2018•德宏州）按要求计算。 （1）计算下面圆柱的表面积。 （2）计算下面圆锥的体积。 一．选择题 1．（2024•平度市）一个图形从上面、正面观察，看到的形状如图所示。这个图形的体积是　　立方厘米。 A．25.12 B．75.36 C．100.48 2．（2024•遵化市）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，则它的体积　　 A．缩小到原来的。 B．扩大到原来的2倍。 C．扩大到原来的4倍。 3．（2024•余干县）一个圆锥的底面周长为，高为，那么这个圆锥的体积为　　。 A．188.4 B．62.8 C．471 D．157 4．（2024•金水区模拟）一个直角三角形的两条直角边分别是和，斜边是分别以两条直角边所在的直线为轴把三角形旋转一周得到相应的立体图形（如右图所示），这两个立体图形的体积相比，　　 A．甲的体积大 B．乙的体积大 C．一样大 5．（2023•游仙区）如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只圆锥形的酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半儿，共能倒满　　杯。 A．10 B．15 C．20 D．30 二．填空题 6．（2024•茌平区）图中呈现的是一瓶果汁和一支圆锥形玻璃杯（直径形同），如果把瓶中的果汁倒入这样的锥形玻璃杯，最多可以倒满　　杯。（容器厚度忽略不计） 7．（2024•肥乡区）沙漏是古人用的一种计时仪器。如果将如图的沙漏装满沙子，然后一点点漏入一个与它等底等高的圆柱中，沙子漏完后，把沙子平铺，圆柱里沙子的高为 　　。 8．（2024•沙市区）如图，三角形以直角边所在的直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是 　　。 9．（2024•巴音郭楞州）如图，以直角三角形的一条直角边为轴快速旋转一周，可以形成一个 　　，以 　　（填“长”或“短” 的直角边为轴旋转时形成几何体的体积最小，是 　　。 10．（2024春•临漳县期中）将如图的直角三角形以短的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是 　　立方厘米。 11．（2023•未央区）在长、宽的长方体容器中注入一些水，将等底、等高的圆柱和圆锥浸没在水中（如图），水面上升了。圆柱的体积是 　　 圆锥的体积是　　。 三．判断题 12．（2024•临清市）若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。 　　（判断对错） 13．（2024•三原县）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。 　　（判断对错） 14．（2024•蒸湘区）分别以如图三角形的两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相等。 　　（判断对错） 15．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 四．计算题 16．（2024•榆林）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 17．（2023•重庆模拟）求图的体积。 五．应用题 18．（2024•渭南）某建筑工地有一个圆锥形沙堆，它的底面周长是18.84米，高比底面半径多，这个沙堆的体积是多少立方米？ 19．（2024•襄城县）长征二号运载火箭顶部是逃逸塔的发动机部分。为了方便研究，学校科学小组的同学制作了一个模型（实线部分为模型）。这个模型的体积是多少立方分米？取 20．（2024•霍邱县）请根据圆锥的自述，解决问题。 “小朋友，你好！我是圆锥。我是由底面和侧面组成的。我只有一个圆形底面，在我顶点放置一块与底面平行的平板，量出这块平板与底面之间的距离，就能知道我的高了。我的高是，我的体积是。你知道我的底面积是多少平方厘米吗？” 21． （2024•袁州区）一个底面半径是的圆柱玻璃器皿里装有一部分水，水中浸着一个高为的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个圆锥的底面积是多少？ 22． （2024•安顺）一个底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有水，水里完全浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面下降了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 23．（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 24．（2024•椒江区）如图，这是一个由底面积相等的圆锥和长方体组合而成的沙漏计时工具，上面的圆锥内装满了沙子，下面的长方体内有一个小公仔。已知沙子的流速是分。取 （1）圆锥内的沙子漏完需要多长时间？ （2）当圆锥内的沙子全部漏完时，小公仔已经完全被埋进沙子中，此时沙子的高度是3.5厘米，小公仔的体积是多少立方厘米？ 25．（2024•晋中）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了右图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间分 3 4 5 ①这个沙漏里共有 　　的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成 　　比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏 　　的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 26．（2024•未央区）用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分注入0.8立方米水，从空箱到注满，一共需要多少分？（厚度忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题05 圆锥的体积 （导图+6个知识点+4个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆锥的体积定义 2 知识点02：圆锥的体积公式 2 知识点03：圆锥体积的计算步骤 2 知识点04：圆锥体积的单位 3 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 3 知识点06：圆锥体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆锥的体积 4 考点2：组合图形的体积 8 考点3：探索某些实物体积的测量方法 11 考点4：规则立体图形的体积 14 真题汇编拔尖练 17 知识点01：圆锥的体积定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，它是三维几何中的一个重要概念。 