重难点01 规律探究与新定义型问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第一章 数与式 重难点01 规律探究与新定义型问题 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 记数类规律 【例1】观察下列有序数对:，……，根据你发现的规律，第个有序数对是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第n个数记为；第个数记为，第个数记为，且满足，则 ． 【变式1-2】（观察下列各式：，根据上面的等式所反映的规律 ． 【变式1-3】将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则 ． 【变式1-4】观察下面等式： 第1个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：； …… (1)写出第个等式； (2)求的值（用含的代数式表示）． 【变式1-5】【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 题型02 乘方类规律 【例2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第2021个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】一组按规律排列的式子：，则第2025个式子是 ． 【变式2-2】．探索规律∶观察以下单项式∶，，，…第个单项式为 （用含n的式子表示）． 【变式2-3】观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【变式2-4】观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【变式2-5】观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 题型03 表格类规律 解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日历的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母a，则左边为a-1，右边为a+1，上边为a-7，下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论. 【例3】小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 …… 1 2 3 4 5 6 …… 输出 …… 3 15 35 …… 那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则的值为（     ）． A． B．17 C．181 D． 【变式3-1】如下，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和是，则的值是 ． 【变式3-2】根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】观察： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 数 20 21 22 23 24 25 26 … 个位上数字 1 2 4 8 6 m n … 思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？ 探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？ 延伸：（3）的个位数字是多少？ 拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数） 题型04 数阵类规律 解题技巧：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方法的综合运用． 【例4】观察下面三行数，设分别为第①②③行的第8个数，则的值为（    ） ，4，，16，，64，…  ① ，2，，8，，32，…   ② 3，，9，，33，，…  ③ A．3 B．256 C．8 D． 【变式4-1】将正整数按如下方式排列： 1 2   3   4 5   6   7   8   9 10  11  12  13  14  15  16 …… 则第45行倒数第二个数是 ． 【变式4-2】小明在做数学题时，发现一个有趣的结果（如图），由此，我们可知道第100行的最后一个数是（   ） A．10000 B．10020 C．10120 D．10200 【变式4-3】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，如图，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律： 则展开式中的系数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第10个数字是 ． 题型05 个位数字规律 【例5】计算：，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 【变式5-1】观察下列等式：，，， ，，，…，根据其中的规律，可得的结果的个位数是 ． 【变式5-2】在七（1）班“2025庆元旦·迎新年”联欢会上，数学老师带同学一起玩找“个位数字”游戏：老师给出一个自然数，学生按如下要求计算：第一步：记得的运算结果为，找到的个位数字；第二步：记得的运算结果为，找到的个位数字；第三步：记得的运算结果为，找到的个位数字；……；以此类推，则的值是  （   ） A．2 B． C．0 D．6 【变式5-3】跨学科试题·生物  生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，请你推算的个位数字是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式5-4】有一行数2，0，2，3，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数2，2，0，，2，，3，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过2024次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 【变式5-5】观察，，，，，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜想的个位数字是 ． 题型06 新定义运算规律 【例6】新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 【变式6-1】【阅读】 ，将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果： ； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 【变式6-2】阅读材料：对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之差恰好等于个位上的数字，我们称这个数为“差数”，并记．例如：正整数321，因为，所以321是“差数”，．若“差数”与其各个数位上的数字之和的差能被81整除，且为奇数，求满足条件的所有“差数”中的最大值是 ． 【变式6-3】给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为．如，．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”，如，， 因为，， 所以，即124与630满足“模二相加不变”， ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个． 类型二 图形规律 方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 题型01 图形固定累加型 解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1). 【例1】观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【变式1-1】把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（    ） A．