专题03 排列与组合十种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题03 排列与组合十种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、排列数及组合数的运算……………………………………………………3 类型二、捆绑法与插空法……………………………………………………………5 类型三、定序问题除法处理 7 类型四、最短路线问题（台阶问题） 8 类型五、直接法与间接法 10 类型六、涂色问题 12 类型七、隔板法 14 类型八、平均分组及部分平均分组问题 16 类型九、环排问题与空车位停车 18 类型十、有限制行的排列组合问题 20 压轴能力测评（10题） 22 1、两种计数原理： （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 2、排列与排列数： （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 3、组合与组合数： （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数的主要性质：①；②． 4、捆绑法与插空法： 相邻问题 （1）思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. （2）解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 不相邻问题 （1）思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 （2）解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 5、定序问题除法处理： 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、 直接法与间接法： 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 间接法：正难则反、等价转化的方法 7、 涂色问题： （1）用了几种颜色 （2）尽量先从公共相邻区域开始。 （3）空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 8、隔板法 相同元素分组可以采用“隔板法”求解，如球相同，盒子不同，方法技巧：盒子不可空用挡板法 9、平均分组及部分平均分组问题 分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为 10、 环排问题与空车位停车 环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。 空车位停车这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。 类型一、排列数及组合数的运算 例．（1）已知，则________. （2）若，则（ ）. A．5 B．20 C．60 D．120 （3）（多选）若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）. A. B. C. D. 【变式训练1】（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【变式训练2】若，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【变式训练3】（多选）若，为正整数且，则（ ）. A． B． C． D． 类型二、捆绑法与插空法 例．（1） 某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）.种. A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 （2）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【变式训练1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种． 【变式训练2】为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A. 40 B. 24 C. 20 D. 12 【变式训练3】（多选）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）. A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 类型三、定序问题除法处理 例．有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）. A．168 B．260 C．840 D．560 【变式训练1】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有 种不同的插入方法．（用数字作答） 【变式训练2】某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 类型四、最短路线问题（台阶问题） 例.(1)在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）. A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 (2)方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）. A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练1】小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，小明到科技博物馆选择的最短路径条数为________条，小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为________条    类型五、直接法与间接法 例．（1）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种 A. 96 B. 128 C. 240 D. 672 （2）为了庆祝新年的到来,某校“皮影戏”社团的6名男同学,2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛,该代表队中有队长,副队长各一名,剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学,一共有______种可能. 【变式训练1】（多选）在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况 B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况 C. 若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况 D. 若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况 【变式训练2】现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ） A．84 B．172 C．160 D．230 【变式训练3】从集合的子集中选出个不同的子集,且，则选法有_________种. 类型六、涂色问题 例．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． （2）已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ） A．240 B．420 C．336 D．120 【变式训练1】用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（ ）种不同的涂法？ A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【变式训练2】如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），问有（ ）种不同的涂法？ A. 24 B. 48 C. 16 D. 84 类型七、隔板法 例．将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答） 【变式训练1】若方程，其中，则方程的正整数解的个数为（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式训练2】在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ） A． B． C． D． 类型八、平均分组及部分平均分组问题 例．（1）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 （2）某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） ①有________种不同的安排方法； ②由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法． 【变式训练1】“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A. 72 B. 36 C. 48 D. 18 【变式训练2】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种 类型九、环排问题与空车位停车 例．（1）某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（       ） A．240 B．360 C．480 D．720 （2）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答） 【变式训练2】现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为（ ）（用数字作答）． A． B． C． D．90 【变式训练3】现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种. 