复习专题02 空间向量的应用7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题02 空间向量的应用7题型分类 1．平面的法向量 (1)直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量． (2)给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． (3) ． 2．平行关系的向量表示 (1)线线平行：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． (2)线面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (3)面面平行：设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 3．垂直关系的向量表示 (1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． (2)线面垂直：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． (3)面面垂直：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 4．距离的向量表示 (1)两点距：设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|． (2)点线距：设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离． (3)点面距：已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为． 5．夹角的向量表示 (1)两异面直线l1与l2所成的角：设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝． (2)直线l与平面α所成的角：设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos<u，n>|＝． (3)平面α与平面β的夹角：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝． （一） 1．线面平行问题 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内． (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内． (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． (4)集合相等． 2．面面平行问题 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型1：平行问题 1．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【答案】10 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论. 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 3．（2024高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 【答案】-8 【分析】由题意即即可列方程求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：-8. 4．（2024高二上·江西吉安·期末）在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 【答案】(1) (2)不共面，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出和即可求出； （2）求出，设，列出方程组证明其无解即可. 【详解】（1）由题意知，， ∴； （2）∵，，， 设，则无解， 即不存在，使得，，共面， 故点，，，不共面． 5．（2024高二上·江西·阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面后可证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求得点位置，计算出向量的模得结论． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接. 底面是正方形，，，， ，，平面.平面. 平面，. （2）以O为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. ，，，. 设平面的法向量为.则 取，则，，得. 设，，则. 平面，，得.故. 6．（2024高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【答案】(1)； (2)不存在，证明见解析. 【分析】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； （2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】（1）解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. （二） 1．线面垂直问题 (1)常规法：线线垂直． (2)法向量法：用平面的法向量． 2．面面垂直问题 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 题型2：垂直问题 7．（2024高二上·山东菏泽·期末）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 9．（2024高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 10．（2024高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 11．（2024高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2）由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 12．（2024高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接分解向量即可. （2）由向量的数量积公式得，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． （三） 1．点到直线的距离 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2．点到平面的距离 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 题型3：点到直线的距离 13．（2024高二上·辽宁锦州·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算代入空间中点到直线的距离公式即可求解. 【详解】依题意， 因为直线的方向向量为， 所以取直线的一个单位方向向量为， 由，可得， 所以， ， 所以. 故选：B. 14．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 15．（2024高二上·福建福州·期中）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线距离建立函数，再求出函数最小值作答. 【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直， 以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因正三棱柱的所有棱长均为1，则， ，因动点P在线段上，则令， 即有点，，，， 因此点P到直线的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：C 16．（2024高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 17．（2024高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 18．（2024高三上·天津·期末）如图，已知平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，证明，即可解决； （2）写出平面的法向量，设平面与平面的夹角为，通过，即可求解； （3）利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， 设平面的一个法向量为，则 ，取，则，， 所以， ， 所以平面，且平面， 所以平面. （2）由题知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3），， 设点到直线的距离为， 则， 即点到直线的距离为. 题型4：点到平面的距离 19．（2024高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 20．（2024高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，， 所以， 所以，． 设是平面的法向量，    则，令，得． 故点到平面的距离为． 故选：B 21．（2024高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角大小列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）在PD上找中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点， ∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2）因为平面，平面， 所以，又， 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由F为棱PC上一点，设， ， 设平面FAD的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面ADC的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 22．