2025年中考数学专题考点梳理及巩固训练课件 -第六章 圆 （辽宁专版）

第23课时 与圆有关的位置关系 第六章 圆 一、点、直线与圆的位置关系 考点梳理典例串 1 点与圆的位置关系 圆的半径为r，点 到圆心的距离为d 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外 d ①______r d ②______r d ③______r ＜ ＝ ＞ 课堂讲本 直线与圆的位置关系 圆的半径为r，圆心 到直线的距离为d 直线a与圆相交 直线b与圆相切 直线c与圆相离 d ④______r，有两个公共点 d ⑤______r，有一个公共点 d ⑥______r，没有公共点 ＜ ＝ ＞ 课堂讲本 【例1】如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为 AB的中点，以点C为圆心，r为半径作圆. (1) 若r=3，则点A在⊙C ______ ，点B在⊙C ______，点M在⊙C ______ ； (2) 若直线AB与⊙C相切，则r＝ ______. 上 外 内 课堂讲本 二、切线的性质及判定 定义 直线和圆只有 ⑦_____________，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 性质 圆的切线 ⑧ _____________过切点的半径 判定定理过半径外端且 ⑨________这条半径的直线是圆的切线 一个公共点 垂直于 垂直于 课堂讲本 判定方法 1. 有公共点，连半径，证垂直 如图，直线a过圆上一点A，要证直线a是切线，则连接OA，证明OA⊥a即可； 2. 无公共点，作垂直，证半径 如图，未说明直线b与⊙O的公共点情况，则过点O作OB⊥b于点B，证OB的长等于半径即可 课堂讲本 【例2】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO=13，⊙O的半径为12，AB过⊙O上的点D，AD=5. (1)求证：AB是⊙O的切线； 证明：如解图，连接DO. ∵AO＝13，DO＝12，AD＝5，∴AO2＝DO2＋AD2. ∴△ADO为直角三角形，且∠ADO＝90°，∴OD⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． 课堂讲本 (2)求证：AC是⊙O的切线. 证明：如解图，作OE⊥AC于点E， ∵AB＝AC，O为BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线． ∵OD⊥AB，∴OE＝OD＝12， ∴AC是⊙O的切线． 课堂讲本 三、 切线长定理 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA= ⑩_____，∠OPA= ⑪ _________ = ∠APB 【解题锦囊】如图，连接OA，OB，AB，还可得到 ∠AOP=∠BOP，OP垂直平分AB PB ∠OPB 课堂讲本 四、三角形的外接圆与内切圆 类别 外接圆 内切圆 定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 圆心 圆心为三角形⑫_________ _______________的交点，也叫外心 圆心为三角形 ⑬_______ ____________的交点，也叫内心 性质 三角形的外心到⑭________ __________的距离相等 三角形的内心到 ⑮____________的距离相等 三条边的垂直平分线 三个内角平分线 三角形三个顶点 三角形三条边 课堂讲本 【解题锦囊】 1. 如图1，利用等面积法(S △ ABC= ar+ br+ cr)可得任意三角形的内切圆半径r= ； 2. 如图2，利用切线长定理(AB=c=b-r+a-r)可得直角三角形的内切圆半径r= 课堂讲本 【例3】如图，⊙O 为△ ABC 的外接圆，∠ A=60°，BC=2，则⊙O 的半径是_______ ，△ ABC内切圆的半径是_______. 课堂讲本 【例4】如图， ⊙O 是△ ABC的内切圆， 连接OB，OC， 若∠ A=60 °，OB=2，OC=4， 则△ OBC 的面积是_________. 2 课堂讲本 命题点1 与切线的性质有关的计算 1. [2024 辽阳三模] 一个圆形瓶盖⊙O 和一个直角三角形纸板ABC 如图放置，点O 在斜边AB 上. ⊙O 与AB 分别交于点B 和D，与AC 相切于点E，EF ⊥ AB 于点F. (1)求证：EF=EC； 聚焦辽宁新中考 2 课堂讲本 证明：如解图，连接OE，BE， ∵⊙O与AC相切于点E， ∴∠AEO＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠CBE. ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OBE. ∵EF⊥AB，EC⊥BC，∴EF＝EC. 课堂讲本 (2) 若BC=16，CE=4，求⊙O 的半径长. ⊙O的半径长为9. 课堂讲本 2. [2024 大连模拟] 已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E，交AC的延长线于点F. (1)求证：DE ⊥ AB； 证明：如解图，连接OD， ∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠OCD， ∴∠ABC＝∠ODC，∴AB∥OD，∴DE⊥AB. 