15 B．13 C．11 D．9 【变式1-2】如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      【变式1-3】在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化 表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图： (1)借助图形，我们可以总结出 ． (2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． 题型02 图形递变累加型 解题技巧：对于个数不固定, 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可. 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而总结规律推导出关系式. 【例2】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第20个图形中小圆的个数是 ． ． 【变式2-1】如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【变式2-2】如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 . 【变式2-3】如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ． 题型03 图形个数分区域累加型 解题技巧：首先应观察图形区分图形累加的各部分,分别求出各部分累加规律,再将各部分关系式相加,得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【例3】将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，则第16个“龟图”中有 个“○”． 【变式3-1】如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第1个图形有5个“△”，第2个图形有10个“△”，第3个图形有15个“△”，…，则第8个图形中“△”的个数为（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 【变式3-2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________； (2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量； (3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示） 【变式3-3】某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　） A．22 B．25 C．28 D．32 【变式3-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有个★，第②个图形中共有个★，第③个图形中共有个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 题型04 图形循环规律 解题技巧： ①先找出一个周期的图形个数n: ②N(第N个)÷n=b……m(0≤m<n); ③第N个图形是一个周期中第m次变化后的图形. 【例4】【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 【变式4-1】如图，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中“”有 个． 【变式4-1】下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2020个图案中箭头的指向是（　　） A．上方 B．左方 C．下方 D．右方 【变式4-2】如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 重难点01 规律探究与新定义型问题 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果. 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律. 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 .3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验. 题型01 记数类规律 【例1】观察下列有序数对:，……，根据你发现的规律，第个有序数对是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知数对，归纳横、纵坐标的规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：∵…… ∴第n个有序数对的横坐标为：（-1）n+1（2n+1），纵坐标为 ∴第个有序数对的横坐标为：（-1）100+1（2×100+1）=-201，纵坐标为． 故答案为B． 【点睛】本题考查了有序数对和数字规律，根据已知数对归纳横、纵坐标的规律是解答本题的关键． 【变式1-1】观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第n个数记为；第个数记为，第个数记为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据所给数列，依次计算出，，，，发现规律即可解决问题．本题考查数字变化的规律，能通过计算发现的规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 则； 依次类推，可求得，，， 观察发现，，， ∴这列数的倒数的分子都是2，且分母依次为1，4，7，10，13，， 又∵； ； ； ； ， 所以，即， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（观察下列各式：，根据上面的等式所反映的规律 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字类规律探究，根据给定的等式，得到，利用规律，将各式展开，约分化简即可得出结果． 【详解】解：观察可知：， ∴ ； 故答案为：． 【变式1-3】将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类的规律探究，找出数字规律是解题的关键． 根据题意，可得，再根据找到的数字规律得到，最后将代入即可求得，进而可求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∵，，…， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】观察下面等式： 第1个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：； …… (1)写出第个等式； (2)求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了数字变化规律， （1）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律,再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： …… 第个等式： 则第个等式： （2）解： 【变式1-5】【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 题型02 乘方类规律 【例2】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第2021个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，从而可以写出第n个单项式，然后即可写出第2021个单项式． 【详解】解：∵一列单项式为：，，，，，，…， ∴第个单项式为， 当时，这个单项式是， 故选：A． 