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线的夹角的余弦值； （3）利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 所以，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，因此，平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、、， 所以，，， ， 所以，直线与直线的夹角的余弦值为. （3）易知，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 且，所以，点到平面的距离为. 23．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）利用向量法求解即可. 【详解】（1）在三棱柱中，D，E为的中点， ， 平面， 平面， 平面，， 在三角形中，，为中点， ， ，，平面， 平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以； （3）设点到平面的距离为，所以， 故点到平面的距离. 24．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法计算可得结果； （3）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【详解】（1）由底面，可得以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 因为，可得， 且平面， 所以平面 （2）设平面的一个法向量为， 则则，解得，令，可得， 即， 所以 因此平面与平面夹角的余弦值为； （3）易知， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. （四） 1．异面直线的夹角 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝． 2．直线与平面的夹角 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u． (3)求平面的法向量n． (4)设线面角为θ，则sin θ＝． 3.两平面的夹角 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉． 题型5：异面直线所成的角 25．（2024高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得异面直线和所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为， 则、、、、， ， ，所以，， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A. 26．（2024高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解. 【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，. 所以,. 设直线与夹角为，则. 故选：C. 27．（2024·吉林通化·模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解. 【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离， 又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径， 又因为球的表面积为，所以， 而，所以，    以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，， ， ， 设直线和所成的角为，则 . 故选：A. 28．（2024高二上·河南漯河·期末）如图，在正四棱柱，中，已知. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线与直线所成的角的大小；（2）先求出面的一个法向量，再用点到面的距离公式算出高，再求底面积和体积即可． 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴建系， 设 所以， ， 则 ， 所以异面直线与直线所成的角的余弦值为． （2）因为， ， 设是面的一个法向量， 所以有 即 ，令 ， ，故， 又，所以点到平面的距离为. 对于平面，取中点O，连结，可求得， ，则,. 底面面积为. 则三棱锥的体积为. 29．（2024高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 【答案】(1)，； (2)1，. 【分析】（1）利用空间向量的基底表示，再利用数量积的运算律计算得. （2）利用向量数量积的运算律及夹角公式求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由，，得，， 所以. （2）依题意，，则， ，则， 所以异面直线与的夹角余弦值为. 题型6：线面角 30．（2024高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点、的坐标，求出平面的法向量，最后求出与平面所成角的正弦值. 【详解】 平面，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，则，.. 易知平面的法向量. 设与平面所成角为， 则. 故选：C. 31．（2024高二上·新疆·期末）如图，点在内，是三棱锥的高，是边长为6的正三角形，．      (1)求的长度； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由是三棱锥的高，可得，再由等腰三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则，再利用等面积法可求得结果， （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接． 因为是三棱锥的高，即平面， 因为平面，所以． 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，所以点在上． 因为是边长为6的正三角形， 所以， 所以， 因为，所以． 因为的面积为， 所以，解得． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ．    设平面的法向量为， 则，取，则． 因为． 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为． 32．（2024·浙江·模拟预测）如图1所示，在矩形ABCD中，，，M为CD中点，将△DAM沿AM折起，使点D到点P处，且平面平面，如图2所示．    (1)求证：； (2)在棱PB上取点N，使平面平面，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）法一：建系。利用空间向量怎么线线垂直；法二：利用余弦定理可得，进而可得，利用线面垂直的判定定理以及性质定理分析证明； （2）设，则点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直可得，进而利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）法一：因为平面平面，， 以C为原点，CM、CB为x、y轴，作Cz∥平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在图1中，作于点O，过点O作于E，于点F， 由题意可知：，则， 可得， 所以，则， 可得，，所以， 可得，， 所以，故． 法二：过，连接OB， 可得，由勾股定理可得， 所以， 在△MBO中，由余弦定理可得， ∴，则， ∵，∴平面OPB， ∵平面OPB，∴；    （2）设，则点， 可得，， 设平面AMN的法向量为， 则， 令，则，，即， 又因为，， 设平面PAB的法向量为， 则， 令，则，，即， 因为平面平面PAB，所以，解得， ∴平面AMN的法向量， 设直线AB与平面AMN所成角为θ， 可得， 故直线AB与平面AMN所成角的正弦值为．               33．（24-25高二上·广东江门·期末）在四棱锥中，底面∥，. (1)证明：∥平面； (2)证明：； (3)求与平面所成的角的正切值. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角，即可得出答案. 【详解】（1）因为∥，平面，平面， 所以∥平面. （2）在四边形中，作于，于， 因为， 可知四边形为等腰梯形，则， 可得，， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，可得平面， 且平面，所以. （3）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 设平面的法向量，则有， 令，则，可得， 则， 设与平面所成角为，则， 可得， 所以与平面所成角的正切值为. 34．（24-25高二上·四川成都·期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解， （3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解. 【详解】（1）连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 （2）设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， （3）设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 35．（24-25高三上·上海松江·期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可. 【详解】（1）因为平面，，为等边三角形， 设，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 为的中点，， ，， ，平面， 平面. （2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量， 因为，设和平面所成的角为， 则， 直线和平面所成角的正弦值为. 