6.2 常用三角公式（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.2常用三角公式（第1课时） 我们在学习对数时知道，对于正实数a、b,一般lg(a+b)≠lga+lgb,但可以用a、b的对数来表示ab或 (b≠0)的对数，并可由此化简很多涉及对数的表达式.类似地，一般sin(α+β)≠sinα+sinβ及cos(a-β)≠cosa—cosβ. 本节中，我们要学习两个角的和与差的三角公式，即学习如何用α、β的正弦、余弦及正切来表示α±β的正弦、余弦及正切，并在此基础上学习如何运用这组公式及其推论来化简有关的三角表达式，为后面用三角知识解决各种具体问题做好准备. 新知引入 我们先推导两角差(α-β)的余弦公式. 设α、β为任意给定的两个角，把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点O,始边都与x轴的正半轴重合，而它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点(图6-2-1).点A、B的坐标分别为A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ). 两角和与差的余弦公式 下面考虑角(α-β)的余弦.为此把角α、β的终边OA及OB都绕原点O旋转-β角，它们分别交单位圆于点A'及B' (图6-2-2).由于都转动了-β角，因此α-β也可以是一个以射线OB'为始边、以射线OA'为终边的角，而点A'的坐标是(cos(a-β),sin(α-β)),点B'的坐标是(1,0). 根据两点间的距离公式，在图6-2-1中，有 |AB|²=(cosa—cosβ)²+(sinα-sinβ)² =cos²a-2cos acosβ+cos²β+sin²a-2sinasinβ+sin²β =2-2cosacosβ-2sinasinβ. 因为将射线OA、OB同时绕原点O旋转-β角，就分别得到射线OA'、OB',所以|AB|=|A'B'|, 从而得到 2-2cosacosβ-2sinasinβ=2-2cos(a-β), 即cos(a-β)=cosacosβ+sinasinβ. 而在图6-2-2中，有 |AB'|²=[cos(a-β)-1]²+sin²(a-β) =cos²(a-β)-2cos(a-β)+1+sin²(a-β) =2-2cos(a-β). 这个式子对任意给定的角α及β都成立，称为两角差的余弦公式. 在两角差的余弦公式中，用-β代换β,就可得到两角和的余弦公式： cos(a+β)=cosacos(-β)+sinasin(-β) =cosacosβ-sinasinβ. 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ, cos(a-β)=cosacosβ+sinasinβ. 简记作 cos(a±β)=cos acosβ ∓sinasinβ. 变式1. 化简求值： ； 解 . 例题1.化简求值： ； 原式 . 7 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式.事实上， =sinacosβ+cosasinβ . 将上式中的β用-β代换，就可以得到两角差的正弦公式 sin(α-β)=sinαcosβ-cosasinβ. 两角和与差的正弦公式 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ, sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ. 简记作 sin(a±β)=sinacosβ±cosasinβ. 例题2．sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°＝_______. 变式2．sin 75°＝__________. 根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式.事实上， 将上式中的β用-β代换，就得到两角差的正切公式 两角和与差的正切公式 这样，我们得到两角和与差的正切公式 简记作 不难知道，只要tana、tanβ和tan(a±β)均有意义，上面的公式一定成立. 例题3．(1)已知tan α＝2，则tan (α－)＝(　　) A．－3　　 B．3 C．－　　 D． (2)＝________． 解析：＝＝＝＝. 变式3．若α，β均为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，则α＋β等于(　　) A． B． C． D． 解析：tan (α＋β)＝＝＝－1. 因为α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β∈(0，π)， 故α＋β＝. 你能写出和角、差角这6个公式的逻辑联系框图吗？ 交流讨论 16 题型归纳 运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)要深刻理解所用公式的特征，恰当地套用公式． (2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)的和与差的关系，然后利用公式化简求值． 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求所求角的某种三角函数值．(为防止增解，最好选取在已知范围内单调的三角函数) (2)确定所求角的范围． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 课堂训练 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分式的形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 【答案】(1)A　(2)C　 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． 给值求角问题的解题策略 (1)解答此类题目的步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内． 【答案】C　 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 原式＝sin 70°cos 25°－cos 70°·sin 25° ＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝. sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝×＋×＝. $$