【变式2-1】一组按规律排列的式子：，则第2025个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的知识，关键是观察分子、分母的变化规律． 根据题意，发现分子分母的规律分别为 和 ，得到第个式子的表达式，将2025代入即可解出答案． 【详解】，，，，… ，分子可表示为：， 3，5，7，9… ，分母可表示为：， ∴第个式子为 ， ∴第2025个式子是． 故答案为： ． 【变式2-2】．探索规律∶观察以下单项式∶，，，…第个单项式为 （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，观察单项式可得，第个单项式为． 【详解】观察单项式可得，第个单项式为． 故答案为： 【变式2-3】观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同 (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式、数字规律等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的单项式找出其系数及其绝对值的规律即可； （2）根据题中给出的单项式找出其系数的次数的规律即可； （3）根据题中给出的单项式归纳规律即可； （4）根据（3）中的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是； …； ∴第n个单项式是． ∴系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同． 故答案为：奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同． （2）解：根据（1）可知：单项式的次数的规律是与自然数序号相同． 故答案为：与自然数序号相同． （3）解：根据（1）可以猜想出第个单项式是． 故答案为：． （4）解：根据（3）中的规律可得：第2025个单项式是． 故答案为：． 【变式2-4】观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 【变式2-5】观察下列式子： ，，，，， (1)请你依照上述规律，写出第个式子：___________； (2)请写出第个式子：___________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题目中的等式，可以写出第个式子即可； （）根据题目中的等式的特点，可以写出第个式子； （）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，正确得出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：依照上述规律，第个式子为， 故答案为：； （2）解：∵第式子为， 第式子为， 第式子为， 第式子为， ， ∴第个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 题型03 表格类规律 解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日历的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母a，则左边为a-1，右边为a+1，上边为a-7，下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论. 【例3】小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 …… 1 2 3 4 5 6 …… 输出 …… 3 15 35 …… 那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则的值为（     ）． A． B．17 C．181 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字规律探究、代数式求值，根据题干中的数据求得a，b的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题干中的数据可得当输入的数据为奇数时，输出结果为该数的平方的相反数减去1；输入的数据为偶数时，输出结果为该数的平方减去1； 则输入数据9时，输出结果为； 输入数据10时，输出结果为； 则， 故选：B． 【变式3-1】如下，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数字类规律；准确找出数字的规律，根据任意三个相邻数的和相等，即整个数列都是由3个数按照相同的顺序排列的，得出这组数，根据已知数的位置就能写出它们的排列． 【详解】解：根据题意得，，，， ，，， 这组数为，，，，，，， 三个相邻格子中的数之和为，余3，； ． 故答案为：． 【变式3-2】根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律，有理数的运算，观察图中，可得规律，即可求出的值，读懂题意，找出图中规律是解题的关键． 【详解】解：由上图得到规律：“田”字格中左上角第一个数规律为：； “田”字格中左下角第一个数规律为：； “田”字格中右上角第一个数规律为：右下角的数减去； “田”字格中右下角的规律为：左上角的数加上左下角的数， ∴当“田”字格中左上角的数为时，， ∴， ∴，， 故选：． 【变式3-3】（2023·河北保定·统考一模）观察： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 数 20 21 22 23 24 25 26 … 个位上数字 1 2 4 8 6 m n … 思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？ 探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？ 延伸：（3）的个位数字是多少？ 拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数） 【答案】（1）；（2）第⑩个数是，个位上的数字是2；（3）的个位数字是4；（4）第k个6的序号为： 【分析】（1）不难看出个位上的数字是以2，4，8，6重复出现，则可求解； （2）根据表格中的规律，可表示出第10个数，即可求解； （3）结合（1）进行求解即可； （4）结合表格进行求解即可． 【详解】解：（1），， ，； （2）表格中的数是以2为底数，指数是从0开始的自然数， 个位上的数字是以1，2，4，8，6，2，4，8，6，排列， 第⑩个数是，， 个位上的数字是2； （3）， 的个位数字是4； （4）个位上的数字是6的数的序号是：5，9，13，， 第个6的序号为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解答的关键是由表格分析出存在的规律． 题型04 数阵类规律 解题技巧：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系， 得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对 数学方法的综合运用． 【例4】观察下面三行数，设分别为第①②③行的第8个数，则的值为（    ） ，4，，16，，64，…  ① ，2，，8，，32，…   ② 3，，9，，33，，…  ③ A．3 B．256 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是数字的变化规律，总结归纳出变化规律是解题的关键．总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出的值即可计算． 【详解】解：由题意得：①中的第个数为：， ②中的第个数为：， ③中的第个数为：， ①、②、③行的第8个数分别记为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-1】将正整数按如下方式排列： 1 2   3   4 5   6   7   8   9 10  11  12  13  14  15  16 …… 则第45行倒数第二个数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查可规律探究，可根据数据得第行数字的个数为，前行数字的个数和为，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 第行数字的个数为：， 前行数字的个数和为： ， 当时， 前行数字的个数和为：， 第45行倒数第二个数是：； 故答案：． 