36．（2024高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 题型7：两平面的夹角（二面角） 37．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得面角的大小. 【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点 则为中位线，得出， 因为，所以， 又平面，平面，所以， 所以，，两两垂直， 以，，为轴建立空间坐标系，设， 则，，，，， ，，， 由 ，知， 依题意得，平面， 从而平面.    （2）由，得 设平面的一个法向量为， 因为，，所以， 设，则 ， 再设平面的一个法向量为， 因为 ，，所以， 设，则为， ， 又二面角为锐二面角，所以大小为． 38．（2024高二下·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦求出点的坐标，再利用空间向量求夹角的余弦作答. 【详解】（1）因为，，则，又平面，平面，则， 而，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 设，，其中， 显然平面的一个法向量为， 依题意，，解得， 于是为的中点，即，设平面的法向量为，，， 则，取，得， 而平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 39．（2024高二下·广东韶关·期末）如图①所示，在中，，，，D，E分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图②．    (1)若点N在线段上，且，求证：平面； (2)若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定证明即可； （2）解法一：建立如图所示直角坐标系，利用向量法证明即可；解法二：由几何法得出为平面与平面夹角，再结合直角三角形的边角关系求解即可. 【详解】（1）证明：在中，过N作交于点F． 因为，所以， 在三角形中，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以．又平面，平面， 所以平面    （2）解法一： 因为，，所以，所以，． 因为，，平面，所以平面， 所以平面．又由，可建立如图所示直角坐标系，则 ，，，，，，    则：，， 设平面的法向量为，则 ，即， 令得， 可取平面的法向量， 设平面与平面所成角为，则 ， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为 解法二：如图所示，因为，，所以，所以，， 因为，，平面，所以平面， 所以，又，，，平面 所以平面 在中，过M作，交于点G，在平面中，过G作交直线于点H，由平面可得平面， 所以即为平面与平面夹角．      在中，由M为中点可得：，G为中点，在中，，所以，． 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 40．（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. (1)证明：. (2)若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由，，，可推得，再结合平面平面，得平面，进而可证得； （2）取为的中点，在平面中，作，交于点，可证得平面，进而建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角为，建立方程可求得，进而得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. （2）如图，取为的中点，连接， 在平面中，作，交于点， 因为，所以， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 又所以平面，所以 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，即， 可得，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，得， 易得平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 又因为，所以. 41．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直可得，结合，可得平面，进而可得答案； （2）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，； （2）由（1）知平面，平面，， 以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面的法向量为， 则， ， 设平面与平面夹角为， 则 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先做， 得出，再得出，进而应用空间向量的线性表示及数量积公式计算，最后应用异面直线所成角的向量法求解. 【详解】 设，过点做，是中点， 因为，分别为，的中点，所以，所以, 因为所以， 所以，因为正三棱台中，三个侧面是全等的等腰梯形， 所以， 所以，， 又因为，， 所以， 设异面直线，所成角为 所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，设，通过平面EFG，得到，再结合距离公式及二次函数求最值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，． 设平面EFG的法向量为， 则，即 令，可得．设 ，则． 因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则， 所以，即． ， 当时，AP取得最小值，最小值为． 故选：D 4．（2024高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 5．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围. 【详解】    由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】先求得点到直线的距离的表达式，然后根据二次函数的性质求得最小值. 【详解】，所以点到直线的距离为 ， 所以当时，距离有最小值为. 故选：B 7.（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设A关于平面的对称点为，求出、和平面的法向量，进而利用A与到平面的距离相等得①，再由得②从而求出，接着由 结合两点间距离公式即可得解. 【详解】由题意可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设A关于平面的对称点为，则，， 设平面的法向量，则，， 令，则，所以， 所以A与到平面的距离即①， 又，所以②，所以由①②得， 所以由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法解决，设A关于平面的对称点为，利用A与到平面的距离相等和求出，接着由 结合两点间距离公式求出即可得解. 二、多选题 8．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（    ） A． B． C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系判断选项AB；先求出平面的法向量，然后利用点到平面的向量距离公式求解判断C；利用勾股定理建立方程，求出，即可求出三棱锥外接球的表面积判断D. 【详解】如下图所示： 在正四面体中，平面，则为的中心， 且，， 因为平面，平面，所以， 则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A，，， 所以，所以，正确； 对于B，，， 所以，所以不成立，错误； 对于C，，，设平面的法向量为， 则，令得， 又，所以点到平面的距离为，正确； 对于D，因为，所以，设三棱锥外接球的半径为， 则根据球的截面性质得，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为，正确. 故选：ACD 9．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，，，，； 对于A，，，， ，，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面，A正确； 对于B，，，， 即直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 平面，平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为，C正确； 对于D，，设，则， ，又， ， 到直线的距离， 当时，， 即点到直线距离的最小值为，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二上·吉林白城·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 11．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解A，根据点到直线的距离公式即可求解B，根据模长公式即可求解C，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解D. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 12．（24-25高二上·山东·期中）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 三、填空题 13．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的求法求出一个法向量，即可得出直线的一个方向向量. 【详解】易知， 可设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 所以； 因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线， 所以直线的一个方向向量的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一） 14．