河南省洛阳市第九高级中学2024-2025学年高二上学期数学期末模拟测试试卷

高二期末模拟测试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题 1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A.x－y＋1＝0　　　　 B.x－y－＝0 C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0 解析：选D　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0. 2．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且ka＋b与a－2b互相垂直，则k＝(　　) A．－ B. C. D. 解析：选D　ka＋b＝(－k＋1，k,2)，a－2b＝(－3,1，－4)，由(ka＋b)·(a－2b)＝3(k－1)＋k－8＝0，解得k＝. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：选B　由得 即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 4．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：选B　由题意得，＝2⇒b＝2a.① 因为C2的焦距2c＝4，所以c＝＝2.② 联立①②，得b＝4，故选B. 5．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0 解析：选A　法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故选A. 法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－，故所求直线的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0.故选A. 6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(1,1,0)， 所以＝(－2,0,2)，＝(1,1，－1)， 故cos〈，〉＝＝＝－， 所以直线AD1与EF所成角的余弦值是. 故选C. 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝－14，S9＝－27，则使得Sn取最小值时的n为(　　) A.1 B.6 C.7 D.6或7 答案　B 解析　由等差数列{an}的性质，可得a1＋a5＝2a3＝－14⇒a3＝－7，又S9＝＝－27⇒a1＋a9＝－6⇒a5＝－3，所以d＝＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝－7＋(n－3)×2＝2n－13，令an≤0⇒2n－13≤0，解得n≤，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得Sn取最小值时的n为6，故选B. 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5) 答案　A 解析　∵Sn＝3n(λ－n)－6，① ∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1，② ①－②得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)，又{an}为单调递减数列，∴an＞an＋1，且a1＞a2. ∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)， 化为λ＜n＋2(n＞1)，且λ＜2， ∴λ＜2，∴λ的取值范围是(－∞，2).故选A. 二、多项选择题 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝35，a4＝11，则(　　) A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3 C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n 答案　AC 解析　设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a4＝11，可得解得a1＝－1，d＝4，则an＝－1＋4(n－1)＝4n－5，Sn＝＝2n2－3n，故选AC. 10．在空间四边形ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论成立的是(　　) A．|＋＋|＝|＋－| B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2 C．(＋＋)·＝0 D．·＝·＝· 解析：选ABD　因为，，两两垂直，所以(＋)·＝0，所以(＋＋)2＝(＋)2＋＋2(＋)·＝(＋)2＋，(＋－)2＝(＋)2＋－2(＋)·＝(＋)2＋，故|＋＋|＝|＋－|，因此A正确；易得B正确；C中，(＋＋)·＝(＋＋)·(－)＝·－||2＋||2－·＋·－·＝||2－||2，当||＝||时，||2－||2＝0，否则不成立，因此C不正确；D中，·＝·(－)＝·－·＝0，同理可得·＝0，·＝0，因此D正确．故选A、B、D. 11．已知两点A(－5,0)，B(5,0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x 解析：选AB　由题意知，满足条件的直线应与双曲线－＝1的左、右两支分别相交，双曲线的渐近线方程为y＝±x， ∵选项A：y＝x＋1，斜率k＝1，直线与双曲线的左、右两支分别相交，选项B：y＝2，斜率为0，直线与双曲线的左、右两支分别相交，∴A、B满足题意． 三、填空题 12．双曲线－＝1的焦距是________． 解析：∵c2＝a2＋b2＝m2＋12＋4－m2＝16. ∴c＝4. 答案：8 13．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________． 解析：由已知可设圆心为(2，b)， 由22＋b2＝(1－b)2＝r2， 得b＝－，r2＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋2＝. 答案：(x－2)2＋2＝ 14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 答案　63 解析　∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63. 四、解答题 15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程． 解：(1)由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 设直线FM的斜率为k(k>0)， 则直线FM的方程为y＝k(x＋c)． 由已知，有2＋2＝2， 解得k＝. (2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c. 因为点M在第一象限，可得M的坐标为. 由|FM|＝＝，解得c＝1， 所以椭圆的方程为＋＝1. 16．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (1)求数列的前n项和Sn； (2)设bn＝anan＋1，求的前n项和Tn. 解　(1)∵＝6n－4，∴＝1＋＝6n－3，所以是首项为3，公差为6的等差数列，所以Sn＝3n＋×6＝3n2. (2)∵bn＝anan＋1＝×＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝[＋＋…＋＋]＝＝. 17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)求DB与平面DEF所成角的正弦值． 解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图． 设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F. (1)证明：∵·＝·(0，a,0)＝0， ∴⊥，∴EF⊥CD. (2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，则y＝－2，z＝1， ∴n＝(1，－2,1)， ∴cos〈，n〉＝＝＝. 设DB与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝. 18．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点． (1)若抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程； (2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，求λ1＋λ2的值． [解] (1)根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F， ∴F(1,0)，∴c＝1， 又∵抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点， ∴b＝，∴b2＝3． ∴a2＝b2＋c2＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1． (2)∵直线l与y轴交于M， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴＋＝(*)， 又由＝λ1，∴＝λ1(1－x1，－y1)， ∴λ1＝－1－， 同理λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－， ∴λ1＋λ2＝－． 19．(本小题满分12分)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2. (1)求证：EF⊥平面BAF； (2)若二面角A­BF­D的余弦值为，求AB的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA⊥AD， ∵平面ABCD⊥平面ADEF，又平面ABCD∩平面ADEF＝AD，BA⊂平面ABCD，∴BA⊥平面ADEF. 又EF⊂平面ADEF，∴BA⊥EF. 又AF⊥EF，且AF∩BA＝A， ∴EF⊥平面BAF. (2)设AB＝x(x＞0)．以F为坐标原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0,0,0)，E(0，，0)， D(－1，，0)，B(－2,0，x)， ∴＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)． 由(1)知EF⊥平面ABF，∴平面ABF的一个法向量可取n1＝(0,1,0)． 设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的一个法向量， 则即 令y1＝1，则n2＝. ∵cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得x＝(负值舍去)，∴AB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末模拟测试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题 1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A.x－y＋1＝0　　　　 B.x－y－＝0 C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0 2．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且ka＋b与a－2b互相垂直，则k＝(　　) A．－ B. C. D. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 4．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 5．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0 6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝－14，S9＝－27，则使得Sn取最小值时的n为(　　) A.1 B.6 C.7 D.6或7 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5) 二、多项选择题 9．记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝35，a4＝11，则(　　) A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3 C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n 10．在空间四边形ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则下列结论成立的是(　　) A．|＋＋|＝|＋－| B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2 C．(＋＋)·＝0 D．·＝·＝· 11．已知两点A(－5,0)，B(5,0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线为“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x 三、填空题 12．双曲线－＝1的焦距是________． 13．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________． 14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________. 四、解答题 15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程． 16．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (1)求数列的前n项和Sn； (2)设bn＝anan＋1，求的前n项和Tn. 17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)求DB与平面DEF所成角的正弦值． 18．已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点． (1)若抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程； (2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，求λ1＋λ2的值． 19．(本小题满分12分)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2. (1)求证：EF⊥平面BAF； (2)若二面角A­BF­D的余弦值为，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$