（新课衔接站）专题04 圆柱的体积-2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 圆柱的体积 （导图+5个知识点+4个易错点+6个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆柱的体积定义 2 知识点02：圆柱的体积公式 2 知识点03：圆柱体积的计算步骤 2 知识点04：圆柱体积的单位 3 知识点05：圆柱体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆柱的体积 4 考点2：圆柱的侧面积、表面积和体积 8 考点3：组合图形的体积 12 考点4：探索某些实物体积的测量方法 15 考点5：规则立体图形的体积 18 考点6：体积的等积变形 20 真题汇编拔尖练 24 知识点01：圆柱的体积定义 圆柱的体积是指圆柱所占空间的大小，用符号V表示。 知识点02：圆柱的体积公式 圆柱的体积V可以通过底面积S底来计算，公式为：V=S底×h 由于圆柱的底面是一个圆，其面积S底可以通过公式πr²计算（其中r是底面半径），所以圆柱的体积公式也可以表示为：V=πr²×h 知识点03：圆柱体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆柱的底面半径r和高h。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr²计算圆柱的底面积。注意，这里的π是一个常数，约等于3.14159。 3. 计算体积： 最后，将底面积S底和高h代入公式V=S底×h，计算出圆柱的体积。 知识点04：圆柱体积的单位 圆柱的体积单位通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，这些单位表示的是三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位，这样计算出的体积才是正确的。 知识点05：圆柱体积的应用 圆柱体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆柱形容器的容量、估算圆柱形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆柱的体积，我们可以更好地理解和利用圆柱这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆柱的体积 【典例精讲】（2024•西城区）如图中有4个圆柱，与右边圆锥体积相等的是　　。（单位： A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱、圆锥的体积公式可知，要使圆柱与圆锥体积相等，一种情况是圆锥与圆柱等底、圆锥的高是圆柱的3倍；另一种情况是圆柱与圆锥等高，圆柱的底面积是圆锥的；据此判断即可。 【规范解答】解：．图中圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍，不符题意； ．图中圆柱与圆锥等底，圆锥的高是圆柱的3倍，与圆锥的体积相等，符合题意； ．图中圆柱与圆锥等高，圆柱的底面不是圆锥的，不符题意； ．图中圆柱与圆锥不等底不等高，体积与圆锥不相等；不符题意。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆柱与圆锥的关系，关键能够灵活运用体积计算公式。 【变式1】（2024•播州区）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则铅锤放入圆柱形容器后（铅锤完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将铅锤从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个铅锤的体积是　　立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 【思路点拨】根据题意可知，把铅锤从水中取出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥形铅锤的体积，根据圆柱的体积公式，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个圆锥形铅锤的体积是339.12立方厘米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式2】（2024•临平区）如图，两个圆柱体容器中盛有相同体积的水。①号容器原来水面高是，放入小球后水面的高是。②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是。小球的体积与小正方体体积的比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，放入小球后水面增高了，用减法求出增高了几厘米，因为增高的水的体积就是小球的体积，可根据圆柱的体积，代入数据计算求出小球的体积；再根据第一个圆柱中原来有的高度是8厘米，及圆柱体的体积，代入数据计算求出水的体积；因为两个容器的水的体积相同，再根据第二个圆柱的水的高度，求出总体积，再减去水的体积与小球的体积，即可求出小正方体的体积；最后根据比的意义，用小球的体积比小正方体的体积，并进行化简即可解答。 【规范解答】解：小球的体积： （立方厘米） 正方体的体积： （立方厘米） 所以小球的体积与小正方体的体积比是。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆柱的体积，关键是依据圆柱的体积公式进行解答。 【变式3】（2024•永康市）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出上图这个直柱体的体积是 　192　立方厘米。 【思路点拨】这个直柱体可以转化为长为8厘米，宽为4厘米，高为6厘米的长方体，根据长方体的体积公式求解即可。 【规范解答】解：长方体的长为： （厘米） 长方体的宽为4厘米，高为6厘米，长方体的体积为： （立方厘米） 答：这个直柱体的体积是192立方厘米。 故答案为：192。 【考点评析】本题主要考查了直柱体转化为长方体，体会数学中的转化思想。 【变式4】（2024•金州区）如图三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。（计算时取3.14，单位： （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 【思路点拨】（1）根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式分别求出各圆柱的体积，然后进行比较即可。 （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，圆柱的体积就越大。 【规范解答】解：（1）① （立方厘米） ② （立方厘米） ③ （立方厘米） 答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。 （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。 如图： （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是113.04立方厘米。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，圆柱的体积就越大。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。 考点2：圆柱的侧面积、表面积和体积 【典例精讲】（2024•沙坪坝区校级模拟）一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了　　平方厘米。 A．200.96 B．100.48 C．80 D．50.24 【思路点拨】通过观察图形可知，把这根圆柱形木料横截成5段，表面积比原来增加8个截面的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了100.48平方厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱表面积的意义及应用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。 