课堂讲本 (2)若tan ∠ BDE= ，CF=3，求DF 的长. DF＝6. 课堂讲本 命题点2 切线的判定及相关计算<3卷2考> 3. [2024沈阳二模]如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且DF=BF，连接AD. (1)求证：AD是⊙O的切线； 课堂讲本 证明：如解图，连接OD，OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°. ∵DF＝BF， ∴∠AOD＝∠AOB. 又∵OD＝OB，OA＝OA，∴△AOD≌△AOB(SAS)， ∴∠ADO＝∠ABO＝90°. ∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线． 课堂讲本 (2)若AB=6，AC=8，求⊙O的半径. ⊙O的半径为. 课堂讲本 4. [2024大连三十四中一模]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E是BC的中点，延长AC交BE的延长线于点D，点F在AB的延长线上，EF⊥AD，垂足为G. (1)求证：GF是⊙O的切线； 课堂讲本 证明：如解图，连接OE， ∵点E是BC的中点，∴∠CAE＝∠EAB. ∵OA＝OE， ∴∠EAB＝∠OEA， ∴∠CAE＝∠OEA， ∴OE∥AD， ∵EF⊥AD，∴OE⊥EF. ∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线． 课堂讲本 (2)若BF=1，EF=，求⊙O的半径. ⊙O的半径为. 课堂讲本 5. [2024辽宁真题第21题8分]如图， ⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD，点E在BA的延长线上, ∠CEA=∠CAD. (1)如图1，求证：CE是⊙O的切线； 课堂讲本 证明：如解图，连接OC， ∵∠CAO是△ACE的一个外角， ∴∠CAO＝∠CEA＋∠ACE，即∠CAD＋∠DAB＝∠CEA＋∠ACE. ∵∠CEA＝∠CAD，∴∠DAB＝∠ACE. ∵AC＝BD，∴∠ABC＝∠DAB，∴∠ABC＝∠ACE. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠OAC＝90°， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠ACE＋∠OCA＝90°，即∠OCE＝90°. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 课堂讲本 (2) 如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的长. BD的长为2π. 课堂讲本 $$第22 课时 圆的基本概念及性质 第六章 圆 一、圆的有关概念和性质 考点梳理典例串 1 圆的有关概念 圆 圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，定点称为 ①_________，定长称为半径 弦 1. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如AC； 2. 经过 ②_________的弦叫做直径，如AB，③________是最长的弦 圆心 圆心 直径 课堂讲本 圆的有 关概念 弧 1. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 2. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做 ④_______，如ABC，小于半圆的弧叫做 ⑤_______ ，如AC； 3. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在圆心的角，如∠ AOC 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，如∠CAB 优弧 劣弧 课堂讲本 圆心 确定圆的条件 1. 圆心和半径； 2. 不在同一条直线上的三个点 对称性 1. 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线； 2. 圆是中心对称图形，对称中心为 ⑥______ 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合 课堂讲本 【例1】如图，已知A，B，C，D 四点都在⊙O 上，AB 为⊙O的直径，CD 与AB 相交于点E，连接OD，BD. (1) 若OBD=60°，则BOD 的度数为__________； (2) 若⊙O 中最长的弦是16 cm， 则⊙O 的半径是_______ cm； (3) 下列说法正确的是____________. ① AD是劣弧，ACD是优弧； ②∠ AOD 是圆心角； ③ AB 是⊙O 的对称轴； ④AB是半圆. 