知识点02：圆锥的体积公式 圆锥的体积V可以通过其底面积S底和高h来计算。由于圆锥的底面是一个圆，其面积S底可以用公式πr²来表示（其中r是底面半径）。因此，圆锥的体积公式为： V=×S底×h=×πr²×h 这个公式表明，圆锥的体积是其底面积与高的乘积的三分之一。 知识点03：圆锥体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆锥的底面半径rrr和高hhh。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr2S_{底} = \pi r^{2}S底​=πr2计算圆锥的底面积。 3. 计算体积： 将底面积S底和高h代入圆锥体积的公式V=×S底×h，计算出圆锥的体积。 知识点04：圆锥体积的单位 圆锥的体积单位与圆柱相同，通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，表示三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位。 知识点05：圆锥体积与圆柱体积的关系 圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体积的三分之一。这意味着，如果一个圆锥与一个圆柱有相同的底面半径和高，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。 知识点06：圆锥体积的应用 圆锥体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆锥形容器的容量、估算圆锥形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆锥的体积，我们可以更好地理解和利用圆锥这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆锥的体积 【典例精讲】（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，已知圆锥的底面积是39平方厘米，那么圆柱的底面积是　　平方厘米。 A．39 B．13 C．117 D．156 【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，高也相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答即可。 【规范解答】解：（平方厘米） 答：圆柱的底面积是13平方厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【变式1】（2024•盐湖区）“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变，但是面积或体积不变。如图运用了“等积变形”这一思想方法的有　　 A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】①观察图形可知，利用排水法求正方体木块的体积，即将正方体木块的体积转化为圆柱的体积，形状改变，但体积不变，符合等积变形这一思想方法；②将平行四边形的面积转化为长方形的面积，形状改变，但面积不变，符合等积变形这一思想方法；③将圆锥沙堆转化为长方体沙堆，形状改变，但体积不变，符合等积变形这一思想方法； ④将圆的面积转化为近似长方形的面积，形状改变，但体积不变，符合等积变形这一思想方法。 【规范解答】解：根据分析可知，运用了“等积变形”这一思想方法的有①②③④。 故选：。 【考点评析】本题考查了“等积变形”这一思想方法的应田，结合题意分析解答即可。 【变式2】（2024•广汉市）一根圆柱形木料，长0.5米。如果把它沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，这根木料的体积是 　1413　立方厘米；如果把它削成一个最大的圆锥，要削去 　　立方厘米。取值为 【思路点拨】根据题意可知，把这根圆柱形木料沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的底面直径，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这根木料的体积。把它削成一个最大的圆锥，要削去的体积是圆柱体积的，据此解答即可。 【规范解答】解：0.5米厘米 （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这根木料的体积是1413立方厘米，如果把它削成一个最大的圆锥，要削去942立方厘米。 故答案为：1413，942。 【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【变式3】（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　8　分米。取 图1 图2 【思路点拨】根据体积的意义可知，这个密封的容器无论正放还是倒放，容器里水的体积不变。根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆柱、圆锥的高为分米，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设圆柱、圆锥的高为分米。 答：这个容器圆柱部分的高是8分米。 故答案为：8。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，以及列方程解决问题的方法及应用，关键是熟记公式。 【变式4】（2024•玉溪）学习了圆柱和圆锥的体积后，王华做了一个圆柱形和一些圆锥形容器，并进行了下面两个实验。（单位： （1）实验一：王华在圆柱形容器里装了一些水（如图1所示），再将这些水全部倒入下面圆锥 　丙　容器中能恰好倒满且无溢出。 （2）实验二：王华按照图2步骤测量了一个土豆的体积。请你求出这个土豆的体积。（取出土豆的过程中沾的水忽略不计） 【思路点拨】（1）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 （2）根据不规则物体体积的测量方法，把这个土豆放入圆柱形容器中再倒满水，当把这个土豆取出后下降部分水的体积就等于这个推导法体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）（厘米） 图1中圆柱的底面直径是12厘米，水面高是6厘米，圆锥丙的底面直径是12厘米，圆锥的高是18厘米，所以图1圆柱容器中水全部倒入圆锥丙中能恰好倒满且无溢出。 （2） （立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 故答案为：丙。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，不规则物体体积的测量方法及应用，圆柱的体积公式及应用。 考点2：组合图形的体积 【典例精讲】（2024•昌平区）陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一，小刚有一个木制陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个陀螺的体积底面直径是6厘米，高是6厘米的圆柱的体积底面直径是6厘米，高是3厘米的圆锥的体积，由此列式计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：这个陀螺的体积大约是立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 【变式1】（2024春•龙岗区期中）一年一度的科技节正如火如荼的进行中，如图是乐乐参加比赛制作的火箭模型，其体积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：体积是100.48立方厘米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式2】（2024•怀化）如图，梯形以为轴旋转一周得到了一个几何体，已知分米，，分米，那么这个几何体的体积是 　122.46　立方分米。 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个几何体的体积底边半径是3分米，高是5分米的圆柱的体积底边半径是3分米，高是分米的圆锥的体积，由此列式计算即可。 【规范解答】解： （立方分米） 答：这个几何体是122.46立方分米。 故答案为：122.46。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥体积公式的应用。 【变式3】（2024•埇桥区）如图所示的零件模具是由一个圆锥和一个长方体组成的。已知圆锥的底面半径是，高是；长方体的底面是正方形，边长是，高是底面边长的。要铸这个零件需要铁块多少立方分米？ 【思路点拨】先用8分米乘求出长方体的高，根据求出长方体的体积；再根据求出圆锥体的体积，最后求和。 【规范解答】解：（分米） （平方分米） （平方分米） （立方分米） 答：要铸这个零件需要铁块193.94立方分米。 【考点评析】本题重点考查了长方体和圆锥体体积的计算，需熟记公式。 【变式4】（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆柱与圆锥的体积和即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个陀螺的体积是282.6立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点3：探索某些实物体积的测量方法 【典例精讲】（2024•诸城市）我们可以采用“排水法”来测量物体的体积，根据如下实验，可知水面下降了　　。 A．2.4 B．1.5 C．3.6 D．7.2 【思路点拨】圆锥的体积就是圆柱水面下降的体积。根据圆锥的体积底面积高，圆柱的体积底面积高，圆柱的高体积底面积，计算即可解答。 【规范解答】解： 答：水面下降了。 故选：。 【考点评析】本题考查了圆柱和圆锥的体积计算。 【变式1】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【思路点拨】根据圆锥的体积计算公式“”求出圆锥形铁块的体积，因为水面下降的水体积等于铁块的体积，用铁块的体积（水面下降的体积）除以圆柱形容积的底面积即可求出容器中的水面下降的高度． 【规范解答】解：， ， ， （厘米）； 答：把铁块从水中取出，容器中的水面高度将下降1.2厘米． 【考点评析】抓住下降的水的体积就等于圆锥形铁块的体积，从而求出下降的水的体积是解决本题的关键． 【变式2】（2024•本溪）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，王华做了一个圆柱形容器和一些圆锥形容器，并进行了下面两个试验。（单位： （1）试验一：王华在圆柱形容器里面装了一些水（如图），再将这些水倒入下面一个圆锥形容器中，倒入 　丙　圆锥形容器中能恰好倒满。 （2）试验二：王华按照下面的步骤测量了一个土豆的体积。 根据上面的测量结果，你能求出这个土豆的体积是多少立方厘米吗？ 【思路点拨】（1）因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆柱与圆锥体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。 （2）根据上面的测量结果，水下降的体积就是这个土豆的体积，根据圆柱的体积公式，解答即可。 【规范解答】解：（1） 答：倒入丙圆锥形容器中能恰好倒满。 （2） （立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 故答案为：丙。 【考点评析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系以及圆柱体积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。 【变式3】（2024•湛江）根据实验过程求小圆锥体教具的体积是多少？ 实验材料：一个底面半径为的圆柱形玻璃杯、1个小圆锥体教具、水。 实验过程： ①往玻璃杯里加水，测量水面高度； ②放入一个小圆锥体教具，教具沉入杯底，测量水面高度。 【思路点拨】根据用排水法测量实物体积的方法，小圆锥体教具的体积等于底面半径为的圆柱形玻璃杯内水上升的体积，结合圆柱的体积公式，解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：小圆锥体教具的体积是67.824立方厘米。 【考点评析】本题考查了用排水法测量实物体积的方法，结合圆柱的体积公式，解答即可。 考点4：规则立体图形的体积 【典例精讲】（2020•偃师市）两个大小相同的量杯中都盛有水。将等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱的体积是　120　，乙量杯中水面刻度应是　　。 【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，甲量杯中水和放入的圆柱形零件的体积和是600毫升，根据减法的意义，用减法求出圆柱形零件的体积是：（立方厘米），则圆锥形零件的体积是（立方厘米），因为乙量杯中原来有水480毫升，现在放入体积为40立方厘米的圆锥，则圆锥和水的体积是：，即可求得量杯中水面刻度。 【规范解答】解：（立方厘米） （立方厘米） （毫升） 答：圆柱的体积是，乙量杯中水面刻度应是。 