【变式1】（2024•米东区）太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑，是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有72支顶梁柱，直径均为1.06米，高度均为12.7米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱的侧面积底面周长高，把数据代入公式求出一根顶梁柱的侧面积，然后再乘72即可。 【规范解答】解： （平方米） 答：太和殿所有顶梁柱的侧面积之和是3042.48896平方米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式2】（2024•高新区）把底面直径10厘米、高20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 （1）计算这个长方体的体积。 （2）这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加多少？ 【思路点拨】（1）根据圆柱的体积公式的推导过程可知长方体的体积等于圆柱的体积，利用圆柱的体积公式：，计算长方体的体积即可； （2）长方体的表面积比圆柱的表面积增加2个以高为长，半径为宽的长方形的面积，利用长方形面积公式：计算即可。 【规范解答】解：（1） （立方厘米） 答：个长方体的体积是1570立方厘米。 （2） （平方厘米） 答：这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了200平方厘米。 【考点评析】本题主要考查圆柱体积公式的应用及圆柱与长方体的关系。 【变式3】（2024春•晋安区期中）利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形（接头处忽略不计），求这个圆柱的体积。 【思路点拨】通过观察图形可知，这个油桶的底面周长和底面直径的2倍的和是30.84分米，油桶的高等于圆柱的底面直径，根据圆的周长公式：，可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出油桶的容积。 【规范解答】解：设圆柱油桶的底面直径为分米。 （立方分米） 169.56立方分米升 答：这个油桶的容积是169.56升。 【考点评析】此题主要考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的容积（体积）公式及应用，关键是熟记公式。 【变式4】（2023•金安区）按要求计算：单位： （1）如图1，求出它的表面积． （2）如图2，求出它的体积． 【思路点拨】（1）根据圆柱的表面积侧面积底面积，圆柱的侧面积底面周长高，圆的面积公式：，把数据代入公式解答． （2）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答． 【规范解答】解：（1） （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是628平方厘米． （2） （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是314立方厘米． 【考点评析】此题主要考查圆柱的表面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 考点3：组合图形的体积 【典例精讲】（2024•鹿城区）商店出售一种摆件，长度如图所示（单位：。用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个 　圆柱　体。这个摆件的体积是 　　。 【思路点拨】用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体，这个圆柱体的底面直径是20厘米，高是厘米，根据圆柱体积底面积高，求出体积后再除以2即可求出摆件的体积。 【规范解答】解：用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体， （厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个圆柱体；这个摆件的体积是。 故答案为：圆柱；6280。 【考点评析】掌握圆柱体体积公式是解题的关键。 【变式1】（2024春•镇原县期中）蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是 　65.94　。 【思路点拨】根据圆柱和圆锥的体积计算，把圆柱体积和圆锥体积相加求和即是蒙古包的空间。 【规范解答】解： （立方米） 答：这个蒙古包内的空间大约是65.94立方米。 故答案为：65.94。 【考点评析】本题考查了圆柱和圆锥体积的计算。 【变式2】（2024•塔河县）求如图物体的体积。 【思路点拨】圆柱体积底面积高，据此求出底面直径是8米、高是10米的圆柱的体积和底面直径是4米、高是10米的圆柱的体，再用底面直径是8米、高是10米的圆柱的体积减去底面直径是4米、高是10米的圆柱的体积即可求出这个物体的体积。 【规范解答】解：（米 （米 （立方米） 答：这个物体的体积是376.8立方米。 【考点评析】此题考查圆柱体积计算公式的应用。 【变式3】（2024春•灵宝市期中）求如图这个空心水泥管的体积。 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出大小圆柱的体积差即可。 【规范解答】解： （立方分米） 答：这个空心水泥管的体积是158256立方分米。 【考点评析】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式4】（2024春•郓城县期中）计算如图图形的体积和朝上的面的面积。（注：图中半圆柱的底面直径是 【思路点拨】图形的体积长方体体积圆柱体积，朝上的面的面积圆柱侧面积小长方形面积，根据长方体体积长宽高，圆柱体积底面积高，圆柱侧面积底面周长高，长方形面积长宽，即可解答。 【规范解答】解： 答：图形的体积是，朝上的面的面积是。 【考点评析】本题考查的是组合图形的体积，明确组合图形是由哪些规则图形组成的是解答关键。 考点4：探索某些实物体积的测量方法 【典例精讲】（2024•西安）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是　　 A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．无法确定 【思路点拨】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可。 【规范解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最少是：（立方厘米） 一颗玻璃球的体积最多是：（立方厘米） 答：这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下。 故选：。 【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，结合题意分析解答即可。 【变式1】（2024•温县）如图，玻璃杯中有5厘米高的水，将鸡蛋放入水中，再次测得水面的高度是6厘米．如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（得数保留整数） 【思路点拨】将鸡蛋完全浸入圆柱形玻璃杯水中，可知水面不管怎么升高，底面积是不变的，又根据题意可知水面升高了厘米，再根据圆柱的体积公式，求出升高了那部分水的体积，即是鸡蛋的体积． 【规范解答】解：根据圆柱的体积公式 （立方厘米） （立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积大约是79立方厘米 【考点评析】此题是考查圆柱体积公式的运用，把鸡蛋这个不规则物体的体积利用水的流动性，变成水位升高了那部分水的体积，转化为圆柱体的体积，再利用公式计算即可． 【变式2】（2016春•武平县校级月考）在一个高为8厘米、容积为80毫升的圆柱容器里装满了水．现把长15厘米的圆柱钢材垂直放入，使底面互相接触，这时一部分水从容器中溢出，当把钢材拿出后，容器中的水高6厘米，求钢材的体积． 