【变式4-2】小明在做数学题时，发现一个有趣的结果（如图），由此，我们可知道第100行的最后一个数是（   ） A．10000 B．10020 C．10120 D．10200 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数列得出每层最后一个数为是解题的关键． 【详解】列表找规律 行数 1 2 3 4 … 100 该行最后的数 3 即 8 即 15 即 24 即 … … 即 由上表可知，第行的最后一个数是， 故选：D． 【变式4-3】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，如图，“杨辉三角”两腰上的数都是，其余每个数为它上方左右两个数的和，它给出（为非负整数），当时的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的各项系数的规律： 则展开式中的系数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律，根据图形可得展开式中的系数为，即得，据此即可求解，由数列找到规律是解题的关键． 【详解】解：由图可得，展开式中的系数为， 又∵展开式中的系数为， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-4】把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第10个数字是 ． 【答案】378 【分析】本题考查了数字规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第n个数字，然后得到结论． 【详解】解：第2个数字是， 第3个数字是， 第4个数字是， 第5个数字是 第6个数字是 …， 总结规律得：虚线上第n个数字是， ∴虚线上第10个数字是： 故答案为：378． 题型05 个位数字规律 【例5】计算：，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据计算得到的个位数字以四个为一组进行循环，求出的个位数字再加上2，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的个位数字以四个为一组进行循环， ∵， ∴的个位数字为3， ∴的个位数字是； 故选：C． 【变式5-1】观察下列等式：，，， ，，，…，根据其中的规律，可得的结果的个位数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字规律探索与数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 【详解】解：先分析7的幂次的个位数字规律：，，， ，，，… 可以发现个位数字是以1、7、9、3这4个数为一个周期循环出现的， ，其中2是余数，这意味着的个位数字与的个位数字相同，即为9， 同理，的个位数字与的个位数字相同，即为7， 的个位数字与的个位数字相同，即为1，以此类推， 将原式每4项分为一组： ， 每一组的计算结果的个位数为：， 前面一共有249组，它们的和的个位数字是0， 最后还剩下， 的个位数字是1，的个位数字是7，的个位数字是9， 则 所以结果的个位数字是3， 故答案为：3 【变式5-2】在七（1）班“2025庆元旦·迎新年”联欢会上，数学老师带同学一起玩找“个位数字”游戏：老师给出一个自然数，学生按如下要求计算：第一步：记得的运算结果为，找到的个位数字；第二步：记得的运算结果为，找到的个位数字；第三步：记得的运算结果为，找到的个位数字；……；以此类推，则的值是  （   ） A．2 B． C．0 D．6 【答案】D 【分析】根据题干条件，分别求出，，然后依次循环，从而求出即可．此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 【详解】解：∵， 第一步的个位数字为6， 则， 的个位数字为2； 第二步的个位数字为4， 则， 的个位数字为0； 第三步的个位数字为0， 因为个位上的不够减去4， 则向的十位取一， ∴， 的个位数字为6； 第四步的个位数字为6， 的个位数字为2； …… 依次类推： ∴三个数为一循环，即按为一循环， 则， 的值是6， 故选：D． 【变式5-3】跨学科试题·生物  生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，请你推算的个位数字是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则与的尾数相同，即可求解． 【详解】由题意知，的个位数字按2，4，8，6的顺序循环出现，因为，所以的个位数字为2． 故选：D 【变式5-4】有一行数2，0，2，3，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数2，2，0，，2，，3，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过2024次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给计算方式发现每操作一次，所得数的和比上一行所有数的和少是解题的关键． 令原来的四个数分别为，，，，通过计算发现规律即可解决问题． 【详解】原来这行数的和为：； 令原来四个数分别为， 则第一次操作所得数的和为：， 即第一次操作所得数的和为原来这数行的和加上首数与尾数的差， 所以第一次操作所得数的和为：； 令第一次操作所得数为： ，则第二次操作所得数的和为：， 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：； ……， 所以第次操作所得数的和为：， 当时，； 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 当时， 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 故答案为： ， ． 【变式5-5】观察，，，，，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜想的个位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的乘方，数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，计算结果中的个位数字依次为1，3，7，5，每4次计算为一个循环，由，作答即可． 【详解】解：因为，，，，，…， 所以计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现． 因为， 所以的个位数字是5． 故答案为：5． 题型06 新定义运算规律 【例6】新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意发现当x为整数时，；当x为分数时，，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式6-1】【阅读】 ，将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果： ； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了数字类规律探究和有理数的混合运算； （1）观察已知等式，得出规律，即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解； （3）类比（1）的规律，即可求解． 【详解】解：（1）…… ∴； 故答案为：． （2） ． （3）∵， ， …… ， 原式 ∴ 【变式6-2】阅读材料：对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之差恰好等于个位上的数字，我们称这个数为“差数”，并记．例如：正整数321，因为，所以321是“差数”，．若“差数”与其各个数位上的数字之和的差能被81整除，且为奇数，求满足条件的所有“差数”中的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，为正奇数，能被81整除，即能被9整除，根据，为小于9的非负整数，且，得到只能等于9或18，分情况计算，即可求解， 本题考查了本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，有理数的整除特性．