60° 8 ①②④ 课堂讲本 二、弧、弦、圆心角之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ⑦_________，所对的弦 ⑧ _________ 相等 相等 课堂讲本 推论 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ⑨ _________ ，所对的弦 ⑩ _________ ； 2. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ⑪ _________ ，所对的优弧和劣弧分别 ⑫ _________ 【解题锦囊】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么另外两组量也分别相等，即“知一推二” 相等 相等 相等 相等 课堂讲本 【例2】如图， 点A，B，C，D 在⊙O 上， 连接OA，OB，OC，OD，AB，CD， 下列说法正确的有___________. ① 若∠ AOB= ∠ COD，则AB =CD ； ② 若AB =CD，则AB=CD； ③若∠ B= ∠ D，则AB=CD. ①②③ 课堂讲本 三、垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径 ⑬ _________弦，并且 ⑭_________弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径 ⑮ _________弦，并且 ⑯ _________弦所对的两条弧 平分 平分 垂直于 平分 课堂讲本 【解题锦囊】1. 如图，根据圆的对称性，以下五个结 论：①AC=BC；②AD=BD；③AB⊥CD；④AE= BE；⑤CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，但若由④⑤推其他结论要满足AB不是直径. 2. 应用：常借助半径、弦心距和弦长的一半构 成的直角三角形 (如图中的Rt△AOE)，利用 勾股定理或三角函数求线段长 课堂讲本 【例3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E，B是CD的中点，CD=8，连接OC. (1)若∠C=30°，则∠BOC= _______°，AE= _______； (2) 若BE=2，则⊙O的半径是_______. 60 4 5 课堂讲本 四、圆周角定理及其推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⑰ ________ 推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 2. 半圆(或直径)所对的圆周角是 ⑱________，90°的圆周角所对的弦是 ⑲ ________. 【解题锦囊】在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦相等 一半 直角 直径 课堂讲本 【例4】如图，AB是⊙O的直径，点 C，D在⊙O上，CD平分∠ACB，∠ADC=30°. (1) ∠ABC= ________°，∠AOC= ________°； (2) 若⊙O的半径是4，则BC=________ ，AD=________. 30 60 4 4 课堂讲本 五、圆内接四边形 概念 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上， 那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆 叫做四边形的外接圆 性质 圆内接四边形的对角 ⑳_______，如图，∠A+∠D= ㉑ _______ 【解题锦囊】圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角. 如图，∠DCE= ㉒ _________ 互补 180° ∠B 课堂讲本 【例5】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，∠A∶∠B∶∠D = 3∶4∶5，则∠DCE的度数是_______. 60° 课堂讲本 命题点1 弧、弦、圆心角之间的关系 1. [人教九上P85练习第2题改编]如图，AB为半圆O的直径，点C，D为AE的三等分点，若∠COD=50°，则∠BOE的度数是( ) A. 25° B. 30° C. 50° D. 60° B 聚焦辽宁新中考 2 课堂讲本 2. 如图，在⊙O中，如果∠AOB=2∠AOC(均小于180°)，那么下列关系正确的是 ( ) A. AB=2AC B. AB＞2AC C. AB＜2AC D. AB=AC C 课堂讲本 命题点2 垂径定理及其推论 3. [2024 营口一模] 月洞门为中国古典建筑中常见的过径门,因圆形如月而得名. 某地园林中有一个圆弧形月洞门(如图),高为2. 5m,地面入口宽为1 m，则该月洞门门洞的半径为______m. 1. 3 课堂讲本 命题点3 圆周角定理及其推论 4. [2024 大连三十四中一模] 如图，在⊙O 中，弦AB=5 cm，∠ ACB=3 0 °，则⊙O 的半径是( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm A 课堂讲本 5. [2024 沈阳实验中学模拟改编] 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，D 是AC 的中点. 