【思路点拨】当把长15厘米的圆柱垂直放入容器时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器的高为8厘米的圆柱的体积，然后再求出整个圆柱体的体积． 【规范解答】解：圆形容器的底面积： （平方厘米） 溢出水的体积，即放入容器的圆柱的体积： （毫升）； 圆柱体的体积是： （立方厘米）； 答：圆柱体的体积是37.5立方厘米． 【考点评析】此题考查了学生对圆柱体体积公式的掌握与运用，以及空间想象力． 【变式3】（2021春•海拉尔区校级期中）小明用一个底面半径是6厘米，高15厘米的圆柱形玻璃器皿装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的底面是多少平方厘米？ 【思路点拨】圆锥铅锤的体积等于圆柱容器水面下降的那部分水的体积，先根据圆柱的体积公式，求出容器中下降的水的体积（即圆锥的体积），已知圆锥形铅锤的高是9厘米，用体积，再除以高即可求出底面积．由此列式解答． 【规范解答】解：容器水下降的体积： （立方厘米） 铅锤的底面积是：（平方厘米）． 答：这个铅锤的底面积是18.84平方厘米． 【考点评析】此题解答关键是理解容器中水下降的那部分水的体积等于圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积计算方法解决问题． 【变式4】（2024•渭南）小飞在一个长方体玻璃容器中装了一些水，把一个底面半径是4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，水面上升了8厘米，如果把铁块垂直拉出水面5厘米，那么水面下降2厘米（如图），这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【思路点拨】根据题意，把底面半径为4厘米的圆柱形铁块垂直拉出水面5厘米，即铁块露出水面5厘米，根据圆柱的体积公式，求出铁块露出水面部分的体积；已知铁块垂直拉出水面5厘米，水面下降2厘米，那么铁块露出水面部分的体积相当于长方体容器内2厘米水深的体积；而铁块完全浸入水中，水面上升了8厘米，那么整个铁块的体积相当于长方体容器内8厘米水深的体积；用铁块露出水面部分的体积除以2，求出长方体容器内1厘米水深的体积，再乘8，即是长方体容器内8厘米水深的体积，也就是整个铁块的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：这个铁块的体积是1004.8立方厘米。 【考点评析】此题考查的理解掌握探索某些实物体积的方法及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。 考点5：规则立体图形的体积 【典例精讲】（2021春•固始县期中）在一个高为，容积为的圆柱体容器，里面装满水，现在把长的圆柱体垂直放入，使的底面与的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从中拿起后，中的水高度为，求圆柱体的体积． 【思路点拨】当把长16厘米的圆柱垂直放入容器时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器的高为8厘米的圆柱的体积，然后再求出整个圆柱体的体积． 【规范解答】解：圆形容器的底面积： （平方厘米） 溢出水的体积，即放入容器的圆柱的体积： （毫升） 圆柱体的体积是： （立方厘米） 答：圆柱体的体积是25立方厘米． 【考点评析】此题考查了学生对圆柱体体积公式的掌握与运用，以及空间想象力． 【变式1】（2024•舞阳县模拟）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重7.8克，这段钢材重多少克？ 【思路点拨】如果这个图再增加一半，可以拼成一个底面直径是4厘米，高厘米的圆柱体，根据圆柱的体积，求出这个圆柱的体积，再除以2求出图形的体积，然后再乘7.8克，即可求出这段钢材重多少克． 【规范解答】解： （立方厘米） （克 答：这段钢材重881.712克． 【考点评析】此题是考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，关键是利用拼组的方法把图形变成一个圆柱． 【变式2】（2023•瑶海区）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？取值 【思路点拨】根据图示可知，20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状的体积等于圆柱的体积减去长方体的体积。利用圆柱的体积公式：，长方体体积公式：，计算体积，再除以20即可即可。 【规范解答】解： （立方厘米） $11.56\div 20=0.578$（立方厘米） 答：每枚铜钱的体积是0.578立方厘米。 【考点评析】本题主要考查组合图形的体积，关键利用圆柱、长方体的体积公式计算。 【变式3】．（2019•湘潭模拟）计算下面物体的体积和表面积 【思路点拨】由图示可知：该组合图形的表面积为：圆柱的侧面积加上1个高为：（厘米）的长方体表面积．利用圆柱侧面积公式和长方体表面积公式计算即可．该组合图形的体积等于圆柱的体积加上高为2厘米的长方体的体积．利用圆柱体积公式和长方体体积公式计算即可． 【规范解答】解：表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个物体的表面积为252.8平方厘米；体积为204.5立方厘米． 【考点评析】本题主要考查组合图形的表面积和体积的应用，关键把组合图形转化为规则立体图形，再计算． 考点6：体积的等积变形 【典例精讲】（2024•柳河县）如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是　　 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 【思路点拨】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此解答． 【规范解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可； 分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的； 又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度； 所以后来甲容器中的水面高； 故选：． 【考点评析】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的． 【变式1】（2012•漳浦县校级自主招生）如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积用表示，应为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体，底面的直径都是4，将它们拼成如图2的新几何体，新几何体的体积一个圆柱体加半个圆柱体，新圆柱体的高是，半个圆柱体的高是，如图所示： 【规范解答】解：新几何体的体积一个圆柱体加半个圆柱体， 新圆柱体的高是， 半个圆柱体的高是， 圆柱体底面的半径， 根据圆柱体的体积公式半径高，得： 新几何体的体积， 答：该新几何体的体积用表示，应为 故选：． 【考点评析】本题的关键是理解新几何体的体积等于一个圆柱体加半个圆柱体，然后弄清这两个体积的高和底面半径，代入公式解决问题． 【变式2】（2022•黄石港区）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同．将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高为厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的，由此算出瓶内酸奶的体积． 【规范解答】解：（厘米）， （立方厘米）， 答：瓶内酸奶体积是25.92立方厘米． 【考点评析】解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高厘米的圆柱的体积，进而求出答案． 【变式3】（2023•庆云县）小林先用橡皮泥捏成一个底面积是，高是的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。 ①如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 ②如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 【思路点拨】①根据圆柱的体积与长方体的体积相等，找到符合题意的长方体的长、宽、高，画图即可； ②根据圆锥的体积公式：，结合圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，计算圆锥的底面半径和高，作图即可。 【规范解答】解：①（立方厘米） 如图： （画法不唯一） ②底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，则体积相等。 （厘米） 如图： （画法不唯一） 【考点评析】本题主要考查圆柱、圆锥、长方体体积公式的应用 一．选择题 1．（2024•即墨区）如图，分别以长方形的长和宽所在直线为轴旋转一周，形成两个立体图形。这两个立体图形的体积　　 A．图①形成的体积大 B．图②形成的体积大 C．一样大 D．不确定哪个大 【思路点拨】以长为轴旋转一周，得到一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱体，以宽为轴旋转一周，得到一个底面半径为5厘米，高为3厘米的圆柱体利用圆柱的体积公式：进行解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：图②形成的体积大。 故选：。 【考点评析】本题是考查将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，二是考查圆柱的体积计算。关键是弄清旋转得到的圆柱的底面半径和高。 2．（2024•宜秀区）如图，把两张完全相同的长方形纸分别卷成粗细不同的两个圆柱，粘上底面后比较这两个圆柱的表面积，　　 A．粗圆柱的表面积大 B．细圆柱的表面积大 C．两个圆柱的表面积同样大 D．不能比较表面积的大小 【思路点拨】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，再根据圆柱的表面积侧面积底面积，由此可知，把两张完全相同的长方形纸分别卷成粗细不同的两个圆柱，粘上底面后以长方形的宽为高时的表面积大于以长方形的长为高时的表面积。据此解答即可。 【规范解答】解：由分析得：如图，把两张完全相同的长方形纸分别卷成粗细不同的两个圆柱，粘上底面后比较这两个圆柱的表面积，粗圆柱的表面积大。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆柱表面积的意义及应用。 3．（2024•大洼区）数学课上，为了比较土豆和西红柿体积的大小，琳琳学习小组用“排水法”进行试验，试验过程如图。关于土豆和西红柿体积的大小，下面说法正确的是　　 A．一样大 B．土豆大 C．西红柿大 D．无法判断 【思路点拨】根据不规则物体体积的测量方法，把不规则物体放入有一些水的长方体容器中，上升部分水的体积就等于这个不规则体积的体积。 【规范解答】解：长方体容器内水的高度是9厘米，把一个土豆放入后水面高是11厘米，水面上升了（厘米）；再放入一个西红柿后水面高是14.5厘米，此时水面上升了（厘米）， 所以西红柿的如同就比土豆的体积大。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用。 4．（2024•祁县）请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的　　 A． B． C． 【思路点拨】瓶中水的体积底面积，根据不规则物体的体积的计算方法，瓶子的容积等于正放时高度是12厘米水的体积加上倒放时高度是厘米的水的体积，所以瓶子的容积底面积，求瓶中水的体积所占瓶子的容积的几分之几，就用瓶中水的体积除以瓶子的容积即可解答。 【规范解答】解： 答：瓶中水的体积所占瓶子的容积的。 故选：。 【考点评析】本题考查了不规则物体的体积的计算方法和求一个数是另一个数的几分之几的问题。 5．（2024春•临平区期中）容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如图，单位：厘米）。每个小球的体积可能是　　立方厘米。 A．50 B．100 C．150 D．180 【思路点拨】通过观察图形可知，2个大球与1个球的体积和是棱长10厘米的正方体的体积，2个大球与11个小球的体积和相当于底面边长是10厘米，高是20厘米的长方体的体积。根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出个小球的体积，进而求出每个小球的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：每个小球的体积可能是100立方厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握特殊物体体积的测量方法及应用，长方体、正方体的体积公式及应用。 二．填空题 6．（2024•集美区）如图，一个底面半径为、高为的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是 　6.28　，宽是 　　，体积是 　　，表面积比原来增加了 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱沿高切开拼成一个近似的长方体，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积长宽高，增加的表面积就是两个以圆柱的高为长、半径为宽的长方形切面的面积，即高半径增加的表面积。 【规范解答】解： 答：这个长方体的长是，宽是2分米，体积是，表面积比原来增加了。 故答案为：6.28；2；62.8；20。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，圆柱的体积公式及应用，圆柱表面积的意义、长方体表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用。 7．（2024•龙泉市）如图，将一个圆柱形包装盒的侧面沿着虚线剪开，得到一个平行四边形，这个包装盒的侧面积是 　502.4　平方厘米，最多能容纳 　　立方厘米的物体。 【思路点拨】（1）通过观察图形可知，这个圆柱的侧面展开后是一个底是25.12厘米，高是20厘米的平行四边形，根据平行四边形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）（平方厘米） 答：它的侧面积是502.4平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：这个包装盒最多能容纳1004.8立方厘米的物体。 故答案为：（1）502.4；（2）1004.8。 【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8．（2024•杭州）一个底面半径为的圆柱形瓶子，侧面有一圈商标纸，刚好包住圆柱的整个侧面。将商标纸剪开后，如图中，可能是图形 　　，瓶子的容积为 　　。 【思路点拨】根据圆柱的底面周长即为侧面展开图的底边的长即可选择； 根据圆柱体积等于底面积乘高即可计算。 【规范解答】解： 即侧面是一边为的长方形或平行四边形，故选项符合题意。 答：一个底面半径为的圆柱形瓶子，侧面有一圈商标纸，刚好包住圆柱的整个侧面。将商标纸剪开后，如图中，可能是图形，瓶子的容积为。 故答案为：，401.92。 【考点评析】本题考查了圆柱的侧面展开图以及圆柱体积计算。 9．（2024•惠州）一张长方形的纸，长是，宽是，以长为轴旋转一周形成一个 　圆柱体　，这个立体图形的体积是 　　。 【思路点拨】一张长方形的纸，长是，宽是，以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，它的底面半径是，高是，再根据圆柱体积底面积高，即可解答。 【规范解答】解：一张长方形的纸，长是，宽是，以长为轴旋转一周形成一个圆柱体。 答：一张长方形的纸，长是，宽是，以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个立体图形的体积是。 故答案为：圆柱体，141.3。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积的计算，熟记公式是解答关键。 10．