类型十、有限制行的排列组合问题 例．(1)球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 (2)某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【变式训练1】已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 60种 C. 66种 D. 72种 【变式训练2】现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 【变式训练3】A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 1．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 14种 C. 12种 D. 10种 2．参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（ ）种. A. 120 B. 96 C. 240 D. 144 3．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 5．（多选）下列命题正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 6．（多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为72种 7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 8．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 种. 9．现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内. （1）共有多少种不同的放法? （2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种? （3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种? 10.从5个男生，4个女生中选出4人参加植树节活动 （1）共有多少种不同的选取方法？ （2）若至少要选出1个男生，且男生甲和女生乙不能同去，则共有多少种不同的选取方法？ （3）若恰选出2名女生，且4人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有多少种不同的列？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 排列与组合十种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、排列数及组合数的运算……………………………………………………3 类型二、捆绑法与插空法……………………………………………………………5 类型三、定序问题除法处理 7 类型四、最短路线问题（台阶问题） 8 类型五、直接法与间接法 10 类型六、涂色问题 12 类型七、隔板法 14 类型八、平均分组及部分平均分组问题 16 类型九、环排问题与空车位停车 18 类型十、有限制行的排列组合问题 20 压轴能力测评（10题） 22 1、两种计数原理： （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 2、排列与排列数： （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 3、组合与组合数： （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数的主要性质：①；②． 4、捆绑法与插空法： 相邻问题 （1）思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. （2）解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 不相邻问题 （1）思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 （2）解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 5、定序问题除法处理： 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、 直接法与间接法： 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 间接法：正难则反、等价转化的方法 7、 涂色问题： （1）用了几种颜色 （2）尽量先从公共相邻区域开始。 （3）空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 8、隔板法 相同元素分组可以采用“隔板法”求解，如球相同，盒子不同，方法技巧：盒子不可空用挡板法 9、平均分组及部分平均分组问题 分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为 10、 环排问题与空车位停车 环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。 空车位停车这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。 类型一、排列数及组合数的运算 例．（1）已知，则________. 【答案】 【解析】由得：且，解得：. 故答案为：. （2）若，则（ ）. A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【解析】因为，由组合数的性质可得，解得， 故. 故选：D （3）（多选）若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】根据组合数的性质可知AC正确； ，故B错； ，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【变式训练2】若，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】由组合数的性质知，， 因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式训练3】（多选）若，为正整数且，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A：，又，故A错误； 对B： ， 故B正确； 对C： ， ，即，故C错误； 对D：， ，即，故D正确. 故选：BD. 类型二、捆绑法与插空法 例．（1） 某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）.种. A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 【答案】B 【解析】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有， 此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有， 所以满足题意的排法有种. 故选：B （2）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】ACD 【解析】选项A，按分步乘法原理计数，甲、乙、丙站前排方法数为，丁、戊站后排方法数为，所以总的方法数为，A正确； 选项B，甲、乙捆绑作为一个人（内部不需要排列）与其他3人进行排列，方法数为，B错； 选项C，5人全排列后，减去甲在两端的排法，方法数为，C正确； 选项D，甲在右端，方法数为，甲在中间方法数为，总方法数为，D正确． 故选：ACD． 【变式训练1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种． 【答案】24 【解析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法； 将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，有种排法， 则符合条件的排法有1×24=24种； 故答案为：24 【变式训练2】为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A. 40 B. 24 C. 20 D. 12 【答案】B 【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 先令丙、丁两人相邻用捆绑法，再把丙、丁与戊排列在一起，最后插空令甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有种. 故选： 【变式训练3】（多选）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）. A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 【答案】ACD 【解析】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确； 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中， 则有（种），故B错误； 选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中， 则有（种），故C正确； 选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中， 先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列， 则有（种），故D正确. 故选：ACD 类型三、定序问题除法处理 例．有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）. A．168 B．260 C．840 D．560 【答案】C 【解析】析从后排8人中抽2人有种方法； 将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变用倍缩法有种， 由分步乘法计数原理可得：共有种， 故选：C. 