若∠ B=40°，则∠ C 的大小为( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° B 课堂讲本 6. [2024 鞍山二模] 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，∠ ACD=70 °，∠ ADC=4 0°，则∠ AED 的度数为 ( ) A. 110° B. 115° C. 12 0° D. 10 5° C 课堂讲本 命题点4 圆的性质综合题<3 卷1 考> 7. [北师九下P84 习题第3 题改编] 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E，F. (1) 若∠ E= ∠ F，求证：∠ ADC= ∠ ABC； (2) 若∠ E=40°，∠ F=42°，求∠A 的度数. 证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB， ∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，∴∠ADC＝∠ABC. ∠A＝49°. 课堂讲本 8. [2024 辽宁样卷第21 题8 分] 如图，在△ABC 中，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D，交BA 的延长线于点E，连接CE，DE. (1)求证：BD=CD； (2)若BD=20，tan ∠ EDC= ，求AC 的长. AC＝25. 证明：如解图，连接AD， ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°， 即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. 课堂讲本 $$微技能 与圆有关的最值及构造问题 第六章 圆 模型一 点圆最值和线圆最值 模型分析及典例 1 点 圆 最 值 A 是平面内一定点，P 是⊙O 上一动点，设OA=d，OP=r 点A 在圆内 点A 在圆上 点A 在圆外 AP 的最大值为 ①_______，最小值为 ②_______ AP 的最大值为 ③_______，最小值为 ④_______ AP 的最大值为 ⑤_______，最小值为 ⑥_______ r＋d r－d 2r(或2d) 0 d＋r d－r 课堂讲本 线 圆 最 值 P 是⊙O 上一动点，⊙O 的半径为r, 圆心O 到直线l 的距离为d，PH ⊥直线l 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 PH 的最大值为 ⑦ ________，最小值为 ⑧________ PH 的最大值为 ⑨________，最小值为 ⑩________ PH的最大值为 ⑪________，最小值为 ⑫________ r＋d 0 2r(或2d) 0 d＋r d－r 课堂讲本 【例1】如图，AB 是O 的弦， 点C 在AB 上，P 是O 上的动点，连接PA，PB，PC，已知O的半径是5，AB=6. (1) △ APB 面积的最大值是 __________； (2) 若BC=1， 求PC的最大值和最小值. 27 PC的最大值是5＋2，最小值是5－2 . 课堂讲本 模型二 定点定长确定隐形圆 模型分析 A 为定点，B 为动点，AB 为定长，则点B 的轨迹为以点A 为圆心，AB 长为半径的圆 模型应用 旋转 条件： 将△ ABC 绕点A 旋转得到△ AB'C'. 结论： 点B 的轨迹为BB'，点C 的轨迹为BC' 课堂讲本 折叠 条件： 点D 是AC 的中点，点P 是BC 边上的动点，沿DP 折叠△ DCP，点C 的对应点为C'. 结论： 点C'在以 ⑬_____为圆心，⑭ _____长为半径的圆上. D CD 课堂讲本 【例2】 如图， 在矩形ABCD 中，AB=4，AD=8，点E 在BC 上，BE=2，P是AB 边上的一个动点，将△ PBE 沿PE 折叠， 点B 的对应点为B'. (1) 连接B'D，则B'D 的最小值是 ______________； (2) 连接AB'，CB'，则△ AB'C 的最小面积是______________. 2 －2 12－4 课堂讲本 模型三 定弦定角确定隐形圆 模型分析 AB为定长，点P为线段AB外一动点，且∠APB为定角度，则点P的运动轨迹为圆，此模型称为定弦定角模型 模型类型 条件：∠APB=90° 结论：点P的轨迹为以AB为直径的圆(A，B点除外) 课堂讲本 条件：∠APB＜90°且点P在直线AB一侧 结论：点P的轨迹为优弧APB(A，B点除外) 条件：∠APB＞90°且点P在直线AB一侧 结论：点P的轨迹为劣弧AB(A，B点除外) 课堂讲本 【例3】如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别在边DC，CB上移动(不与顶点重合)，且满足DE=CF. 连接AE和DF，交于点P. 若AD=10，则线段CP的最小值是___________. 