（2024•临西县）一个圆柱，如果把它的高截短4厘米（如图，表面积减少125.6平方厘米，圆柱的底面半径是 　5　厘米；如果把原来的圆柱平均分成若干等份后拼成一个近似长方体（如图，表面积比原来增加160平方厘米，则原来圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】根据圆柱表面积的意义可知，把这个圆柱的高截短4厘米，表面积减少是高4厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：，已知表面积减少了125.6平方厘米，据此可以求出圆柱的底面半径；再根据圆柱体积公式的推导过程可知，把这个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出圆柱的体积。 【规范解答】解： （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是1256立方厘米。 故答案为：5，1256。 【考点评析】此题主要考查圆柱的表面积公式、圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．（2024•巨鹿县）一根长的圆柱木料，按右图所示截去后，圆柱木料的表面积减少，原来圆柱木料的底面积是 　3.14　，体积是 　　。 【思路点拨】通过观察图形可知，把这根圆柱形木料截去2分米，圆柱形木料的表面积减少了12.56平方分米，表面积减少的是高是2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积底面周长高，据此可以求出圆柱的底面周长，再根据圆的面积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：2米分米 （分米） （平方分米） （立方分米） 答：原来圆柱形木料的底面积是3.14平方分米，体积是62.8立方分米。 故答案为：3.14，62.8。 【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的周长公式、圆的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．判断题 12．（2024•霸州市）如图，把一个圆柱的侧面展开得到一个平行四边形，这个圆柱的表面积是。 　　（判断对错） 【思路点拨】圆柱的侧面展开得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积即是圆柱的侧面积，再加上圆柱底面2个圆面积即是圆柱表面积，据此计算后判断。 【规范解答】解： 即这个圆柱的表面积是。即原说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了圆柱的表面积计算。 13．（2024•濉溪县）将两根完全一样的圆柱拼成一个大圆柱，拼成后的大圆柱与原来两的两个圆柱相比体积不变，表面积变了。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据两根圆柱拼组一个大圆柱的方法，体积不变，拼组后的圆柱的表面积比原来减少了2个圆柱的底面积，据此即可判断。 【规范解答】解：根据题干分析可得，拼组后的圆柱的表面积比原来减少了2个圆柱的底面积，即拼组后的圆柱额表面积减少了，体积不变。 故答案为：。 【考点评析】抓住拼组特点，得出拼组后的表面积是减少了两个底面积，是解决本题的关键。 14．（2024•沈丘县）把圆柱的底面直径扩大到它的3倍，高缩小到它的，这个圆柱的体积不变。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：或，再根据因数与积的变化规律解答即可。 【规范解答】解：如果一个圆柱的底面直径扩大3倍，底面半径扩大到原来的3倍，底面积扩大倍，高缩小到原来的，那么它的体积就扩大倍。 所以题干说法错误。 故答案为：。 【考点评析】此题主要根据圆柱的体积公式，以及因数与积的变化规律进行解答。 四．计算题 15．（2024•渑池县）求图中几何体的体积。 【思路点拨】可以把图中的两个完全一样的物体拼在一起，拼成一个直径为，高为圆柱，只要求出所拼成的圆柱的体积，再除以2即可。用圆柱的体积进行计算即可求得上图的体积。 【规范解答】解： 答：几何体的体积是。 【考点评析】解答本题的关键是明确将图中两个完全一样的物体拼成一个大的圆柱体，再利用圆柱体的体积公式进行计算即可。 16．（2024春•上蔡县期中）按如图所示的方法剪下两个圆和一个长方形，刚好可以围成一个圆柱（接头处忽略不计），计算这个圆柱的表面积。 【思路点拨】根据“圆柱的表面是由一个侧面和两个圆形底边组成，圆柱的侧面展开后是一个长方形”并结合图可知：该圆柱的高是4厘米，圆柱的底面圆的直径是（厘米），根据圆柱的表面积公式底面积侧面积）。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是31.4平方厘米。 【考点评析】解答此题应根据圆柱的表面展开图及圆柱的体积和表面积计算公式进行解答。 五．应用题 17．（2024•云龙县）李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少？ 【思路点拨】根据题意可知，这个最大圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积差即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个零件的体积是140.64立方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用。 18．（2024•泉港区）王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 【思路点拨】根据题意，用长方体纸箱包装4罐底面直径是8厘米，高是10厘米的茶叶，长方体的长可以是（厘米），宽是8厘米，高是10厘米，然后根据长方体的表面积公式解答即可。（方法不唯一） 【规范解答】解：（厘米） 如图： （平方厘米） 答：所需纸皮的面积是1312平方厘米。（设计方法不唯一，答案不唯一，合理即可。 【考点评析】本题考查了长方体表面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。 19．（2024•遵化市）一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 【思路点拨】由题干可知：圆柱的底面半径为：（厘米），高是10厘米；根据圆柱平均锯成两半的方法可得，这个半圆柱木料的表面积是这个圆柱的表面积的一半加上长为10厘米，宽为6厘米的长方形的面积；它的体积是这个圆柱的体积的一半，所以利用圆柱的表面积和体积公式即可进行解答。 【规范解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是182.26平方厘米，体积是141.3立方厘米。 【考点评析】此题考查了利用圆柱的表面积和体积公式求半圆柱的表面积和体积的灵活应用。 20．（2024•宛城区）有一个高、容积为的圆柱形容器，里面装满了水，现把长的圆柱垂直放入，使的底面和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出。当把从中拿走后，中水的高度只有。求圆柱的体积。 【思路点拨】圆柱形容器高，容积为，根据圆柱的体积公式：，可求出圆柱形容器的底面积，圆柱放入后，溢出水的体积就是圆柱在水中的体积，用底面积乘水面下降的高度可求出溢出水的体积，再除以圆柱在水中的高，可求出圆柱的底面积，最后乘圆柱的高，可求出圆柱的体积。 【规范解答】解： 答：圆柱的体积是。 【考点评析】本题主要考查圆柱体积公式的应用。解题关键是明确溢出水的体积就是圆柱在水中的体积。 21．（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆柱与圆锥的体积和即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个陀螺的体积是282.6立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．（2024春•中牟县期中）请你从如图型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶。（接口处忽略不计） （1）选择的型号是 　②③　（填序号），这个水桶的底面积是 　　。 （2）制作这个小水桶，一共需要多少平方厘米的铁皮？ （3）往这个小水桶中注水，水面上升到水桶高的处，这时水桶中水的体积是多少毫升？ 