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键． 【详解】解：设，且为奇数，其中， 则为正奇数， 根据题意得能被81整除， 则能被9整除，即：能被9整除， 因为，为小于9的非负整数，且， ∴只能等于9或18， ①当时，可取1，2，3，4， 当时，，，不符合题意， 当时，，，， 当时，，，不符合题意， 当时，，，， ②当时，可取5，6，7，8，9， 当时，，，， 当时，，，不符合题意， 当时，，，， 当时，，，不符合题意， 当时，，，， 综上所述，当时，取最大值， 故答案为：． 【变式6-3】给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为．如，．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： (1)的值为______，的值为______； (2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”，如，， 因为，， 所以，即124与630满足“模二相加不变”， ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个． 【答案】(1)1011，1101 (2)①12，97，见解析，②38 【分析】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键． （1）根据“模二数”的定义计算即可； （2）①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算12，65，97和，，的值，即可得出答案； ②根据模二结果数分别为10，11，01，00分别讨论可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：①12，97与23“模二相加不变”，理由如下： ，， ，， ， 与满足“模二相加不变”； ，， ，， ， 与不满足“模二相加不变”； ，， ，， ， 与满足“模二相加不变”； 综上，12，97与23“模二相加不变”； ②设这个两位为，则其“模二数”表示为，， ①结果是10有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，96，18，38，58，78，98，10，30，50，70，90共25个， 它们与的和是11， 若与23“模二相加不变”，则，则个位，十位均为奇数， ∴12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，10，30，50，70满足题意，共16个； ②结果是11的有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，95，17，37，57，77，97，19，39，59，79，99，共25个， 它们与的和是100，类比①，可判断：77，97，79，99满足题意，共4个； ③结果是01的有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，69，81，83，85，87，89共20个， 它们与的和是10，类比①，可判断：27，29，47，49，67，69满足题意，共6个； ④结果是00的有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80，82，84，86，88，共20个， 它们与模的和是01，类比①，可判断：20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66满足题意，共12个； ∴共有（个）． 故答案为：38． 类型二 图形规律 方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 题型01 图形固定累加型 解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1). 【例1】观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 【变式1-1】把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（    ） A．15 B．13 C．11 D．9 【答案】C 【提示】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可． 【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：； 第②个图案中菱形的个数：； 第③个图案中菱形的个数：； … 第n个图案中菱形的个数：， ∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 【变式1-2】如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，熟练掌握图形变化规律，是解题的关键， 观察图形，后一个图形比前一个图形多4个白色正六边形，第几个图形有几个黑色正六边形，即可得出结果． 【详解】解：观察图形， 第1个图形中有6块白色正六边形，， 第2个图形中有10块白色正六边形，， 第3个图形中有14块白色正六边形，， ……， ∴第n个图形中白色正六边形的块数为；． 第1个图形中有1块黑色正六边形， 第2个图形中有2块黑色正六边形， 第3个图形中有3块黑色正六边形， ……， ∴第n个图形中有n块黑色正六边形． ∴． ∴第n（n为正整数）个图案形中白色正六边形比黑色正六边形多个． 故答案为：． 【变式1-3】在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化 表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图： (1)借助图形，我们可以总结出 ． (2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】此题考查了数字类和图形类规律问题，解题的关键是正确根据图形找到规律． （1）根据图形找到规律，进而求解即可； （2）根据题意画出第四个图，然后根据图形找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）根据图形可得，，，， ∴； （2）如图所示， 由图形可得，，，， ∴． 题型02 图形递变累加型 解题技巧：对于个数不固定, 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可. 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而总结规律推导出关系式. 【例2】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第20个图形中小圆的个数是 ． ． 【答案】424 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，发现小圆个数的变化规律，从而可以求得第20个图形圆的个数． 【详解】解：第1个图形小圆个数：， 第2个图形小圆个数：， 第3个图形小圆个数：， 第4个图形小圆个数：， …， 第n个图形小圆个数：， 当时，小圆个数：． 故答案为：424． 【变式2-1】如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为 ． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 【变式2-2】如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 . 【答案】 【提示】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论． 【详解】第1个图形是一个小正方形； 第2个图形由个小正方形拼成； 第3个图形由个小正方形拼成， …… 拼成第个图形需要个正方形， 拼成第个图形需要个正方形， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键． 【变式2-3】如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ． 