5－5 课堂讲本 模型四 四点共圆 判 定 方 法 对 角 互 补 一般情形 特例 条件：∠BAD+∠C=180° 条件：∠BAD=∠C=90° 结论：A，B，C，D 四点在同一个圆上 课堂讲本 应用：1. 得四边形对角互补；2. 利用圆周角定理得等角； 3. 利用直径是最长的弦求四边形边长或对角线的最大值 判 定 方 法 同侧等角 一般情形 特例 条件：∠C=∠D 条件：∠C=∠D=90° 结论：A，B，C，D 四点在同一个圆上 课堂讲本 【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°. (1) 若∠CBD=25°，则∠ACD的度数是________ ； (2) 若AC=6，求线段BC 的最大值. 35° BC的最大值是4. 课堂讲本 1. 如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是 (　　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° A 针对练习 2 课堂讲本 2. [2024大连五区第三次联考]如图，已知在平面直角坐标系中， ⊙I的圆心为(0，1)，半径为1，直线y+2=k(x-2)经过定点A，交⊙I于一点M，则当MA取得最大值时，k的值为 (　　) A. -2 B. - C. -3 D. - D 课堂讲本 3. 如图， ⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥ PB，且PA，PB 与x 轴分别交于A，B两点(点A 在点B 的左侧). 若点A，B 关于原点对称，当线段AB 最短时，点A 的坐标为 (　　) A. (-4，0) B. (-3，0) C. (-2，0) D. (-1，0) B 课堂讲本 4. 如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=9 0°，BC=3，AC=4，点P 为平面内一点，且∠ CPB=∠ A，过点C 作CQ ⊥ CP 交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为 (　　) A. B. C. D. B 课堂讲本 5. [2024 苏州] 如图，矩形ABCD 中，AB= ,BC=1，动点E，F 分别从点A，C 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿AB, CD 向终点B，D 运动，过点E，F 作直线l，过点A作直线l 的垂线，垂足为G，则AG 的最大值为 (　　) A. B. C. 2 D. 1 D 课堂讲本 6. 如图，在Rt △ ABC 中，AB=4,∠ ABC=90 °，∠ ACB=30 °，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转得到△ A'BC'，点A，C 的对应点分别为A'，C'，点D 是A'C' 的中点，则旋转过程中，点D 到直线AC 距离的最大值是__________. 2＋4　 课堂讲本 7. 如图，P 是▱ABCD 内一个动点，AB=6，AD=8，∠ BAD=12 0°，连接AP，BP，CP，DP，且∠ BAP+ ∠ CDP=9 0°，则△ BPC 面积的最小值是_________. 12 －16 课堂讲本 8. 如图，△ ABC 为等边三角形，AB=6，点P从点A 出发，在△ ABC 内运动且始终保持∠ PAB= ∠ ACP. 当B，P 两点距离最 小时，动点P 运动的路径长为_________. 课堂讲本 9. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=2 ，∠ B=60 °，点E，F 分别是边AB，BC 上的动点，且AE=BF，连接AF，CE 交于点G. (1)求∠ AGC 的度数； (2)连接BG，求BG 的最小值； (3)求四边形AGCD 面积的最大值. ∠AGC＝120°. BG的最小值是2. 四边形AGCD面积的最大值是4 . 课堂讲本 $$微技能 主从联动(瓜豆原理)模型 第六章 圆 类型一 主动点的轨迹是直线(或射线或线段) 模型分析及典例 1 问题情境 已知定点A，动点P，动点Q，∠PAQ为定角度，为定值，点P从点B运动到点C， 类型 A，Q，P三点共线 A，Q，P三点不共线 图示 点Q在AP上， ∠PAQ=0°C 主动点轨迹 线段BC 线段BC 课堂讲本 辅助线作法 连接AB，AC，分别在AB，AC上找点M和点N,使= ，=，连接MN 连接AB，AC，作∠BAM= ∠PAQ，且使=，作∠CAN=∠PAQ，且使=，连接MN 课堂讲本 从动点轨迹 线段MN(MN∥BC) 线段MN［由AM为定线段，∠M=∠B为定角度可判断点Q在倾斜角度确定的射线MQ上(可延长NM交BC于点K，证∠NKC=∠PAQ说明)，再由主动点的终点C可确定从动点的终点N］ 课堂讲本 △ABC 结论及常用解题思路 1. P，Q两点运动轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ； 2. △AMQ∽△ABP，△AMN∽ ①________，P，Q两点运动轨迹的长度之比= ②________，据此可快速求解从动点的运动轨迹MN的长度； 3. 