检测4复数单元检测（能力卷）-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测4复数单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 2．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高三上·山东·期中）若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 10．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 11．（23-24高一下·江苏盐城·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 13．（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知i是虚数单位，复数z满足，则 14．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 16. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 17. (15分) （23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高二上·重庆·开学考试）已知复数满足，的虚部是2． (1)求复数； (2)设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 19. (17分) （23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测4复数单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 2．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知复数满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高三上·山东·期中）若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 10．（23-24高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 11．（23-24高一下·江苏盐城·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 13．（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知i是虚数单位，复数z满足，则 14．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 16. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 17. (15分) （23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高二上·重庆·开学考试）已知复数满足，的虚部是2． (1)求复数； (2)设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 19. (17分) （23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D D A A BC BD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 2．C 【分析】利用诱导公式及共轭复数的定义得到，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限. 故选：C 3．B 【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得复数，即可求解. 【详解】，则，则， ∴，∴，， 故选：B 4．B 【分析】由题知也是关于x的方程的一个根，进而结合韦达定理求解即可. 【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 5．D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 6．D 【分析】由复数的模长，同角的三角函数，辅助角公式计算即可； 【详解】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 7．A 【分析】先设复数,再计算即可求出复数. 【详解】设，则, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 8．A 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 9．BC 【分析】 根据复数为实数列方程求解. 【详解】 若为虚数单位)为实数， 则，所以. 故选：BC 10．BD 【分析】根据复数的几何意义可得.求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【详解】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 11．AD 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于C，需要求出的表达式，利用三角函数的值域即得；对于D，需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面积的表达式，即可得到. 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 13． 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】由复数的几何意义及，可得在复平面内复数z对应的点到和的距离相等， 所以Z在线段OA的垂直平分线上，即， 同理，由，可得，所以， 故． 故答案为： 14． 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 15．(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 16．(1)或 (2)或. 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 17．(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【详解】（1），，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 18．(1)或 (2) 【分析】（1）设，结合条件求即可得z； （2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得的对应坐标，进而求它们构成的的面积； 【详解】（1）， 则， 由题意得， 且， 解得或， 所以或． （2）因为位于第一象限，所以， ， ， 所以，，， 直线，所以且到的距离为1； ∴. 所以． 19．(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 学科网（北京）股份有限公司 $$