【思路点拨】（1）根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与长方形的长进行比较即可确定选择的型号，根据圆的面积公式：，求出这个水桶的底面积。 （2）制作这个水桶需要铁皮的面积等于长方形的面积加上底面的面积。 （3）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出这个水桶容积的即可。 【规范解答】解：（1）（厘米） （厘米） 所以选择的型号是②③。 （平方厘米） 答：这个水桶的底面积是50.24平方厘米。 （2） （平方厘米） 答：一共需要175.84平方厘米的铁皮。 （3） （立方厘米） 200.96立方厘米毫升 答：这时水桶水的体积是200.96毫升。 故答案为：②③，50.24。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆的面积公式、圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。 23．（2023春•蚌山区校级期中）童童把一块橡皮泥揉成圆柱形。如果把圆柱形橡皮泥切成3块（如图，表面积将增加50.24平方厘米；如果切成4块（如图，表面积将增加80平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】通过观察图形可知，把这个圆柱横截为3个小圆柱，表面积增加50.24平方厘米，表面积增加4个截面的面积，级才可以求出已经截面的面积，进而求出底面半径；把这个圆柱沿底面直径纵切两次，表面积增加80平方厘米，表面积增加4个切面的面积，据此可以求出一个切面的面积，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设圆柱的底面半径为厘米。 （厘米） （立方厘米） 答：圆柱形橡皮泥的体积是62.8立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式、圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．（2022•黄岩区）一个圆柱形木桶的底面内直径为，组成木桶的木板长短不一，高度分别有、、。 （1）这个木桶水平放置时（如图最多能装水多少升？ （2）如图2将这个桶倾斜，往里面装水，水在桶中呈现图3的形状，这时水一共有多少升？ 【思路点拨】（1）这个木桶水平放置时（如图最多能装水的体积相当于一个底面直径是80厘米，高是6分米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）如图2将这个桶倾斜，往里面装水，水在桶中呈现图3的形状，这时水的它就相当于一个底面直径是80厘米，高（分米）的圆柱的体积，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）80厘米分米 （立方分米） 301.44立方分米升 答：这个木桶水平放置时（如图最多能装水301.44升。 （2） （立方分米） 351.68立方分米升 答：这时水一共有351.68升。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 六．操作题 25．（2024•西城区）画一画、算一算。取 （1）王丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒。她用一张长是，宽是的长方形卡纸做出笔筒的侧面（粘合处忽略不计），请你在方格纸中用圆规画出笔筒底面的图形。（画出一种即可。 （2）按照上面的方法制作出圆柱形笔筒，一共要用 　480　的卡纸。 【思路点拨】（1）根据圆柱的侧面积底面的周长高，用字母表示：表示底面的周长，表示圆柱的高），或，根据题意画一种即可，即可以把长方形的长24厘米作为圆柱底面圆周长，根据圆周长，求出半径，然后根据半径画圆； （2）无盖笔筒，则卡纸面积即圆柱底面圆面积和侧面积之和，侧面积即长方形卡纸的面积，底面圆面积即（1）所画圆面积，据此计算。 【规范解答】解：（厘米） 即画一个半径是4厘米的圆，如下图所示： （2） （平方厘米） 答：制作出圆柱形笔筒，一共要用的卡纸。 故答案为：480。 【考点评析】本题考查了圆的画法以及圆柱表面积计算。 七．解答题 26．（2024•景洪市）小明有大小两个铁球，他想知道两个铁球的体积，做了以下实验，步骤如下： （1）取一个直径为10厘米的圆柱形容器。注入部分水（如图①； （2）放入小铁球，浸没在水中，水面上升了（如图②； （3）再放入大铁球，这时有部分水溢出（如图③； （4）取出大铁球，这时水面距离容器口（如图④。 请你算出大小铁球的体积分别是多少？ 【思路点拨】根据特殊物体体积的测量方法可知，把小铁球放入有一些水的圆柱形杯子中，上升部分水的体积就等于这个小铁球的体积，再放入大铁球，这时有部分水溢出，取出大铁球，这时水面距离容器口6厘米，由此可知，大铁球的体积相当于圆柱形杯子中高6厘米的水的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：小铁球的体积是314立方厘米，大铁球的体积是471立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握特殊物体体积的测量方法及应用，圆柱的体积公式及应用。关键是熟记公式。 27．（2024•历城区）一个圆柱形木块按图甲的方式切成形状、大小相同的四块，表面积增加了；按图乙的方式切成形状、大小相同的三块，表面积增加了。求这根木料的体积。 【思路点拨】甲图增加的表面积即4个长是圆柱的高，宽是圆柱底面直径的长方形的面积，用增加的表面积除以4即是一个长方形的面积，即圆柱底面直径和高之积。图乙增加的表面积即4个圆柱底面积，用增加的面积除以4即是一个底面积，再根据圆柱底面积求出圆柱底面半径，进而求出底面直径，然后根据底面直径和高之积求出圆柱的高，最后代入圆柱体积公式：，即可解答本题。 【规范解答】解： 即圆柱底面直径和高的乘积为。 ，即圆柱底面半径是。 ，即圆柱底面直径是。 ，即圆柱高是。 答：这根木料的体积是。 【考点评析】本题考查了圆柱表面积计算的应用以及体积的计算。 28．（2024春•丰县期中）在中国的传统建筑中，圆有着广泛的应用，园林中的月亮门便是其中的代表。怡景公园想建一道围墙（墙的厚度为20厘米），原本要用土石35立方米，后来开了一个月亮门（如图），减少了土石的用量。 （1）公园想给月亮门安装一个铁门，每平方米的铁重5千克，这个铁门的重量是多少千克？ （2）实际上用了多少立方米土石？ （3）如果在月亮门内壁上涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）根据圆的面积公式：，把数据代入公式求出这个门的面积，然后再乘2每平方米铁的质量即可。 （2）根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这个用土石的体积，然后根据减法的意义，用减法解答。 （3）根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1） （千克） 答：这个铁门的重量是15.7千克。 （2）20厘米米 （立方米） 答：实际上用了34.372立方米的土石。 （3） （平方米） 答：兔油漆的面积是1.256平方米。 【考点评析】此题主要考查圆的面积公式、圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 圆柱的体积 （导图+5个知识点+4个易错点+6个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：圆柱的体积定义 2 知识点02：圆柱的体积公式 2 知识点03：圆柱体积的计算步骤 2 知识点04：圆柱体积的单位 3 知识点05：圆柱体积的应用 3 易错知识指引 3 易错知识点01：公式记忆与应用易错 3 易错知识点02：单位换算易错 3 易错知识点03：实际问题解决易错 4 易错知识点04：计算过程易错 4 考点培优讲练 4 考点1：圆柱的体积 4 考点2：圆柱的侧面积、表面积和体积 6 考点3：组合图形的体积 7 考点4：探索某些实物体积的测量方法 8 考点5：规则立体图形的体积 10 考点6：体积的等积变形 12 真题汇编拔尖练 13 知识点01：圆柱的体积定义 圆柱的体积是指圆柱所占空间的大小，用符号V表示。 