故答案为：120，520。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，注意：体积单位与容积之间的换算。 【变式1】（2024•陕州区）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据圆柱的体积公式可得，这个铅笔的底面积是平方厘米，即得出图中剩下的铅笔的底面积是0.5平方厘米，据此再利用圆柱与圆锥的体积公式求出剩下的体积即可． 【规范解答】解：（平方厘米） （立方厘米） 答：此时铅笔的体积是4.5立方厘米． 【考点评析】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，剩下的铅笔的体积等于图中圆柱与圆锥的体积之和． 【变式2】（2017•宁波模拟）如图是直角梯形，以为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】以为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个底面半径为3厘米，高为6厘米的圆柱，在底面减去一个与圆柱等底，高为厘米的圆锥，这样一个立体图形；根据圆柱的体积公式，和圆锥体积公式即可求出这个立体图形的体积． 【规范解答】解： （立方厘米） 答：它的体积是160.14立方厘米． 【考点评析】本题主要是考查将一个图形旋转一定度数、圆柱、圆锥的意义及体积的计算．本题如果看作旋转后高5厘米的圆柱与另一部分的组合体，无法计算，只能看作是高是6厘米的圆柱减去一个圆锥． 【变式3】（2020•新蔡县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱．量得圆柱的底面周长是，高，圆锥的高是．这个粮围能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重750千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？（得数保留一位小数） 【思路点拨】（1）第一问是求这个粮囤的体积，根据圆锥与圆柱的体积公式，计算即可； （2）要求这个粮囤最多能装稻谷多少吨，用求得的粮囤的体积，乘单位体积的稻谷的重量即可． 【规范解答】解：（1）圆柱的底面积为： （平方米） 这个粮囤的体积： （立方米） （2）750千克吨 （吨 答：这个粮囤能装稻谷1413立方米，这个粮囤大约能装稻谷1059.8吨 【考点评析】此题主要考查学生对圆锥与圆柱的体积公式的掌握与运用． 【变式4】（2018•德宏州）按要求计算。 （1）计算下面圆柱的表面积。 （2）计算下面圆锥的体积。 【思路点拨】（1）根据圆柱的表面积公式，代入数据计算即可解答问题。 （2）根据圆锥的体积解答即可。 【规范解答】解：（1）（厘米） （平方厘米） 答：圆柱的表面积为169.56平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是37.68立方厘米． 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 一．选择题（共5小题） 1．（2024•平度市）一个图形从上面、正面观察，看到的形状如图所示。这个图形的体积是　　立方厘米。 A．25.12 B．75.36 C．100.48 【思路点拨】根据圆锥体积底面积高，即可解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个图形的体积是25.12立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆锥体积的计算，熟记公式是解答关键。 2．（2024•遵化市）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，则它的体积　　 A．缩小到原来的。 B．扩大到原来的2倍。 C．扩大到原来的4倍。 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，再根据因数与积的变化规律，圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的倍，圆锥的高缩小到原来的，那么圆锥的体积就扩大到原来的2倍。据此解答即可。 【规范解答】解： 所以它的体积扩大到原来的2倍。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 3．（2024•余干县）一个圆锥的底面周长为，高为，那么这个圆锥的体积为　　。 A．188.4 B．62.8 C．471 D．157 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方分米） 答：这个圆锥的体积是157立方分米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 4．（2024•金水区模拟）一个直角三角形的两条直角边分别是和，斜边是分别以两条直角边所在的直线为轴把三角形旋转一周得到相应的立体图形（如右图所示），这两个立体图形的体积相比，　　 A．甲的体积大 B．乙的体积大 C．一样大 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可。 【规范解答】解：甲： （立方厘米） 乙： （立方厘米） 答：乙的体积大。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，三角形的面积公式及应用，关键是熟记公式，重点是求出丙圆锥的底面半径。 5．（2023•游仙区）如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只圆锥形的酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半儿，共能倒满　　杯。 A．10 B．15 C．20 D．30 【思路点拨】根据圆柱的体积（容积）公式：，圆锥的体积（容积）公式： 1 3 ，设酒杯口的半径为，则酒瓶的底面半径为，设圆锥的高为，则圆柱的高为，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的底面半径为，设圆锥的高为，则圆柱的高为， （杯 答：这瓶酒共能倒满这种酒杯20杯。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二．填空题（共6小题） 6．（2024•茌平区）图中呈现的是一瓶果汁和一支圆锥形玻璃杯（直径形同），如果把瓶中的果汁倒入这样的锥形玻璃杯，最多可以倒满　6　杯。（容器厚度忽略不计） 【思路点拨】根据圆柱体积底面积高，圆锥体积底面积高，求出它们的体积，再相除，即可解答。 【规范解答】解： （杯 答：最多可以倒满6杯。 故答案为：6。