6.1 正弦、余弦、正切、余切（第3课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.1正弦、余弦、正切、余切（第3课时） 2kπ+a(k∈Z),-a,π±a,2±a这些角都与角a有特殊的关系.已知角α的正弦、余弦、正切及余切值，能否快速给出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值?这就是诱导公式要解决的问题. 由于角2kπ+a(k∈Z)的终边与角α的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： sin(2kπ+α)=sina, cos(2kπ十α)=cos a, tan(2kπ+a)=tanα, cot(2kπ+a)=cot a(k∈Z). 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可 以转化为求[0,2π]范围内一个角的相应值. 诱导公式一 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z. (2)转化：根据诱导公式，转化为角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值，若角为非特殊角，则需化成最简形式． 解：(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°) ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2. 角α的终边与角—α的终边关于x轴对称(图6-1-11),角α的终边与单位圆交于点P(cos a,sin α),而角—α的终边与单位圆交于点P'(cos(-α),sin(-α)).由于点P与点P'关于x轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α, cot(-α)=-cot α. 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 诱导公式二 例题2.下列式子正确的是( ) D A. B. cot(-α)=cot α C. tan(-α)=tan α D. 变式2.已知 ,则 _ ___. <m></m> 8 将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度，得到角π+α的终边(图6-1-12),这说明角α和角π+α的终边在同一条直线上，但方向相反.角α的终边与单位圆交于点P(cosα,sin α),角π+α的终边与单位圆交于点P'(cos(π+α),sin(π+α)).由于点P与点P'关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα. 由这组诱导公式，求(0,2π)范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到[0,π]范围内一个角的相应值. 诱导公式三 例题3 . 化简： ； 原式＝＝＝tan α. 变式3. 已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是(　　) A．－ B． C．－ D． B 角α的终边与单位圆交于点P(cosα,sin α),而角π—α的终边与单位圆交于点P'(cos(π—α),sin(π—α)).由于角α的终边和角π—α的终边关于y轴对称(图6-1-13),点P与点P'关于y轴对称，其横坐标为相反数，而纵坐标相等，因此有如下诱导公式： sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tan α,cot(π-α)=-cotα. 由这组诱导公式，求(0,π)范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到（0,π/2)范围内一个角的相应值. 诱导公式四 例题4. 化简: . 原式 . 变式4. 已知 ,则 的值为( ) A A. B. C. D.1 12 例如，cos(π—α)的绝对值应该同cos α的绝对值相等，即成立cos(π—α)=±cosa.但当α为锐角时，π—α是第二象限的角，这时cos(π—α)<0,而cos α>0,所以前式中应该取负号，即有cos(π—α)=-cos α. 利用以上四组诱导公式，就可以将终边不位于坐标轴上的任意角的正弦、余弦、正切及余切值，与初中已学过的锐角的相应值有机地联系起来. 以上四组诱导公式说明，2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角α的相应量的绝对值，但这两个值之间可能差一个正负号.由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个很简单的方法可以加以判断，即：当α为锐角时，等式两边必须同时为正数或同时为负数. 由于点P 与点P '关于直线y=x 对称，即点P 的横坐标与点P '的纵坐标相等，而点P的纵坐标与点P '的横坐标相等，因此有如下 诱导公式： (图6-1-14),角α的终边与单位圆交于点P(cos α,sin α),而角 的终边关于直线y=x 的终边与单位圆交于点 角α的终边与角 对称 诱导公式五、六 在以上公式中将α用—α代换，就有 即 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以互相转化，正切和余 切也可以互相转化. 以上两组诱导公式说明角 的正(余)弦、正(余)切值的绝对值，必等于角α的余(正)弦、余(正)切值的绝对值，但这两者可能差一个正负号.这个正负号的确定方法是：当α为锐角时，等式两边必须同时为正数或同时为负数. 同理，有如下诱导公式： 例题5. 判断正误.（正确的画 ，错误的画 ） （1） .( ) （2） .( ) × （3）若 ,则 .( ) √ （4）若 为第三象限角,则 .( ) × 例题6. . 的值为___. 0 [解析] × 17 变式5.已知 ,则 __. <m></m> [解析] 因为 , 所以 ， 所以原式 . 18 题型归纳 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或公式三来转化． (2)“大化小”：用公式一将角化为0°～360°的角． (3)“小化锐”：用公式二或公式四将大于90°角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【答案】(1)0　 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 利用诱导公式化简三角函数式的步骤 用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”． 证明等式的常用方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 易错防范：利用诱导公式解题时，只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角，变换前后原来是什么角就是什么角．在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$