检测2平面向量单元检测（能力卷）-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测2平面向量单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南郴州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 4．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．（2025高三·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影向量的坐标为 10．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 13．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 16. (15分) （23-24高一下·四川德阳·期末）如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 17. (15分) （24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 18. (17分) （24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 19. (17分) （24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若的面积为，求. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C B C D ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又，所以， 所以，解得， 所以. 故选：D. 2．B 【分析】利用向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 故选：. 3．B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 4．A 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 5．C 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 6．B 【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得与的关系，即可利用基底表示，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为点是的中点， 所以， 因为在上，故可设，， 所以, 因为点三点共线，所以，得， 即，故， 所以， 两边平方， ， 所以. 故选：B 7．C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， 由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 8．D 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案. 【详解】由，解得， 设AB的中点为D，则， 则 ， 则， 故AB边上的中线长为. 故选：D. 9．ACD 【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且， 所以有，A正确； B：，当与共线且同向时，， 此时与的夹角为零，而，B不正确； C：设边上的中线为， 于是， 因为点G为三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有， 于是有，C正确； D：因为， 所以在上的投影向量的坐标为： ，D正确， 故选：ACD. 10．ACD 【分析】利用向量的坐标运算，求向量的夹角判断A；验证向量是否共线判断B；求向量的模判断CD. 【详解】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 12．2 【分析】先利用向量加减法化简，进而求得的值. 【详解】，，均为平面单位向量，夹角为120°，则 则． 故答案为：2 13．/ 【分析】将分别表示为，然后根据向量数量积的定义表示出，再分析的夹角即可求解出的最小值. 【详解】因为，所以， 又 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 14． 6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得； （2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． （2）由图知， ， 即的余弦值为. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据图形可得及周期，根据周期即可求出，再求出点的坐标，进而可得出答案； （2）在中，利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）由题可得， ， 当时，，即， 又，（千米）； （2）在中，设，则， ， ， ， ， （千米）， 折线段赛道的长度为千米. 18．(1)或 (2) 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 19．(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理得，应用正弦和差角公式求角的大小； （2）由三角形面积公式可得，结合已知得，最后应用余弦定理求边长. 【详解】（1）由题设，故， 所以，则， 又，可得. （2）由（1）及题设，有， 又，则. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测2平面向量单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南郴州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 4．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．（2025高三·全国·专题练习）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则AB边上的中线长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影向量的坐标为 10．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·浙江·期中）已知，，均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ． 13．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 16. (15分) （23-24高一下·四川德阳·期末）如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 17. (15分) （24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 18. (17分) （24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 19. (17分) （24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若的面积为，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$