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积和圆锥体积的计算，熟记公式是解答关键。 7．（2024•肥乡区）沙漏是古人用的一种计时仪器。如果将如图的沙漏装满沙子，然后一点点漏入一个与它等底等高的圆柱中，沙子漏完后，把沙子平铺，圆柱里沙子的高为 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积底面积高，求出圆锥体积，再根据圆柱体积底面积高，求出圆柱的高，即可解答。 【规范解答】解： 答：圆柱里沙子的高为。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，掌握它们的关系是解答关键。 8．（2024•沙市区）如图，三角形以直角边所在的直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是 　37.68　。 【思路点拨】如图，三角形以直角边所在的直线为轴旋转一周，所形成的立体图形是圆锥，底面半径是，高是，根据圆锥体积底面积高，即可解答。 【规范解答】解： 答：图形的体积是。 故答案为：37.68。 【考点评析】本题考查的是圆锥体积的计算，熟记公式是解答关键。 9．（2024•巴音郭楞州）如图，以直角三角形的一条直角边为轴快速旋转一周，可以形成一个 　圆锥　，以 　　（填“长”或“短” 的直角边为轴旋转时形成几何体的体积最小，是 　　。 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式取出来个圆锥的体积，然后进行比较即可。 【规范解答】解： （立方分米） （立方分米） 答：可以形成一个圆锥，以长直角边为轴旋转形成几何体的体积小。圆锥体积最小是47.1立方分米。 故答案为：圆锥，长，47.1。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。 10．（2024春•临漳县期中）将如图的直角三角形以短的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是 　508680　立方厘米。 【思路点拨】根据题意可知，以直角三角形较短的直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是9分米，高是6分米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方分米） 508.68立方分米立方厘米 答：得到的立体图形的体积是508680立方厘米。 故答案为：508680。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．（2023•未央区）在长、宽的长方体容器中注入一些水，将等底、等高的圆柱和圆锥浸没在水中（如图），水面上升了。圆柱的体积是 　225　 圆锥的体积是　　。 【思路点拨】首先根据长方体的体积公式：，求出上升部分水的体积，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，据此可以求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：圆柱的体积是225立方厘米，圆锥的体积是75立方厘米。 故答案为：225，75。 【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 三．判断题（共4小题） 12．（2024•临清市）若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。 　　（判断对错） 【思路点拨】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。据此判断。 【规范解答】解：若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。 因此，题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 13．（2024•三原县）一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，再根据因数与积的变化规律，圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍。据此判断。 【规范解答】解：圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，圆锥的底面积就扩大到原来的4倍，如果高不变，那么圆锥的体积就扩大到原来的4倍。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 14．（2024•蒸湘区）分别以如图三角形的两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相等。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 故原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 【思路点拨】一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，据此列比例求出圆锥的高，然后与27分米进行比较即可。 【规范解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为平方分米，圆锥的高为分米。 所以圆锥的高是27分米。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，列比例解决问题的方法及应用。 四．计算题（共2小题） 16．（2024•榆林）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【思路点拨】组合图形的体积等于长方体的体积和圆锥的体积之和，长方体的体积长宽高，圆锥的体积，分别求出长方体和圆锥的体积之后即可解答。 【规范解答】解： 答：这个组合图形的体积。 【考点评析】本题考查了长方体和圆锥的体积计算。 17．（2023•重庆模拟）求图的体积。 【思路点拨】（1）依据圆柱的体积，用大圆柱的体积减小圆柱的体积即可求解； （2）依据圆柱的体积，圆锥的体积，代入数据即可求解。 【规范解答】解：（1） 答：体积为。 （2） 答：体积为。 【考点评析】此题考查圆柱和圆锥的体积的计算方法的灵活应用。 五．应用题（共6小题） 18．（2024•渭南）某建筑工地有一个圆锥形沙堆，它的底面周长是18.84米，高比底面半径多，这个沙堆的体积是多少立方米？ 【思路点拨】已知圆锥的底面周长是18.84米，根据圆的周长，用18.84除以即可求出圆锥的底面半径。把圆锥的底面半径看作单位“1”，则高是底面半径的，用求得的底面半径乘即可求出圆锥的高。再根据圆锥的体积底面积高，即可解答。 