知识点02：圆柱的体积公式 圆柱的体积V可以通过底面积S底来计算，公式为：V=S底×h 由于圆柱的底面是一个圆，其面积S底可以通过公式πr²计算（其中r是底面半径），所以圆柱的体积公式也可以表示为：V=πr²×h 知识点03：圆柱体积的计算步骤 1. 确定底面半径和高： 首先，需要确定圆柱的底面半径r和高h。这两个值通常是通过题目给出的，或者需要通过测量获得。 2. 计算底面积： 使用公式S底=πr²计算圆柱的底面积。注意，这里的π是一个常数，约等于3.14159。 3. 计算体积： 最后，将底面积S底和高h代入公式V=S底×h，计算出圆柱的体积。 知识点04：圆柱体积的单位 圆柱的体积单位通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等，这些单位表示的是三维空间的大小。在计算时，需要确保底面半径和高使用相同的单位，这样计算出的体积才是正确的。 知识点05：圆柱体积的应用 圆柱体积的计算在实际生活中有广泛的应用，如计算圆柱形容器的容量、估算圆柱形物体的重量（需要知道物体的密度）等。通过计算圆柱的体积，我们可以更好地理解和利用圆柱这一几何形状。 易错知识点01：公式记忆与应用易错 1. 公式记忆不准确 易错点：学生可能会忘记圆柱体积的公式是V=πr²h，或者将公式中的π、r²和h的位置混淆。 解析：需要反复记忆和练习圆柱体积的公式，确保能够准确应用。 2. 公式应用不当 易错点：学生在应用公式时，可能会忘记将题目中给出的数据代入公式，或者代入数据时出错。 解析：在应用公式前，需要仔细审题，明确题目中给出的数据，并正确代入公式进行计算。 易错知识点02：单位换算易错 1. 单位不统一 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会忽略单位换算，导致底面半径和高使用不同的单位，从而得出错误的结果。 解析：在计算前，需要确保底面半径和高使用相同的单位（如厘米或米），如果单位不统一，需要进行换算。 2. 单位换算错误 易错点：在进行单位换算时，学生可能会忘记换算系数，或者计算错误。 解析：需要熟练掌握常见的单位换算关系，如1米=100厘米等，并在换算时仔细计算。 易错知识点03：实际问题解决易错 1. 实际问题抽象化困难 易错点：在解决实际问题时，学生可能无法将问题抽象化为圆柱体积的计算问题。 解析：需要培养学生的抽象思维能力，引导他们将实际问题转化为数学模型进行计算。 2. 计算结果解释不清 易错点：在计算得出结果后，学生可能无法准确解释结果的实际意义。 解析：需要引导学生理解圆柱体积的实际意义，如表示圆柱所占空间的大小等，并能够根据计算结果进行合理解释。 易错知识点04：计算过程易错 1. 计算步骤遗漏 易错点：在计算圆柱体积时，学生可能会遗漏某些计算步骤，如忘记计算底面积等。 解析：需要强调计算步骤的完整性，确保学生在计算过程中不遗漏任何步骤。 2. 计算错误 易错点：在进行计算时，学生可能会出现计算错误，如乘法运算错误等。 解析：需要提高学生的计算能力，确保他们在计算过程中能够准确进行运算。 考点1：圆柱的体积 【典例精讲】（2024•西城区）如图中有4个圆柱，与右边圆锥体积相等的是　　。（单位： A． B． C． D． 【变式1】（2024•播州区）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则铅锤放入圆柱形容器后（铅锤完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将铅锤从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个铅锤的体积是　　立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 【变式2】（2024•临平区）如图，两个圆柱体容器中盛有相同体积的水。①号容器原来水面高是，放入小球后水面的高是。②号容器放入同样大的小球和一个小正方体后水面的高是。小球的体积与小正方体体积的比是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•永康市）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出上图这个直柱体的体积是 　立方厘米。 【变式4】（2024•金州区）如图三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。（计算时取3.14，单位： （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 考点2：圆柱的侧面积、表面积和体积 【典例精讲】（2024•沙坪坝区校级模拟）一根圆柱形木料的底面半径是2厘米，长是40厘米。如图所示，将它截成5段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了　　平方厘米。 A．200.96 B．100.48 C．80 D．50.24 【变式1】（2024•米东区）太和殿又称“金銮殿”“至尊金殿”“金銮宝殿”，是中国现存规制最高的古代宫殿建筑，是古代皇帝举行重大朝典之地。已知太和殿有72支顶梁柱，直径均为1.06米，高度均为12.7米，要计算太和殿所有顶梁柱的侧面积之和，列式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•高新区）把底面直径10厘米、高20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 （1）计算这个长方体的体积。 （2）这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加多少？ 【变式3】（2024春•晋安区期中）利用图中的涂色部分刚好能做成一个圆柱形（接头处忽略不计），求这个圆柱的体积。 【变式4】（2023•金安区）按要求计算：单位： （1）如图1，求出它的表面积． （2）如图2，求出它的体积． 考点3：组合图形的体积 【典例精讲】（2024•鹿城区）商店出售一种摆件，长度如图所示（单位：。用这样的两个完全一样的摆件可以拼成一个 　　体。这个摆件的体积是 　　。 【变式1】（2024春•镇原县期中）蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是 　 　。 【变式2】（2024•塔河县）求如图物体的体积。 【变式3】（2024春•灵宝市期中）求如图这个空心水泥管的体积。 【变式4】（2024春•郓城县期中）计算如图图形的体积和朝上的面的面积。（注：图中半圆柱的底面直径是 考点4：探索某些实物体积的测量方法 【典例精讲】（2024•西安）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将水倒进一个容量为的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果杯子没有满；（3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是　　 A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．无法确定 【变式1】（2024•温县）如图，玻璃杯中有5厘米高的水，将鸡蛋放入水中，再次测得水面的高度是6厘米．如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（得数保留整数） 【变式2】（2016春•武平县校级月考）在一个高为8厘米、容积为80毫升的圆柱容器里装满了水．现把长15厘米的圆柱钢材垂直放入，使底面互相接触，这时一部分水从容器中溢出，当把钢材拿出后，容器中的水高6厘米，求钢材的体积． 【变式3】（2021春•海拉尔区校级期中）小明用一个底面半径是6厘米，高15厘米的圆柱形玻璃器皿装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的底面是多少平方厘米？ 【变式4】（2024•渭南）小飞在一个长方体玻璃容器中装了一些水，把一个底面半径是4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，水面上升了8厘米，如果把铁块垂直拉出水面5厘米，那么水面下降2厘米（如图），这个圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计） 考点5：规则立体图形的体积 【典例精讲】（2021春•固始县期中）在一个高为，容积为的圆柱体容器，里面装满水，现在把长的圆柱体垂直放入，使的底面与的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从中拿起后，中的水高度为，求圆柱体的体积． 