（2024高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，且，，将沿DE折起到的位置，使平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为 .    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设点，，设，，将点的坐标用表示，可得出点在直线上的射影为的坐标，求出，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】翻折前，在图①中，，，则， 翻折后，在图②中，因为平面，， 且平面，则，则， 以点为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 设点，则，， 因为点是线段的靠近点的三等分点，则， 所以，解得，即点， 设，则，则， 设，，即， 所以，，，， 即， 设点在直线上的射影为，则， 点到直线的距离的平方， 因为，故当时，点到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 16．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】选取作为空间一组基底，用基底表示，求出模，运用公式可以求解. 【详解】如图所示，根据题意，选取作为空间一组基底. 则，同理，. ， ， ; ; ； 则， 点到直线的距离. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面. （2）利用等体积法来求得到平面的距离. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，. 因为是的中点，所以且. 又因为是的中点，直三棱柱中且， 所以且. 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. （2）由已知，可得. 根据勾股定理可得. ，， . 根据余弦定理可得， 所以，则. . 设到平面的距离为. 因为，根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）可得： ，即，解得. （3）依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，可得，，所以. 设平面与平面夹角为，根据向量夹角公式可得： . 18．（24-25高三上·吉林·期末）如图，在五棱锥中，和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，､分别为､中点. (1)证明：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点在线段上靠近点的三等分点的位置上 【分析】（1）由菱形的对角线相互垂直的性质结合线面垂直的判定定理证明即可； （2）由体积最大时平面平面，再由面面垂直的性质得到平面，然后由几何关系可得； （3）设，利用空间向量方法得到平面和平面所成角的余弦值，然后列方程求解即可； 【详解】（1）因为和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，则可得此五棱锥为菱形沿折叠而成， 所以， 又为等边三角形，为中点，所以， 平面，所以平面， 又，所以平面. （2）因为四棱锥的底面积为定值，所以当高最大时，体积最大， 所以当平面平面时高最大，此时体积最大， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以为直线和平面所成角， 因为， 所以，，，， 所以. （3） 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， 设平面的法向量为， 则，令，则，（易知不合题意） 所以， 因为平面平面，，平面平面， 所以平面，则可以作为平面的一个法向量， 所以，解得， 所以在（2）的条件下，在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上. 19．（24-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的垂直及可求解， （2）求解平面法向量，即可根据夹角公式求解. 【详解】（1）由于,故建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 故， 故，因此    （2）由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 20．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算和勾股定理的逆定理的应用可得，由线面垂直的性质可得，结合线面、面面垂直判定定理即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角即可. 【详解】（1）因为点是线段上靠近点的三等分点，，所以； 在中，，， 由余弦定理可得， 满足，即； 因为平面，平面，所以； 又平面， 所以平面， 因为平面， 因此平面平面； （2）过点作，由平面，可得平面； 又平面，所以； 因为，故， 故以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 设平面的一个法向量为， 则，解得，取，则； 所以； 可得； 所以平面与平面所成角的正弦值为. 即可得平面与平面所成角的正弦值为. 21．（24-25高三上·湖南郴州·期末）如图，在几何体中，平面，，且，四边形为菱形，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直即可得线线垂直; （2）利用空间向量法来求二面角夹角余弦值即可. 【详解】（1） 由平面，平面，得：， 再由四边形为菱形，得：， 因为，所以平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以； （2） 以菱形中心为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 由，，可知， 再由，可知， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，即， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，即， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 22．（24-25高三上·广东汕头·期末）如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据折叠的性质得到一些垂直关系，再利用平行关系和已有的垂直关系推出更多垂直关系，最后根据线面垂直的判定定理得出结论. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出面的法向量，结合向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为由翻折而成，且， 根据翻折的性质，翻折前后对应边和对应角不变，所以.   已知，所以 因为，，所以， 又因为，即，，平面，所以平面 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又，.可求得. 又.则.则. 则两两垂直，可以建立空间直角坐标系. 平面的法向量可取. 点为中点，则，， 则.则， 则 点为中点，则，则. 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 设平面与平面的夹角为，则 . 故平面与平面的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题02 空间向量的应用7题型分类 1．平面的法向量 (1)直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量． (2)给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． (3) ． 2．平行关系的向量表示 (1)线线平行：设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． (2)线面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (3)面面平行：设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 3．垂直关系的向量表示 (1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． (2)线面垂直：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． (3)面面垂直：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 4．距离的向量表示 (1)两点距：设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|． (2)点线距：设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设，则点P到直线l的距离． (3)点面距：已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为． 5．夹角的向量表示 (1)两异面直线l1与l2所成的角：设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝． (2)直线l与平面α所成的角：设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos<u，n>|＝． (3)平面α与平面β的夹角：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝． （一） 1．线面平行问题 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内． (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内． (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． (4)集合相等． 