【规范解答】解：（米 （米 （立方米） 答：这个沙堆的体积是33.912立方米。 【考点评析】本题考查的是圆锥体积公式的应用。 19．（2024•襄城县）长征二号运载火箭顶部是逃逸塔的发动机部分。为了方便研究，学校科学小组的同学制作了一个模型（实线部分为模型）。这个模型的体积是多少立方分米？取 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出大小圆锥的体积差即可。 【规范解答】解： （立方分米） 答：这个模型的体积是126立方分米。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．（2024•霍邱县）请根据圆锥的自述，解决问题。 “小朋友，你好！我是圆锥。我是由底面和侧面组成的。我只有一个圆形底面，在我顶点放置一块与底面平行的平板，量出这块平板与底面之间的距离，就能知道我的高了。我的高是，我的体积是。你知道我的底面积是多少平方厘米吗？” 【思路点拨】根据圆锥的体积公式解答即可。圆锥的体积：。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：底面积是94.2平方厘米。 【考点评析】熟练掌握圆锥的体积公式是解答本题的关键。 21．（2024•袁州区）一个底面半径是的圆柱玻璃器皿里装有一部分水，水中浸着一个高为的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个圆锥的底面积是多少？ 【思路点拨】当铅锤从水中取出后，水面下降了，那么高是的圆柱体积就是圆锥形铅锤的体积，根据圆柱体积底面积高，求出高是的圆柱体积，再根据圆锥的底面积圆锥体积高，即可解答。 【规范解答】解： 答：这个圆锥的底面积是。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积和圆锥体积的计算，熟记公式是解答关键。 22．（2024•安顺）一个底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有水，水里完全浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面下降了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形水杯下降1.5厘米的水的体积等于铁块的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （厘米） 答：铁块的高是18厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 23．（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆柱与圆锥的体积和即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个陀螺的体积是282.6立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 六．解答题（共3小题） 24．（2024•椒江区）如图，这是一个由底面积相等的圆锥和长方体组合而成的沙漏计时工具，上面的圆锥内装满了沙子，下面的长方体内有一个小公仔。已知沙子的流速是分。取 （1）圆锥内的沙子漏完需要多长时间？ （2）当圆锥内的沙子全部漏完时，小公仔已经完全被埋进沙子中，此时沙子的高度是3.5厘米，小公仔的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出沙漏内沙子的体积，然后用沙子的体积除以每分钟漏下的沙子的体积，即可求出漏完需要的时间。 （2）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出沙子与小公仔的体积和，然后减去沙子的体积就是小公仔的体积。 【规范解答】解：（1） （分钟） 答：圆锥内沙子漏完需要4分钟。 （2） （立方厘米） 答：小公仔的体积是18.84立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．（2024•晋中）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了右图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间分 3 4 5 ①这个沙漏里共有 　13.5　的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成 　　比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏 　　的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】（1）①这个沙漏里共有沙子的体积每分钟漏沙的体积漏完所用的时间，据此列式解答； ②根据反比例的意义，因为每分钟漏沙的体积漏完所用的时间沙漏里沙子的体积（一定），所以在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系； ③首先求出沙漏里面沙子的体积，然后用沙漏里面沙子的体积除以漏完所用时间即可； （2）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）①（立方厘米） 答：这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子。 ②因为每分钟漏沙的体积漏完所用的时间沙漏里沙子的体积（一定），所以在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系。 ③ （立方厘米） 答：每分钟应漏6.75立方厘米的沙子。 （2） （立方厘米） 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米。 故答案为：13.5；反；6.75。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，反比例的意义及应用，关键是熟记公式。 26．（2024•未央区）用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分注入0.8立方米水，从空箱到注满，一共需要多少分？（厚度忽略不计） 【思路点拨】根据圆柱的体积（容积）公式：，圆锥的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出这个水箱能装水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用这个水箱能装水的体积除以每分钟注入水的体积即可。 【规范解答】解： （分钟） 答：一共需要15.7分钟。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$