求线段或面积的最值通常需要判断出从动点轨迹所在的直线，然后利用垂线段最短求解 课堂讲本 【例1】在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠B=30°，BC=3，D是AB边上一点，E在线段CD上，DE=2CE. 当点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是____________. 课堂讲本 【例2】如图，等边三角形ABC 中，AB=4，AH⊥BC于点H，D是射线AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，连接HE，求HE的最小值. HE的最小值是1. 课堂讲本 类型二 主动点的轨迹是圆(或圆弧) 问题情境 已知定点A，动点P，动点Q，∠ PAQ 为定角度, 为定值，点P 在⊙B 上运动 类型 ∠ PAQ=0° 0°＜∠ PAQ ≤ 90° 图示 主动点轨迹 ⊙B ⊙B 课堂讲本 辅助线作法 连接AB，BP，在AB 上找点M，使= ，连接MQ，以点M 为圆心，MQ 长为半径作圆 连接AB，BP，作∠ BAM= ∠ PAQ，使= ，连接MQ，以点M 为圆心，MQ 长为半径作圆 从动点轨迹 ⊙M ⊙M 课堂讲本 结论及常用解题思路 1. 两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠ BAM= ∠ PAQ； 2. △ AMQ∽ ③ _______，两圆半径之比= ④ _______ ； 3. 先判断出从动点的轨迹，再利用点圆模型或线圆模型求线段或面积的最值 △ABP 课堂讲本 【例3】如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=5，BC=12，D 是以点A 为圆心，3 为半径的圆上一点，连接BD，M是BD 的中点， 则线段CM 长度的最小值为_______. 5 课堂讲本 【例4】如图， △ APQ 是直角三角形， ∠PAQ=90 ° 且AP=2AQ. 当P 在⊙O 上运动时，画出点Q 的运动轨迹. 解：如解图，点Q的运动轨迹为以O′为圆心，O′Q长为半径的⊙O′. 课堂讲本 1. 如图，已知点A(-3，0)，B(0，3)，C(-1，4)，动点P 在线段AB 上，点P，C，M 按逆时针顺序排列，且∠ CPM=90 °，CP=MP，当点P 从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为_______. 6 针对练习 2 课堂讲本 2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG 长的最小值为_______. 课堂讲本 3. 如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB=4，BC=2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △ PCD，且使∠ CDP=90 °,∠ DCP=60 °,连接OD，则OD 长的最大值为___________. 课堂讲本 4. 如图，点O 是等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点，AC=BC=5 ，OE=2，连接BE，以BE 为直角边，作等腰Rt △ BEF，其中∠ BEF=90°，连接AF，则四边形ACBF 面积的最大值是_____________. 课堂讲本 2＋1 50＋10 $$第24课时 与圆有关的计算 第六章 圆 一、弧长与扇形面积 圆的周长：C= ①_________ 弧长：l= ②_________ 圆的面积：S= ③_________ 扇形的面积：S= ④_________= lr 1. r为圆O的半径； 2. n°为 AB所对的圆心角的度数； 3. l是弧 AB的长 2πr 考点梳理典例串 1 πr2 课堂讲本 【例1】如图，已知扇形的半径是30 cm，扇形的圆心角是120°，则AB的长是________ cm，扇形的面积是________ cm2. 20π 300π 课堂讲本 二、阴影部分面积的计算 和差法 直接和差法： 构造和差法： 课堂讲本 等积转化法 平行法：CD∥AB 平移法：E，F分别是矩形AB，CD的中点 课堂讲本 对称法：∠ACB=90°，D是AB的中点 容斥原理法 课堂讲本 【例2】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点B为圆心，线段BA的长为半径作弧，与AC交于点D，与BC交于点E. 若AB=2，则图中阴影部分面积为_________. 课堂讲本 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为________. 课堂讲本 三、正多边形与圆 图示 任何一个正多边形都有 一个外接圆和一个内切 圆，它们是同心圆. 对应关系 正多边形的中心 外接圆的圆心 正多边形的半径 外接圆的半径 相关计算 课堂讲本 【例4】下表是圆内接正多边形的部分信息，圆的半径均为R，请用与R 有关的代数式填表. 