2．面面平行问题 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 题型1：平行问题 1．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 3．（2024高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 4．（2024高二上·江西吉安·期末）在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 5．（2024高二上·江西·阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 6．（2024高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． （二） 1．线面垂直问题 (1)常规法：线线垂直． (2)法向量法：用平面的法向量． 2．面面垂直问题 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 题型2：垂直问题 7．（2024高二上·山东菏泽·期末）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 8．（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 9．（2024高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 10．（2024高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11．（2024高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 12．（2024高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． （三） 1．点到直线的距离 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2．点到平面的距离 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 题型3：点到直线的距离 13．（2024高二上·辽宁锦州·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到l的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A． B． C． D． 15．（2024高二上·福建福州·期中）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 17．（2024高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 18．（2024高三上·天津·期末）如图，已知平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到直线的距离. 题型4：点到平面的距离 19．（2024高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 20．（2024高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 21．（2024高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 22．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 23．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 24．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. （四） 1．异面直线的夹角 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝． 2．直线与平面的夹角 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u． (3)求平面的法向量n． (4)设线面角为θ，则sin θ＝． 3.两平面的夹角 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉． 题型5：异面直线所成的角 25．（2024高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 26．（2024高二上·广东深圳·期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·吉林通化·模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 28．（2024高二上·河南漯河·期末）如图，在正四棱柱，中，已知. (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 29．（2024高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 题型6：线面角 30．（2024高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 31．（2024高二上·新疆·期末）如图，点在内，是三棱锥的高，是边长为6的正三角形，．      (1)求的长度； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 32．（2024·浙江·模拟预测）如图1所示，在矩形ABCD中，，，M为CD中点，将△DAM沿AM折起，使点D到点P处，且平面平面，如图2所示．    (1)求证：； (2)在棱PB上取点N，使平面平面，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值. 33．（24-25高二上·广东江门·期末）在四棱锥中，底面∥，. (1)证明：∥平面； (2)证明：； (3)求与平面所成的角的正切值. 34．（24-25高二上·四川成都·期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 35．（24-25高三上·上海松江·期末）如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值. 36．（2024高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 题型7：两平面的夹角（二面角） 37．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 38．（2024高二下·福建福州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 39．（2024高二下·广东韶关·期末）如图①所示，在中，，，，D，E分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图②．    (1)若点N在线段上，且，求证：平面； (2)若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 40．（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面. (1)证明：. (2)若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求. 41．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 7.（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（    ） A． B． C．点到平面的距离为 D．三棱锥的外接球的表面积为 9．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点到直线的距离的最小值为 10．（24-25高二上·吉林白城·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 11．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 12．（24-25高二上·山东·期中）如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 三、填空题 13．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 14．（2024高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，且，，将沿DE折起到的位置，使平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为 .    15．（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 16．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为 ． 四、解答题 17．（24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（24-25高三上·吉林·期末）如图，在五棱锥中，和分别为边长是4和2的等边三角形，四边形是上底和腰相等的等腰梯形，､分别为､中点. (1)证明：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高二上·北京·期末）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 20．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值． 21．（24-25高三上·湖南郴州·期末）如图，在几何体中，平面，，且，四边形为菱形，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 22．（24-25高三上·广东汕头·期末）如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$