【变式训练1】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有 种不同的插入方法．（用数字作答） 【答案】330 【解析】法1： 第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法； 第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为， 由分步计数原理可得共有种方法. 法2： 先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种， 其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为. 故答案为：330 【变式训练2】某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序. 【答案】60 【解析】将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 取谜题的方法有 故答案为：60 类型四、最短路线问题（台阶问题） 例.(1)在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）. A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【答案】B 【解析】由题可知，不同的路线有种． 故选：B (2)方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）. A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的， 则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种 故选：D 【变式训练1】小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，小明到科技博物馆选择的最短路径条数为________条，小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为________条    【答案】126 3 【解析】由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，    小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条 故答案为：126 3 类型五、直接法与间接法 例．（1）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种 A. 96 B. 128 C. 240 D. 672 【答案】D 【解析】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有， 把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有， 甲不在两端有， 故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有. 故选：D. （2）为了庆祝新年的到来,某校“皮影戏”社团的6名男同学,2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛,该代表队中有队长,副队长各一名,剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学,一共有______种可能. 【答案】 【解析】若代表队中有1名女同学,此时共有种可能; 若有2名女同学,则共有种可能, 所以一共有种可能. 故答案为:. 【变式训练1】（多选）在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况 B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况 C. 若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况 D. 若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况 【答案】ACD 【解析】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确． 对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项， 共有种不同的获奖情况，B错误． 对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确． 对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项， 共有种不同的获奖情况，D正确． 故选：ACD 【变式训练2】现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ） A．84 B．172 C．160 D．230 【答案】C 【解析】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法， 如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况， 如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况， 故所求的取法共有种 故选：C 【变式训练3】从集合的子集中选出个不同的子集,且，则选法有_________种. 【答案】 【解析】当A为空集时，B可以包含1，2，3，4，5，6个元素， 所以共有种选法： 当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4，5，6个元素， 所以共有种选法： 当A只含有2个元素时，B可以包含3，4，5，6个元素， 所以共有种选法： 当A只含有3个元素时，B包含4，5，6个元素， 所以共有种选法： 当A有4个元素时，B包含5，6个元素， 所以共有种选法： 当A有5个元素时，B包含有6个元素， 所以共有种选法； 故共有. 故答案为： 类型六、涂色问题 例．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． 【答案】72 【解析】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72 （2）已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ） A．240 B．420 C．336 D．120 【答案】B 【解析】当只用三种颜色时，同色且同色， 5种颜色选择3种，且有种选择， 当只用四种颜色时，同色或同色， 从5种颜色中选择4种，再从和中二选一，涂相同颜色， 故有种选择， 当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，故有种选择，    综上，共有种选择. 故选：B 【变式训练1】用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（ ）种不同的涂法？ A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】首先给涂色有种涂法，再涂有种涂法，第三步涂有种涂法， 最后涂有种涂法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种涂法. 故选：B 【变式训练2】如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），问有（ ）种不同的涂法？ A. 24 B. 48 C. 16 D. 84 【答案】D 【解析】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法． 所以所有的涂色方法共有（种） 故选：D 类型七、隔板法 例．将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答） 【答案】 ①. 1800 ②. 210 【解析】由题意得： 由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有种； 6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有种. 故答案为：1800；210 【变式训练1】若方程，其中，则方程的正整数解的个数为（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】A 【解析】因为方程，其中， 则，将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列， 利用挡板法将其分成3组，第一组小球数目为；第二组小球数目为；第三组小球数目为， 共有种方法，故方程的正整数解的个数为10， 故选：A. 【变式训练2】在空间直角坐标系中，，则三棱锥内部整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，作出图形如下， 因为，所以， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设是面上的点，则， 故，则， 不妨设三棱锥内部整点为，则，故，则， 易知若，则在面上，若，则在三棱锥外部， 所以， 当且时， 将写成个排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为的取值的方法个数，显然有个方法， 所有整点的个数为， 因为， 所以. 故选：B. 类型八、平均分组及部分平均分组问题 例．（1）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】当每组人数为时，方法有种. 当每组人数为时，方法有种. 所以不同的分配方法种数为种. 故选：C （2）某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） ①有________种不同的安排方法； ②由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法． 