【变式1】（2024•舞阳县模拟）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重7.8克，这段钢材重多少克？ 【变式2】（2023•瑶海区）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？取值 【变式3】．（2019•湘潭模拟）计算下面物体的体积和表面积 考点6：体积的等积变形 【典例精讲】（2024•柳河县）如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是　　 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断 【变式1】（2012•漳浦县校级自主招生）如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积用表示，应为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•黄石港区）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？ 【变式3】（2023•庆云县）小林先用橡皮泥捏成一个底面积是，高是的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。 ①如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 ②如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 一．选择题 1．（2024•即墨区）如图，分别以长方形的长和宽所在直线为轴旋转一周，形成两个立体图形。这两个立体图形的体积　　 A．图①形成的体积大 B．图②形成的体积大 C．一样大 D．不确定哪个大 2．（2024•宜秀区）如图，把两张完全相同的长方形纸分别卷成粗细不同的两个圆柱，粘上底面后比较这两个圆柱的表面积，　　 A．粗圆柱的表面积大 B．细圆柱的表面积大 C．两个圆柱的表面积同样大 D．不能比较表面积的大小 3．（2024•大洼区）数学课上，为了比较土豆和西红柿体积的大小，琳琳学习小组用“排水法”进行试验，试验过程如图。关于土豆和西红柿体积的大小，下面说法正确的是　　 A．一样大 B．土豆大 C．西红柿大 D．无法判断 4．（2024•祁县）请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的　　 A． B． C． 5．（2024春•临平区期中）容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如图，单位：厘米）。每个小球的体积可能是　　立方厘米。 A．50 B．100 C．150 D．180 二．填空题 6．（2024•集美区）如图，一个底面半径为、高为的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是 　　，宽是 　　，体积是 　　，表面积比原来增加了 　　。 7．（2024•龙泉市）如图，将一个圆柱形包装盒的侧面沿着虚线剪开，得到一个平行四边形，这个包装盒的侧面积是 　　平方厘米，最多能容纳 　　立方厘米的物体。 8．（2024•杭州）一个底面半径为的圆柱形瓶子，侧面有一圈商标纸，刚好包住圆柱的整个侧面。将商标纸剪开后，如图中，可能是图形 　　，瓶子的容积为 　　。 9．（2024•惠州）一张长方形的纸，长是，宽是，以长为轴旋转一周形成一个 　　，这个立体图形的体积是 　　。 10．（2024•临西县）一个圆柱，如果把它的高截短4厘米（如图，表面积减少125.6平方厘米，圆柱的底面半径是 　　厘米；如果把原来的圆柱平均分成若干等份后拼成一个近似长方体（如图，表面积比原来增加160平方厘米，则原来圆柱的体积是 　　立方厘米。 11．（2024•巨鹿县）一根长的圆柱木料，按右图所示截去后，圆柱木料的表面积减少，原来圆柱木料的底面积是 　　，体积是 　　。 三．判断题 12．（2024•霸州市）如图，把一个圆柱的侧面展开得到一个平行四边形，这个圆柱的表面积是。 　　（判断对错） 13．（2024•濉溪县）将两根完全一样的圆柱拼成一个大圆柱，拼成后的大圆柱与原来两的两个圆柱相比体积不变，表面积变了。 　　（判断对错） 14．（2024•沈丘县）把圆柱的底面直径扩大到它的3倍，高缩小到它的，这个圆柱的体积不变。 　　（判断对错） 四．计算题 15．（2024•渑池县）求图中几何体的体积。 16．（2024春•上蔡县期中）按如图所示的方法剪下两个圆和一个长方形，刚好可以围成一个圆柱（接头处忽略不计），计算这个圆柱的表面积。 五．应用题 17．（2024•云龙县）李师傅要做一个零件（如图），有一个棱长的正方体铁块，在它的两个底面之间挖一个圆柱形圆孔，圆孔的底面直径是，剩下的部分就是这个零件了，此时零件的体积是多少？ 18．（2024•泉港区）王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 19．（2024•遵化市）一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 20．（2024•宛城区）有一个高、容积为的圆柱形容器，里面装满了水，现把长的圆柱垂直放入，使的底面和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出。当把从中拿走后，中水的高度只有。求圆柱的体积。 21．（2024•大洼区）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，在我国历史悠久。洋洋买了一个陀螺（如图），量得圆木柱的底面直径是，高是，圆锥的高是。这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 22．（2024春•中牟县期中）请你从如图型号的材料中选出两个制作一个无盖的圆柱形小水桶。（接口处忽略不计） （1）选择的型号是 　　（填序号），这个水桶的底面积是 　　。 （2）制作这个小水桶，一共需要多少平方厘米的铁皮？ （3）往这个小水桶中注水，水面上升到水桶高的处，这时水桶中水的体积是多少毫升？ 23．（2023春•蚌山区校级期中）童童把一块橡皮泥揉成圆柱形。如果把圆柱形橡皮泥切成3块（如图，表面积将增加50.24平方厘米；如果切成4块（如图，表面积将增加80平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 24．（2022•黄岩区）一个圆柱形木桶的底面内直径为，组成木桶的木板长短不一，高度分别有、、。 （1）这个木桶水平放置时（如图最多能装水多少升？ （2）如图2将这个桶倾斜，往里面装水，水在桶中呈现图3的形状，这时水一共有多少升？ 六．操作题 25．（2024•西城区）画一画、算一算。取 （1）王丽想用卡纸制作一个无盖的圆柱形笔筒。她用一张长是，宽是的长方形卡纸做出笔筒的侧面（粘合处忽略不计），请你在方格纸中用圆规画出笔筒底面的图形。（画出一种即可。 （2）按照上面的方法制作出圆柱形笔筒，一共要用 　　的卡纸。 七．解答题 26．（2024•景洪市）小明有大小两个铁球，他想知道两个铁球的体积，做了以下实验，步骤如下： （1）取一个直径为10厘米的圆柱形容器。注入部分水（如图①； （2）放入小铁球，浸没在水中，水面上升了（如图②； （3）再放入大铁球，这时有部分水溢出（如图③； （4）取出大铁球，这时水面距离容器口（如图④。 请你算出大小铁球的体积分别是多少？ 27．（2024•历城区）一个圆柱形木块按图甲的方式切成形状、大小相同的四块，表面积增加了；按图乙的方式切成形状、大小相同的三块，表面积增加了。求这根木料的体积。 28．（2024春•丰县期中）在中国的传统建筑中，圆有着广泛的应用，园林中的月亮门便是其中的代表。怡景公园想建一道围墙（墙的厚度为20厘米），原本要用土石35立方米，后来开了一个月亮门（如图），减少了土石的用量。 （1）公园想给月亮门安装一个铁门，每平方米的铁重5千克，这个铁门的重量是多少千克？ （2）实际上用了多少立方米土石？ （3）如果在月亮门内壁上涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$