【答案】11 【提示】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 题型03 图形个数分区域累加型 解题技巧：首先应观察图形区分图形累加的各部分,分别求出各部分累加规律,再将各部分关系式相加,得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【例3】将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，则第16个“龟图”中有 个“○”． 【答案】245 【分析】由前几个“龟图”可发现，每个“龟图”中的“四脚”和“头”不可缺少，即有5个◯是固定的；而“龟背”上的◯的个数恰好是两个相邻正整数的积，根据其与排列图形序号间的关系即可由图形序号表示出来，则每个图形的◯数可知． 【详解】第一个图形有：5个◯， 第二个图形有：2×1+5=7个◯， 第三个图形有：3×2+5=11个◯， 第四个图形有：4×3+5=17个◯， 由此可得第n个图形有：[n(n−1)+5]个◯， 把n=16代入可得：[n(n−1)+5]=245 故填：245． 【点睛】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形． 【变式3-1】如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第1个图形有5个“△”，第2个图形有10个“△”，第3个图形有15个“△”，…，则第8个图形中“△”的个数为（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 【答案】A 【提示】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 图中有个△， 图中有个△， 图中有个△， 图中有个△， …， 则第8个图形中有个△， 故选：A． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，解题的关键是仔细观察图形并找到图形的变化规律，难度不大． 【变式3-2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________； (2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量； (3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3) 【提示】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可； （2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量； （3）根据推导出的一般性规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、 盆花的数量依次为：、、、、 ∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为： ∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为： 故答案为：12；42． （2）解：由题意知， 整理得 解得，（不合题意，舍去） 当时，盆景数量为，盆花数量为 ∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110． （3）解：由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律． 【变式3-3】某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　） A．22 B．25 C．28 D．32 【答案】B 【提示】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图①共用10个●， 图②共用13=（10+3）个●， 图③共用16=（10+3×2）个●， ……， 由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1）， ∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25． 故选B 【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 【变式3-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有个★，第②个图形中共有个★，第③个图形中共有个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【提示】仔细观察图形，找到图形中★个数的通项公式，然后代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图形中共有个★， 第②个图形中共有个★， 第③个图形中共有个★， …， ∴按此规律排列下去，第个图形中共有个★， ∴第⑥个图形中的★个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大． 题型04 图形循环规律 解题技巧： ①先找出一个周期的图形个数n: ②N(第N个)÷n=b……m(0≤m<n); ③第N个图形是一个周期中第m次变化后的图形. 【例4】【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，明确题意，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据有理数乘方的意义，表示出，然后寻找到规律即可解答． （4）根据(1)的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：设① 将等式①的两边同时乘以3得： ② 由②-①得：， ∴，即． （2）解：设①， 将等式①的两边同时乘以，得：②， 由①-②得：， ∴，即； （3）解：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：① 设， 可得：②， ①-②得：， ∴ ∴． 【变式4-1】如图，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中“”有 个． 【答案】 5 【详解】试题解析：本题中，三个图案一组，依次循环．故第10个图案是与第一个相同，是．在前16个图案中有五组，故有5． 【变式4-1】下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2020个图案中箭头的指向是（　　） A．上方 B．左方 C．下方 D．右方 【答案】B 【提示】直接利用已知图案得出旋转规律，进而可得出答案． 【详解】由图可知，每旋转4次为一周 则第2020个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致，即箭头的指向是左方 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的旋转，观察已知图案，发现一般规律是解题关键． 【变式4-2】如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向． 【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置． 【变式4-3】如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为 ． 【答案】91 【提示】通过观察图形可知，1节链条的长度是，2节链条的长度是（2.8×2-1），3节链条的长度是（2.8×3-1×2），n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），据此解答即可求解． 【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）， n节链条的长度是2.8n-1×（n-1）， 所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49 =91 故答案为：91 【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n节链条长度为2.5×n-0.8×（n-1）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$