【答案】 ①. 540 ②. 100 【解析】①6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种. 根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. ②由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种. 故答案为：540；100. 【变式训练1】“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A. 72 B. 36 C. 48 D. 18 【答案】B 【解析】由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家， 故共有种分派方法. 故选：B. 【变式训练2】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种 【答案】A 【解析】依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆， 根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种． 故选：A． 类型九、环排问题与空车位停车 例．（1）某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（       ） A．240 B．360 C．480 D．720 【答案】C 【解析】给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8， 当1，2，3号为空时，有种停放方法； 当2，3，4号为空时，有种停放方法； 当3，4，5号为空时，有种停放方法； 当4，5，6号为空时，有种停放方法； 当5，6，7号为空时，有种停放方法； 当6，7，8号为空时，有种停放方法； 所以不同的停放方法的种数为种. 故选：C. 方法二代替元法：四辆车标记为ABCD,四个空车位，三个组合一起，标记为3，剩余一个标记为1，则变成数字1，3与四个字母排列，且数字不相邻，插空法即可 故选：C． （2）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得， 甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列， 其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为， 由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为. 故选：A 【变式训练1】“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 .（用数字作答） 【答案】120 【解析】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 【变式训练2】现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为（ ）（用数字作答）． A． B． C． D．90 【答案】A 【解析】因为站成一排时甲在乙左边与甲在乙右边的站法数相同，而m位同学站成一排有种站法，所以，解得，所以5位同学围成一个圆的站法种数为． 故选：A 【变式训练3】现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种. 【答案】40 【解析】先将甲、乙、丙三辆不同的车排列，使得甲车在乙、丙两车之间，有2种排法，再将剩余的7个空车位分为4组，分别排在甲、乙、丙三辆车形成的四个空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三种分组方法，则不同的分组方法共有种，由分步乘法计数原理得不同的停放方式共有种. 故答案为：40 类型十、有限制行的排列组合问题 例．(1)球类运动对学生的身心发展非常重要现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】根据题意，分种情况讨论： 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再在三年中选出年来学习，有种安排方法， 五门选修课放在年选完，先将五门课程分为组，再安排在三年中选完，有种安排方法， 则有种安排方法． 故选：A． (2)某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 【变式训练1】已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 60种 C. 66种 D. 72种 【答案】B 【解析】若甲站在正中间，则共有种排法， 若甲不站在正中间，先排甲有种，再排乙有种，最后三人任意排有种， 则共有种排法， 综上，共有种不同排法. 故选：B 【变式训练2】现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 【答案】 45 1440 【解析】由题意，从10双中任选2双有种取法， 先选取一双有种选法，再从9双中任取两双有种选法， 每双鞋只取一只各有2种取法， 根据分步乘法计数原理可知选取的种数为：. 故答案为：45；1440. 【变式训练3】A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【答案】B 【解析】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 1．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 14种 C. 12种 D. 10种 【答案】B 【解析】先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人， 当两组人数为1,3时，有种方案， 当两组人数为2,2时，有种方案， 所以将4名同学分为两组，共有种方案， 再将两组同学分配到两个文明实践站，有种， 所以根据乘法原理得共有种不同的方法. 故选：B 2．参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（ ）种. A. 120 B. 96 C. 240 D. 144 【答案】D 【解析】将捆绑，和进行全排列，共有：种方法， 又因为相邻，将其当做一个元素，和共形成个空，但教师不站在两端， 故插入教师的方式共有：种， 故所有的安排方法有：种. 故选：D. 3．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 4．如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【解析】先假设是实线， 则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， 所以，当不通时，最短路径有条 故选：D． 5．（多选）下列命题正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】若，则或，故A对； ，故B错； ，故C正确， ，故D正确； 故选: ACD 6．（多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为72种 【答案】BCD 【解析】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A错误； 对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确； 对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确； 对于D，男女生相间排法总数为种，故D正确. 故选：BCD. 7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种 故答案为:64 8．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 种. 【答案】40 【解析】先将甲、乙、丙三辆不同的车排列，使得甲车在乙、丙两车之间，有2种排法，再将剩余的7个空车位分为4组，分别排在甲、乙、丙三辆车形成的四个空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三种分组方法，则不同的分组方法共有种，由分步乘法计数原理得不同的停放方式共有种. 故答案为:40 9．现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内. （1）共有多少种不同的放法? （2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种? （3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由题意，4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子， 把球全部放入盒子内，共有中不同的放法. （2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同， 不同的放法有中不同的方法； （3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒， 即有4个盒子每个盒子放1个球，共有种放法. 10.从5个男生，4个女生中选出4人参加植树节活动 （1）共有多少种不同的选取方法？ （2）若至少要选出1个男生，且男生甲和女生乙不能同去，则共有多少种不同的选取方法？ （3）若恰选出2名女生，且4人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有多少种不同的列？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）因为一共有人，所以选出4人参加植树节活动有种不同选法； （2）男生甲去不同的选法为：， 男生甲不去不同的选法为：， 所以不同的选取方法数为：； （3）选出2名女生，且4人需要排队前往，但女生必须相邻，则共有种不同选法. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$