名称 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正六边形 图形 中心角 边心距 边长 120° 90 ° 60 ° R R R 课堂讲本 四、圆锥的相关计算(人教独有) 图示 未展开 底面圆 S 底面圆= ⑤____，底面圆周长C= ⑥_____， 侧面积 S 侧= =πrl 全面积 S 全=S 侧+S 底=πrl+πr2=πr（l+r） 轴截面 圆锥的轴截面是 ⑦ _______三角形，圆锥的母线l、底面圆的半径r、圆锥的高h 之间满足r2+h2=l2. πr2 2πr 等腰 课堂讲本 展开图 1. 圆锥的侧面展开图是扇形； 2. 圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径，圆锥的底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长, 即2πr= ⑧_________，展开图相关计算一般都用此公式. 课堂讲本 【例5】已知在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，AC=6，BC=8，将△ ABC 绕AC边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积是__________. 【例6】若圆锥的母线长为3 cm， 底面圆的半径是1 cm， 则该圆锥的侧面展开图的圆心角为__________ °. 144π 120 课堂讲本 命题点1 弧长<3 卷1 考> 1. [2024 丹东六中三模] 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30 cm 的定滑轮带动重物上升. 如图，滑轮上一点A 绕点O 逆时针旋转108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ( ) A. 6 π cm B. 9 π cm C. 12 π cm D. 15π cm B 聚焦辽宁新中考 2 课堂讲本 2. [2024 年沈阳民办联合体一模] 如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90 °，∠ B=30 °，AB=8，以点C为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D，交BC 于点E，则DE的长为( ) A. π B. C. D. π B 课堂讲本 3. [2024抚顺顺城区三模]一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为________度. 90 课堂讲本 4. 传统服饰日益受到关注，图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环(如图2)，其中AD的长为π m，BC的长为π m，圆心角∠AOD=60°，则裙长AB为 ___________m. 课堂讲本 命题点2 扇形面积 5. [2024辽宁十四地市民间大联考一模]某汽车车门的底边长为1 m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 ( ) A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 B 课堂讲本 6. [2024大连七十六中一模]已知某扇形弧长为3π，圆心角为60°，则扇形面积为 ( ) A. π B. π C. π D. π D 课堂讲本 7. [人教九上P123复习题第7题改编]如图，⊙A，⊙B和⊙C两两不相交，且半径都是2 cm，则图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为 ( ) A. 4π cm2 B. 2π cm2 C. π cm2 D. cm2 B 课堂讲本 8. [2024沈阳调研]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D. 若∠C=30°，且CD=3，则阴影部分的面积是______. 课堂讲本 9. [2024丹东凤城市二模]如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； 证明：如解图，连接OD. ∵AB＝AC，OB＝OD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB. ∴∠ODB＝∠C.∴OD∥ AC. ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD. ∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线． 课堂讲本 (2) 若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积. 课堂讲本 命题点3 圆与正多边形 10. [2024盘锦大洼二中二模]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE-∠COD= ( ) A. 60° B. 54° C. 48° D. 36° D 课堂讲本 命题点4 圆锥的相关计算 11. [2024大连五区联考]一个圆锥的底面直径为4，侧面表面积为8π，则母线长为__________. 4 课堂讲本 ＋ R R R π S阴影＝3π－. $$